高中数学竞赛培训资料-函数

高中数学竞赛培训资料函数

例一.定义在R上的函数f(x)满意:f(x—L)=X2+，_〔对全部XWO)

xx

那么f(x)的表达式是

例二.函数f(x)对随意正实数x,y满意f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=l,求f(」-)之值。

64

例三.®f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d是常数,假设f(l)=10,f(2)=20,f(3)=30,

求f(10)+f(-6)

例四.对于每个实数x,设f(x)是4x+l,x+2,—2x+4三个函数中的最小值，那么f(x)的最

大值是多少？

例五.⑼年全国联赛试题)设函数y=f(x)对一实在数x都满意:f(3+x)=f(3—x),方程f(x)=O

恰有6个不同的实根，那么这6个实根之和为

CA)181B[12(C)9(D)0

例六.(88年全国联赛试题)设有三个函数，第一个是y=e(x),它的反函数就是第二个函

数，而第三个函数的图象及第二个函数图象关于直线x+y=O对称，那么第三个函

数是

(A)y=°(x)[B)y=一。(―x)(C)y=~(p\x)(D)y=一。”(一工)

1231000

例七.设f(x)=,求f(------)+f()+f()H------Ff()之值。

100110011001-------------1001

例八.定义在R上的函数y=f(x)具有以下性质

1.对任何xeR都有f(x3)=f3(x)

2.对任何Xi,X2eR且X1#X2都有f(xi)Wf(X2)

那么f2(-1)+f2(0)+f2⑴=_________________________________

例九.假设a>O,aWl,F(x)是一个奇函数，那么G(x)=F(x)是

(A)奇函数[B)偶函数(C)非奇非偶函数ID)及a的取值有关

例十.函数y=f(x),xeR,f(0)#0,且对于随意实数xi，X2都有f(xi)+f(x2)=2f()xf(),那么

此函数是

(A)奇函数(B)偶函数[C)非奇非偶函数(D)奇偶性不确定

例十一.实数x,y满意(3x+y)2+x5+4x+y=0,求证：4x+y=0

例十二.函数f(x)满意：1)f(-)=l

2

2)值域为[-1,1]

3)严格递减，

4)f(xy)=f(x)+f(y)

试求不等式fr(x)f-i(」一)W^的解集。

1-x2

例十三.对随意整数x,函数f(x)满意f(x+l)=,假设f(l)=2,求f(2001)

例十四.192年全国联赛试题)设f(x)是定义在R上的函数，且满意以下关系：

f(10+x)=f(10-x),f(20+x)=-f(20-x),那么f(x)是

(A)偶函数又是周期函数(B)偶函数但非周期函数

(C)奇函数又是周期函数(D)奇函数但非周期函数

例十五.190年全国联赛试题)设f(x)是定义在实数集上的周期函数且是偶函数，周期为2,

当xe[2,3]时f(x)=x,那么当xe[-2,0]时

(A)f(x)=x+4(B)f(x)=2-x(C)f(x)=3-|x+l|(D)f(x)=2+|x+l|

练习：

1.计算(Iog23)(log34)(log45)....(Iog6364)=

2.f(x)=x2,g(x)=—gx+5,g-i(x)表示g(x)的反函数，设F(x)=f[gT(x)]—,那么

F(x)的最小值是

3.对随意的函数f(x),在同始终角里林系中，-函数y-f(A1)及函数y-1(lx)的图象

(A)关于x轴对称[B)关于直线x=l对称[C)关于直线x=一1对称[D)关于y轴对称

4.方程sinx=lgx的实根的个数是

(A)1(B)2(C)3(D)大于3

1—Y

5.假设F(--)=x,那么以下等式中正确的选项是

1+x

1+X

(A)F(-2-x)=-2-F(x)(B)F(-x)=F(-------)(C)F(x1)=F(x)(D)F(F(x))=-x

1-x

6.函数f(x)=ax2—c满意一4Wf(l)WT,TWf(2)W5那么f(3)满意

2835

(A)—7Wf(3)W26(B)—4Wf(3)W15(C)—1Wf(3)W20(D)--Wf(3)W—

33

7.函数f(x)=sinx0是

(A)奇函数(B)偶函数[C)非奇非偶函数(D)奇偶性不确定

8.偶函数f(x)在[0,4]上是减函数，假如m=f(log2))，n=f[-arccos(-l)]

那么m,n的大小关系是

(A)m>n(B)m<n(C)m=n(D)不确定

9.定义域、值域都是R的函数y=f(x)是增函数，设方程f(x)=x的解集为P,方程x=f[/(%)]

的解集为Q,那么有

(A)P=Q(B)PuQ(C)QuP(D)PRQ且Q^P

10.函数y=的递增区间是(一8,1一百)那么实数a是

(A)2或1一百(B)2—2百或1一百(C)2或2—(D)—2或1一百

(1+J1997)i°°°-(1-V1997)1000

11.求证:是整数。

V1997

12.设a>0是实数，f(x)是定义在R上的实函数，对每一实数x满意条件:

f(x+a)=

证明：是周期函数，实数2a是它的一个正周期。

13.设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，对keZ,用Ik表示区间(2k—1,2k+l),

：当xeIo时，f(x)=x2

求：f(x)在Ik上的解析式。

14.函数f(x)定义在R上，且对一实在数x满意等式：f(x+2)=f(2—x),f(7+x)=f(7-x)

设：f(x)=O的一个根是x=O,记f(x)=O在区间一IOOOWXWIOOO中根的个数为N

求：N的最小值。

15.设函数y=f(x)定义域为R,当x>0时，f(x)>l,且对随意x,yeR有：

F(x+y)=f(x)f(y),当xWy时，f(x)Wf(y)

(1)证明：f(0)=l；

(2)证明：f(x)在R上递增；

(3)设A={(x,y)|f(x2)f(y2)<f(1)},B={(x,y)|f(ax+by+c)=l}a,b,ceR且aWO假设AC

B