2025年中考数学总复习《预选题》专项测试卷带答案

第第页2025年中考数学总复习《预选题》专项测试卷带答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共18小题）1．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（）A． B． C． D．2．6﹣1的相反数是（）A．16 B．6 C．−13．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（ab2）3＝a3b64．一组数据：2、4、4、3、7、7，则这组数据的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．75．不等式x﹣1≤2的非负整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF＝（）A．41 B．42 C．52 D．2137．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．30°8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（）A．30° B．36° C．60° D．72°9．据报道2023年我国粮食总产量达13908.2斤，比上年增长1.3%．用科学记数法表示上年的粮食总产量约为（）斤．A．1.373×104 B．1.373×105 C．1.372×106 D．1.372×10510．已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是（）A．10 B．9 C．8 D．711．当直线y＝kx+2与函数y=1|x|的图象至少有两个公共点时，关于k的不等式a（k﹣2）﹣k＞0有解，则实数A．﹣1＜a＜13 B．a＜﹣1 C．a＜1312．一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（）A．105° B．100° C．75° D．60°13．已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（）A． B． C． D．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，则A．2 B．3 C．2 D．515．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（）A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．图象的对称轴是直线x＝317．如图，在Rt△ABC中∠ABC＝90°∠BAC＝40°AC＝6．将Rt△ABC绕AC的中点O逆时针旋转点ABC的对应点分别为点DEF．当点E与点C第一次重合时点A运动路径的长为（）A．43π B．83π C．218．如图∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心∠EOF的两边与△ABC的边交于EF∠EOF＝120°则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）A．32 B．235 C．3二．填空题（共13小题）19．分解因式：a3﹣2a2+a＝．20．已知x1x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根且x12+x22﹣x1x2＝13则k的值为．21．如图⊙O的两条相交弦ACBD∠ACB＝∠CDB＝60°AC＝23则⊙O的面积是．22．将边长为2423的直角三角形以边长为23的一边为轴旋转180°得到的几何体的表面积是23．分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a）．解题过程：解：原式＝（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a）．答案为：（b+c+a）（b+c﹣a）24．关于x的分式方程1x−2+a−22−x=1的解为正数则a25．如图已知△ABC中AB＝AC＝5BC＝8点D在BA的延长线上连接DC点E在BC边上连接DE交AC于点F若AD＝2DC＝DE则CE的长为．26．如图正方形ABCD的边长为4E为BC上一点且BE＝1F为AB边上的一个动点连接EF以EF为边向右侧作等边△EFG连接CG则CG的最小值为．27．若关于x的不等式组x−24＜x−132x−m≤2−x有且只有两个整数解28．如图矩形ABCD的长BC=15将矩形ABCD对折折痕为PQ展开后再将∠C折到∠DFE的位置使点C刚好落在线段AQ的中点F处则折痕DE＝29．如图在等边三角形ABC中点D为AC边上一动点点E为BC上一点且满足AD＝CE连接AEBD当线段CF的长度最小时S△ABFS△ABC的值为30．如图已知四边形ABCD为菱形以AB为直径作⊙O过点A作⊙O的切线交CD于点E．若∠ABC＝50°则∠CAE的度数为．31．下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体则第三个天平右盘中砝码的质量为．三．解答题（共25小题）32．如图AB＝ADAC＝AE∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E．33．先化简再求值（1−4x+3）÷x2−2x+134．如图在△ABC中点F是BC的中点点E是线段AB的延长线上的一动点连接EF过点C作CD∥AB与线段EF的延长线交于点D连接CEBD．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形（2）若∠ABC＝120°AB＝BC＝4在点E的运动过程中当BE＝4时四边形DBEC是菱形．35．（1）计算：（2019−2）0﹣2﹣1+|﹣1|+sin2（2）化简：2xyx2−36．如图矩形ABCD中AB＝4BC＝2点EF分别在ABCD上且BE＝DF=3（1）求证：四边形AECF是菱形（2）求线段EF的长．37．如图在平面直角坐标系xOy中一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A反比例函数y=k（1）求反比例函数的表达式（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B连接OB38．2019年成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事这大幅提升了成都市的国际影响力如图在一场马拉松比赛中某人在大楼A处测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°底部D的俯角为45°如果A处离地面的高度AB＝20米求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米参考数据：sin35°≈0.57cos35°≈0.82tan35°≈0.70）39．如图AB为⊙O的直径CD为圆上的两点OC∥BD弦ADBC相交于点E．（1）求证：AC=（2）若CE＝1EB＝3求⊙O的半径（3）在（2）的条件下过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P过点P作PQ∥CB交⊙O于FQ两点（点F在线段PQ上）求PQ的长．40．计算：(a+241．如图抛物线y=−13x2+43x+4与x轴交于AB两点（点A在点B的左侧）（1）求ABC三点的坐标并直接写出线段BC所在直线的函数表达式（2）点P是线段BC上方抛物线上的一个动点过点P作PM⊥x轴于点M交BC于点N．求线段PN长的最大值．42．应县木塔全称佛宫寺释迦塔位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑与意大利比萨斜塔巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．测量对单应县木塔测量目的学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题测量工具无人机测量方宰①先将无人机从地面的点G处垂直上升100m至点P测得塔的顶端A的俯角为16°②再将无人机从点P处沿水平方向飞行60m至点C然后沿垂直方向上升20m至点Q测得塔的顶端A的俯角∠DOA＝45°．图中各点均在同一竖直平面内.测量示意图请根据以上测量数据求应县木塔AB的高度（结果精确到0.1m参考数据：sin16°≈0.28cos16°≈0.96tan16°≈0.29）．43．（1）计算：(1（2）解不等式组x−2≤03x−1244．驱动任务：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名．学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式数学研习小组协助彩旗队进行队列设计．研究步骤：（1）如图研习小组测得表演场地宽度AB＝16米在AB处各安装一个接通水源的喷泉喷头将出水口高度AMBN都设为1米调整出水速度与角度使喷出的两条抛物线形水柱形状相同并在抛物线顶点C处相遇组成一条完整的抛物线形水门且点C到地面的距离为5米（2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求每两列之间保持相同的间距队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米．问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据完成下列任务：（1）以线段AB所在直线为x轴AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系请在图中画出坐标系并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式（2）为保证“水门”的水柱不被破坏要求每排最外侧两列同学所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米若彩旗队要排成6列纵队请你通过计算确定彩旗队“过水门”时每相邻两列纵队的间距．45．为了解学生的课外阅读情况七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目）并根据调查结果列出统计表绘制成扇形统计图．男女生所选类别人数统计表类别男生（人）女生（人）文学类128史学类m5科学类65哲学类2n根据以上信息解决下列问题（1）m＝n＝（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为°（3）从选哲学类的学生中随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．46．如图一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=−5x的图象相交于点A（﹣1m）B（n（1）求一次函数表达式（2）求△AOB的面积．47．如图已知反比例函数y=kx（k＞0）的图象和一次函数y＝﹣x+b的图象都过点P（1m）过点P作y轴的垂线垂足为AO为坐标原点△（1）求反比例函数和一次函数的解析式（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M过M作x轴的垂线垂足为B求五边形OAPMB的面积．48．某校在七八九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛分别设有一等奖二等奖三等奖优秀奖纪念奖．现对三个年级同学的获奖情况进行了统计其中获得纪念奖有17人获得三等奖有10人并制作了如图不完整的统计图．（1）求三个年级获奖总人数（2）请补全扇形统计图的数据（3）在获一等奖的同学中七年级和八年级的人数各占14其余为九年级的同学现从获一等奖的同学中选2名参加市级比赛通过列表或者树状图的方法49．如图1是折叠会议桌的实物图其侧面可抽象成图2桌面EF可绕点D转动EF∥ABDE＝DF＝DC＝25cmDB＝2510cm．∠CAB＝45°点B是F点在地面的正投影．（1）①桌面EF到地面AB的距离为75cm∠ACD≈116.6°．②求桌脚AC的长（结果精确到0.1cm）（2）当桌面EF绕点D转动到图3所示的位置时求点E'到地面AB的距离．（参考数据：2≈1.4110≈3.1650．如图AB是⊙O的直径C为⊙O上一点连接CA并延长至点D使得AD＝AB连接BD交⊙O于点E连接AECEBC．（1）求证：∠DAE＝∠BCE（2）若BE＝10tan∠BEC=247求51．如图线段AB经过⊙O的圆心O交⊙O于AC两点BC＝1AD为⊙O的弦连接BD∠BAD＝∠ABD＝30°连接DO并延长交⊙O于点E连接BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线（2）求⊙O的半径OD的长（3）求线段BM的长．52．综合与实践问题背景：活动课上同学们以正方形为背景探究图形运动中的数学结论．已知正方形ABCD中AB＝6点E是射线CD上的一个动点连接AE以AE为边作正方形AEGF（点F在边AD所在直线的上方）连接DF．探索发现：（1）如图1勤学小组画出了点E与点C重合时的图形此时点F到边AD所在直线的距离为6（2）如图2创思小组画出点E恰好是线段CD中点时的图形请你解答如下问题：①判断线段AF与DF的数量关系并说明理由②直接写出此时点F到边AD所在直线的距离拓展延伸：（3）如图3博闻小组画出了点E在线段CD延长线上时的情形DF与AE交于点P．若点P是线段AE的三等分点请直接写出此时DE的长．53．如图在平面直角坐标系xOy中已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0﹣3）B（30）两点该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E在射线EB上是否存在一点M过M作x轴的垂线交抛物线于点N使点MNCE是平行四边形的四个顶点？若存在求点M的坐标若不存在请说明理由（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点当△PAB面积最大时求点P的坐标并求△PAB面积的最大值．54．如图抛物线y＝x2+bx+c交x轴于AB两点其中点A坐标为（10）与y轴交于点C（0﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式（2）如图①连接AC点P在抛物线上且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标（3）如图②点Q为x轴下方抛物线上任意一点点D是抛物线对称轴与x轴的交点直线AQBQ分别交抛物线的对称轴于点MN．请问DM+DN是否为定值？如果是请求出这个定值如果不是请说明理由．55．如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣25）与x轴相交于B（﹣10）C（30）两点．（1）求抛物线的函数表达式（2）点D在抛物线的对称轴上且位于x轴的上方将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D若点C'恰好落在抛物线的对称轴上求点C'和点D的坐标（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点点Q在抛物线的对称轴上当△CPQ为等边三角形时求直线BP的函数表达式．56．如图1在△ABC中AB＝AC＝20tanB=34点D为BC边上的动点（点D不与点BC重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B射线DE交AC边于点E过点A作AF⊥AD交射线DE于点F连接（1）求证：△ABD∽△DCE（2）当DE∥AB时（如图2）求AE的长（3）点D在BC边上运动的过程中是否存在某个位置使得DF＝CF？若存在求出此时BD的长若不存在请说明理由．参考答案一．选择题（共18小题）1．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成它的左视图是（）A． B． C． D．解题过程：解：从左面看易得第一层有2个正方形第二层左边有1个正方形如图所示：答案为：B．2．6﹣1的相反数是（）A．16 B．6 C．−1解题过程：解：6﹣1的相反数是−1答案为：C．3．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（ab2）3＝a3b6解题过程：解：Aa2+a3无法计算故此选项错误B（a2）3＝a6故此选项错误Ca6÷a3＝a3故此选项错误D（ab2）3＝a3b6正确答案为：D．4．一组数据：244377则这组数据的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．7解题过程：解：这组数据重新排列为：234477∴这组数据的中位数为4+42答案为：C．5．不等式x﹣1≤2的非负整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解题过程：解：x﹣1≤2解得：x≤3则不等式x﹣1≤2的非负整数解有：0123共4个．答案为：D．6．如图四边形ABCD是边长为5的正方形E是DC上一点DE＝1将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合则EF＝（）A．41 B．42 C．52 D．213解题过程：解：由旋转变换的性质可知△ADE≌△ABF∴∠ABF＝∠D＝90°∵∠ABC＝90°∴∠ABF+∠ABC＝180°∴CBF共线根据题意得：BC＝5BF＝DE＝1∴FC＝6CE＝4∴EF=FC2答案为：D．7．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起若∠1＝30°则∠2的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．30°解题过程：解：∵AB∥CD∴∠1＝∠ADC＝30°又∵等腰直角三角形ADE中∠ADE＝45°∴∠2＝45°﹣30°＝15°答案为：B．8．如图正五边形ABCDE内接于⊙OP为DE上的一点（点P不与点D重合）则∠CPD的度数为（）A．30° B．36° C．60° D．72°解题过程：解：如图连接OCOD．∵ABCDE是正五边形∴∠COD=360°∴∠CPD=12∠答案为：B．9．据报道2023年我国粮食总产量达13908.2斤比上年增长1.3%．用科学记数法表示上年的粮食总产量约为（）斤．A．1.373×104 B．1.373×105 C．1.372×106 D．1.372×105解题过程：解：13908.2÷（1+1.3%）＝13908.2÷1.013≈13729.7≈1.373×104（斤）．答：用科学记数法表示上年的粮食总产量约为1.373×104斤．答案为：A．10．已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成该组合体的主视图与俯视图如图所示则该组合体中正方体的个数最多是（）A．10 B．9 C．8 D．7解题过程：解：从俯视图可得最底层有5个小正方体由主视图可得上面一层是2个3个或4个小正方体则组成这个几何体的小正方体的个数是7个或8个或9个组成这个几何体的小正方体的个数最多是9个．答案为：B．11．当直线y＝kx+2与函数y=1|x|的图象至少有两个公共点时关于k的不等式a（k﹣2）﹣k＞0有解则实数A．﹣1＜a＜13 B．a＜﹣1 C．a＜13解题过程：解：当直线y＝kx+2与函数y=1x（x＞0）相切时直线y＝kx+2与函数y故令kx+2=1x（整理得kx2+2x﹣1＝0令△＝22﹣4k•（﹣1）＝0解得k＝﹣1直线y＝kx+2与函数y=−1x（x＜0）相切时直线y＝kx+2与函数y故令kx+2=−1x（整理得kx2+2x+1＝0令△＝22﹣4k＝0解得k＝1∴﹣1≤k≤1∴﹣3≤k﹣2≤﹣1∵a（k﹣2）﹣k＞0∴﹣1＜a＜1答案为：A．12．一副三角板如图摆放（直角顶点C重合）边AB与CE交于点FDE∥BC则∠BFC等于（）A．105° B．100° C．75° D．60°解题过程：解：由题意知∠E＝45°∠B＝30°∵DE∥CB∴∠BCF＝∠E＝45°在△CFB中∠BFC＝180°﹣∠B﹣∠BCF＝180°﹣30°﹣45°＝105°答案为：A．13．已知△ABC下列尺规作图的方法中能确定∠BAD＝∠CAD的是（）A． B． C． D．解题过程：解：选项A作图痕迹可知D为BC中点不能确定∠BAD＝∠CAD不符合题意选项B作图痕迹可知D在AB的垂直平分线上不能确定∠BAD＝∠CAD不符合题意选项C作图痕迹可知AD是BC边上的高不能确定∠BAD＝∠CAD不符合题意选项D作图痕迹可知D在∠BAC的平分线上能确定∠BAD＝∠CAD故本选项符合题意答案为：D．14．如图在平面直角坐标系xOy中菱形ABCD的顶点A与原点O重合顶点B落在x轴的正半轴上对角线ACBD交于点M点DM恰好都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上则A．2 B．3 C．2 D．5解题过程：解：设D（mkm）B（t∵M点为菱形对角线的交点∴BD⊥ACAM＝CMBM＝DM∴M（m+t2k把M（m+t2k2m）代入y=kx得∴t＝3m∵四边形ABCD为菱形∴OD＝AB＝t∴m2+（km）2＝（3m）2解得k＝22m∴M（2m2m）在Rt△ABM中tan∠MAB=∴ACBD解法二：如图过点D作DE⊥OB于E过点M作MF⊥OB于F．设D（aka∵四边形ABCD是菱形∴DM＝BMAM＝MCAC⊥BDEF＝BFMF=12∴M（2ak2a∴EF＝FB＝aAB＝3a∴DE=AD2∵△AMF∽△MBF∴AMMB答案为：A．15．如图二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（10）B（50）下列说法正确的是（）A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．图象的对称轴是直线x＝3解题过程：解：A．由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴所以c＞0故A错误B．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点所以b2﹣4ac＞0故B错误C．当x＝﹣1时y＞0即a﹣b+c＞0故C错误D．因为A（10）B（50）所以对称轴为直线x=1+52=3答案为：D．16．若x1x2是方程x2﹣ax﹣2＝0的两个根则（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0x2＜0解题过程：解：∵Δ＝（﹣a）2﹣4×（﹣2）＝a2+8＞0∴方程有两个不相等的实数解即x1≠x2所以A选项符合题意根据根与系数的关系得x1+x2＝ax1x2＝﹣2＜0∴方程的两个根异号所以C选项不符合题意∵a的符号不能确定∴B选项和D选项不符合题意．答案为：A．17．如图在Rt△ABC中∠ABC＝90°∠BAC＝40°AC＝6．将Rt△ABC绕AC的中点O逆时针旋转点ABC的对应点分别为点DEF．当点E与点C第一次重合时点A运动路径的长为（）A．43π B．83π C．2解题过程：解：如图连接BO在Rt△ABC中点O是AC的中点AC＝6∴AO＝BO∵∠BAC＝40°∴∠ABO＝∠BAC＝40°∴∠BOC＝∠ABO+∠BAC＝80°∴点E与点C第一次重合时旋转角为80°∴∠AOD＝80°由旋转的性质得到AO=DO=∴点A运动路径的长为AD∴点A运动路径的长为：80×3π答案为：A．18．如图∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心∠EOF的两边与△ABC的边交于EF∠EOF＝120°则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）A．32 B．235 C．3解题过程：解：连接OBOC过点O作ON⊥BC垂足为N∵△ABC为等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝60°∵点O为等边△ABC的重心∴∠OBC＝∠OBA=12∠ABC∠OCB=1∴∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝30°．∴OB＝OC．∠BOC＝120°∵ON⊥BCBC＝2∴BN＝NC＝1∴ON＝tan∠OBC•BN=33∴S△OBC=12BC•ON∵∠EOF＝∠BOC＝120°∴∠EOF﹣∠BOF＝∠BOC﹣∠BOF即∠EOB＝∠FOC．在△EOB和△FOC中∠OBE=∠OCF=30°∴△EOB≌△FOC（ASA）．∴S阴影＝S△OBC=答案为：C．二．填空题（共13小题）19．分解因式：a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2．解题过程：解：a3﹣2a2+a＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2．答案为：a（a﹣1）2．20．已知x1x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根且x12+x22﹣x1x2＝13则k的值为﹣2．解题过程：解：根据题意得：x1+x2＝﹣2x1x2＝k﹣1x12+x=(x1+x2)＝4﹣3（k﹣1）＝13k＝﹣2经检验k＝﹣2符合题意答案为：﹣2．21．如图⊙O的两条相交弦ACBD∠ACB＝∠CDB＝60°AC＝23则⊙O的面积是4π．解题过程：解：∵∠A＝∠BDC而∠ACB＝∠CDB＝60°∴∠A＝∠ACB＝60°∴△ACB为等边三角形∵AC＝23∴圆的半径为2∴⊙O的面积是4π答案为：4π．22．将边长为2423的直角三角形以边长为23的一边为轴旋转180°得到的几何体的表面积是6π+43解题过程：解：将边长为2423的直角三角形以边长为23的一边为轴所得到的几何体是底面半径为2高为23母线为4的圆锥体其轴截面是底边为4高为2所以其表面积为12×2π×2×4×12+＝6π+43答案为：6π+43．23．分解因式：b2+c2+2bc﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a）．解题过程：解：原式＝（b+c）2﹣a2＝（b+c+a）（b+c﹣a）．答案为：（b+c+a）（b+c﹣a）24．关于x的分式方程1x−2+a−22−x=1的解为正数则a的取值范围是解题过程：解：去分母得：1﹣a+2＝x﹣2解得：x＝5﹣a5﹣a＞0解得：a＜5∵x≠2∴a≠3故a＜5且a≠3．答案为：a＜5且a≠3．25．如图已知△ABC中AB＝AC＝5BC＝8点D在BA的延长线上连接DC点E在BC边上连接DE交AC于点F若AD＝2DC＝DE则CE的长为245解题过程：解：过E作EG∥AC交BD于G∵DC＝DE∴∠DCE＝∠DEC∵AB＝AC＝5∴∠B＝∠ACB∵∠DEC是△BED的一个外角∴∠BDE＝∠DEC﹣∠B∵∠ACD＝∠DCB﹣∠ACB∴∠BDE＝∠ACD∵EG∥AC∴∠GED＝∠EFC＝∠ACD+∠FDC又∠ADC＝∠BDE+∠FDC∴∠GED＝∠ADC在△GED和△ADC中∠BDE=∠ACD∴△GED≌△ADC（ASA）∴GE＝AD＝2∵EG∥AC∴△BEG∽△BCA∴BEBC=GE∴BE=∴CE=BC−BE=8−答案为：24526．如图正方形ABCD的边长为4E为BC上一点且BE＝1F为AB边上的一个动点连接EF以EF为边向右侧作等边△EFG连接CG则CG的最小值为52解题过程：解：由题意可知点F是主动点点G是从动点点F在线段上运动点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°使EF与EG重合得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN则CM即为CG的最小值作EP⊥CM可知四边形HEPM为矩形则CM＝MP+CP＝HE+12EC故答案为5227．若关于x的不等式组x−24＜x−132x−m≤2−x有且只有两个整数解则m解题过程：解：x−2解不等式①得：x＞﹣2解不等式②得：x≤∴不等式组的解集为﹣2＜x≤∵不等式组只有两个整数解∴0≤m+2解得：﹣2≤m＜1故答案为﹣2≤m＜1．28．如图矩形ABCD的长BC=15将矩形ABCD对折折痕为PQ展开后再将∠C折到∠DFE的位置使点C刚好落在线段AQ的中点F处则折痕DE＝410解题过程：解：过点F作FG⊥AD于点G交BC于点H∵四边形ABCD是矩形BC=∴AD＝BC=15AD∥BCAB∥CD∠DGF＝∠FHE＝∠FHB＝∠B＝∠C＝∠ADC∴AB∥GH∥DC∵F是AQ的中点∴DF＝AF＝QF∴AGDG∴AG＝DG=12AD=152BH＝由折叠得DQ＝CQDF＝DC∠DFE＝∠C＝90°∴DF＝AF＝QF＝DC＝2DQ∴AQ＝2QF＝4DQ∴AD=AQ∴DQ＝CQ＝1∵四边形CDGH是矩形∴GH＝DC＝2DQ＝2GF=12∴FH＝GH﹣GF＝2−∵∠HFE＝∠GDF＝90°﹣∠DFG∴HEFH=tan∠HFE＝tan∠∴HE=∴CE＝CH﹣HE=∴DE=答案为：41029．如图在等边三角形ABC中点D为AC边上一动点点E为BC上一点且满足AD＝CE连接AEBD当线段CF的长度最小时S△ABFS△ABC的值为解题过程：解：由条件可知AB＝CA∠BAD＝∠ACE＝60°在△BAD和△ACE中AB=CA∴△BAD≌△ACE（SAS）∴∠ABD＝∠CAE∴∠BFE＝∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝60°∴∠AFB＝120°作AB的垂直平分线作∠ABO＝30°与垂直平分线交于点O则点F的运动轨迹是以O为圆心以BO为半径的圆的三角形内部的一段弧连接CO与弧交于点H当F与点H重合时CF最小∴直线OC是线段AB的垂直平分线设二线的交点为Q则∠HQB＝90°∠HBQ＝30°设QH＝x则BH=2x，BQ=∴AB=2BQ=2∴CQ＝3x∴S答案为：1330．如图已知四边形ABCD为菱形以AB为直径作⊙O过点A作⊙O的切线交CD于点E．若∠ABC＝50°则∠CAE的度数为25°．解题过程：解：∵四边形ABCD是菱形∠ABC＝50°∴AD＝CDCD∥AB∠D＝∠ABC＝50°∴∠DCA＝∠DAC=1∵AE与⊙O相切于点AAB是⊙O的直径∴AE⊥AB∴∠AED＝∠BAE＝90°∴∠CAE＝∠AED﹣∠DCA＝90°﹣65°＝25°答案为：25°．31．下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体则第三个天平右盘中砝码的质量为10．解题过程：解：设“△”的质量为x“□”的质量为y由题意得：x+y=6解得：x=4∴第三个天平右盘中砝码的质量＝2x+y＝2×4+2＝10答案为：10．三．解答题（共25小题）32．如图AB＝ADAC＝AE∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E．解题过程：证明：∵∠BAE＝∠DAC∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE∴∠CAB＝∠EAD在△ABC和△ADE中AB=AD∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠C＝∠E33．先化简再求值（1−4x+3）÷x2−2x+1解题过程：解：（1−4x+3=x+3−4=x−1=当x=2+1时原式34．如图在△ABC中点F是BC的中点点E是线段AB的延长线上的一动点连接EF过点C作CD∥AB与线段EF的延长线交于点D连接CEBD．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形（2）若∠ABC＝120°AB＝BC＝4在点E的运动过程中当BE＝4时四边形DBEC是菱形．解题过程：解：（1）∵点F是BC的中点∴BF＝CF∵AB∥CD∴∠CDF＝∠BEF∠DCF＝∠EBF∴△DCF≌△EBF（AAS）∴CD＝BE又∵CD∥BE∴四边形DBEC是平行四边形（2）解：∵∠ABC＝120°∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝60°∵四边形DBEC是菱形∴BE＝CE∴△BCE是等边三角形∴BE＝BC＝4∴当BE＝4时四边形DBEC是菱形答案为：4．35．（1）计算：（2019−2）0﹣2﹣1+|﹣1|+sin2（2）化简：2xyx2−解题过程：解：（1）原式＝1−12+1+（＝2−＝2（2）原式==2xy＝y．36．如图矩形ABCD中AB＝4BC＝2点EF分别在ABCD上且BE＝DF=3（1）求证：四边形AECF是菱形（2）求线段EF的长．解题过程：（1）证明：∵在矩形ABCD中AB＝4BC＝2∴CD＝AB＝4AD＝BC＝2CD∥AB∠D＝∠B＝90°∵BE＝DF=∴CF＝AE＝4−∴AF＝CE=∴AF＝CF＝CE＝AE=∴四边形AECF是菱形（2）解：过F作FH⊥AB于H则四边形AHFD是矩形∴AH＝DF=32FH＝∴EH=5∴EF=F37．如图在平面直角坐标系xOy中一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A反比例函数y=k（1）求反比例函数的表达式（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B连接OB解题过程：解：（1）由y=12∴A（﹣24）∵反比例函数y=kx∴k＝﹣2×4＝﹣8∴反比例函数的表达式是y=−8（2）解y=−8xy=1∴B（﹣81）由直线AB的解析式为y=12x+5得到直线与x轴的交点为（﹣10∴S△AOB=12×38．2019年成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事这大幅提升了成都市的国际影响力如图在一场马拉松比赛中某人在大楼A处测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°底部D的俯角为45°如果A处离地面的高度AB＝20米求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米参考数据：sin35°≈0.57cos35°≈0.82tan35°≈0.70）解题过程：解：作CE⊥AB于E则四边形CDBE为矩形∴CE＝DBCD＝BE在Rt△ADB中∠ADB＝45°∴AB＝DB＝20（米）∴CE＝20（米）在Rt△ACE中tan∠ACE=∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14（米）∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6（米）答：起点拱门CD的高度约为6米．39．如图AB为⊙O的直径CD为圆上的两点OC∥BD弦ADBC相交于点E．（1）求证：AC=（2）若CE＝1EB＝3求⊙O的半径（3）在（2）的条件下过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P过点P作PQ∥CB交⊙O于FQ两点（点F在线段PQ上）求PQ的长．解题过程：证明：（1）∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB∵OC∥BD∴∠OCB＝∠CBD∴∠OBC＝∠CBD∴AC（2）连接AC∵CE＝1EB＝3∴BC＝4∵AC∴∠CAD＝∠ABC且∠ACB＝∠ACB∴△ACE∽△BCA∴AC∴AC2＝CB•CE＝4×1∴AC＝2∵AB是直径∴∠ACB＝90°∴AB=AC2∴⊙O的半径为5（3）如图过点O作OH⊥FQ于点H连接OQ∵PC是⊙O切线∴∠PCO＝90°且∠ACB＝90°∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO且∠CPB＝∠CPA∴△APC∽△CPB∴PA∴PC＝2PAPC2＝PA•PB∴4PA2＝PA×（PA+25）∴PA=∴PO=∵PQ∥BC∴∠CBA＝∠BPQ且∠PHO＝∠ACB＝90°∴△PHO∽△BCA∴AC即2∴PH=103∴HQ=∴PQ＝PH+HQ=40．计算：(a+2解题过程：解：原式＝[a+2a(a−2)−=(a+2)(a−2)−a(a−1)=a=a−4=141．如图抛物线y=−13x2+43x+4与x轴交于AB两点（点A在点B的左侧）（1）求ABC三点的坐标并直接写出线段BC所在直线的函数表达式（2）点P是线段BC上方抛物线上的一个动点过点P作PM⊥x轴于点M交BC于点N．求线段PN长的最大值．解题过程：解：（1）令x＝0则y＝4∴点C的坐标为（04）令y＝0则−即x2﹣4x﹣12＝0解得：x＝﹣2或x＝6∵点A在点B的左侧∴点A的坐标为（﹣20）点B的坐标为（60）设线段BC所在直线的函数表达式为y＝kx+b将点B（60）C（04）代入y＝kx+b得0=6k+b解得：k=−∴线段BC所在直线的函数表达式为y=−2（2）∵点P在抛物线y=−1∴设点P的坐标为(m，−∵PM⊥x轴交BC于点N∴点N的坐标为(m，−∵点P在线段BC上方的抛物线上0＜m＜6且PN=PM−NM=−∵−13＜0∴当m＝3时PN有最大值线段PN长的最大值为3．42．应县木塔全称佛宫寺释迦塔位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑与意大利比萨斜塔巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．测量对单应县木塔测量目的学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题测量工具无人机测量方宰①先将无人机从地面的点G处垂直上升100m至点P测得塔的顶端A的俯角为16°②再将无人机从点P处沿水平方向飞行60m至点C然后沿垂直方向上升20m至点Q测得塔的顶端A的俯角∠DOA＝45°．图中各点均在同一竖直平面内.测量示意图请根据以上测量数据求应县木塔AB的高度（结果精确到0.1m参考数据：sin16°≈0.28cos16°≈0.96tan16°≈0.29）．解题过程：解：延长BA交QD于点E延长PC交BE于点F由题意得：PG＝BF＝100mQC＝EF＝20mPC＝60mQE＝CFBE⊥QDPF⊥BE设QE＝CF＝xm∴PF＝PC+CF＝（x+60）m在Rt△APF中∠APF＝16°∴AF＝PF•tan16°≈0.29（x+60）m在Rt△AQE中∠AQE＝45°∴AE＝QE•tan45°＝x（m）∵AF+EF＝AE∴0.29（x+60）+20＝x解得：x≈52.68∴AE＝52.68m∴AB＝BF+EF﹣AE＝100+20﹣52.68≈67.3（m）∴应县木塔AB的高度约为67.3m．43．（1）计算：(1（2）解不等式组x−2≤03x−12解题过程：解：（1）(＝2+（﹣2）+6＝6（2）x−2≤0①解不等式①得x≤2解不等式②得x≤﹣3∴不等式组的解集为x≤﹣3该解集在数轴上表示为：44．驱动任务：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名．学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式数学研习小组协助彩旗队进行队列设计．研究步骤：（1）如图研习小组测得表演场地宽度AB＝16米在AB处各安装一个接通水源的喷泉喷头将出水口高度AMBN都设为1米调整出水速度与角度使喷出的两条抛物线形水柱形状相同并在抛物线顶点C处相遇组成一条完整的抛物线形水门且点C到地面的距离为5米（2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求每两列之间保持相同的间距队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米．问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据完成下列任务：（1）以线段AB所在直线为x轴AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系请在图中画出坐标系并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式（2）为保证“水门”的水柱不被破坏要求每排最外侧两列同学所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米若彩旗队要排成6列纵队请你通过计算确定彩旗队“过水门”时每相邻两列纵队的间距．解题过程：解：（1）由题意建立如图所示的平面直角坐标系设所求抛物线的函数表达式为y＝ax2+c由题可知AB＝16OA＝OBBN＝1OC＝5∴点N的坐标为（81）点C的坐标为（05）将N（81）C（05）代入y＝ax2+c得1=64a+c∴a=−1∴抛物线的函数表达式为y=−116x（2）如图分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线DEFG垂足为点EG分别交抛物线于点DF由题意可知DE＝FG＝3.6+0.4＝4（米）∴点DF的纵坐标均为4当y＝4时4=−116x解得x＝±4∴点DF的坐标分别为（﹣44）和（44）∴最外侧两列彩旗队之间的距离为4﹣（﹣4）＝8（米）即8÷（6﹣1）＝1.6（米）答：彩旗队每相邻两列的间距为1.6米．45．为了解学生的课外阅读情况七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目）并根据调查结果列出统计表绘制成扇形统计图．男女生所选类别人数统计表类别男生（人）女生（人）文学类128史学类m5科学类65哲学类2n根据以上信息解决下列问题（1）m＝10n＝2（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为79.2°（3）从选哲学类的学生中随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．解题过程：解：（1）抽查的总学生数是：（12+8）÷40%＝50（人）m＝50×30%﹣5＝10n＝50﹣20﹣15﹣11﹣2＝2答案为：102（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为360°×6+550答案为：79.2（3）列表得：男1男2女1女2男1﹣﹣男2男1女1男1女2男1男2男1男2﹣﹣女1男2女2男2女1男1女1男2女1﹣﹣女2女1女2男1女2男2女2女1女2﹣﹣由表格可知共有12种可能出现的结果并且它们都是等可能的其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能∴所选取的两名学生都是男生的概率为21246．如图一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=−5x的图象相交于点A（﹣1m）B（n（1）求一次函数表达式（2）求△AOB的面积．解题过程：解：（1）把A（﹣1．m）B（n﹣1）代入y=−5x得m＝5∴A（﹣15）B（5﹣1）把A（﹣15）B（5﹣1）代入y＝kx+b得−k+b=55k+b=−1解得∴一次函数解析式为y＝﹣x+4（2）x＝0时y＝4∴OD＝4∴△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD=12×47．如图已知反比例函数y=kx（k＞0）的图象和一次函数y＝﹣x+b的图象都过点P（1m）过点P作y轴的垂线垂足为AO为坐标原点△（1）求反比例函数和一次函数的解析式（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M过M作x轴的垂线垂足为B求五边形OAPMB的面积．解题过程：解：（1）∵过点P作y轴的垂线垂足为AO为坐标原点△OAP的面积为1．∴S△OPA=12|∴|k|＝2∵在第一象限∴k＝2∴反比例函数的解析式为y=2∵反比例函数y=kx（k＞0）的图象过点P（1∴m=2∴P（12）∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点P（12）∴2＝﹣1+b解得b＝3∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3（2）设直线y＝﹣x+3交x轴y轴于CD两点∴C（30）D（03）解y=−x+3y=2x得∴P（12）M（21）∴PA＝1AD＝3﹣2＝1BM＝1BC＝3﹣2＝1∴五边形OAPMB的面积为：S△COD﹣S△BCM﹣S△ADP=12×3×3−1248．某校在七八九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛分别设有一等奖二等奖三等奖优秀奖纪念奖．现对三个年级同学的获奖情况进行了统计其中获得纪念奖有17人获得三等奖有10人并制作了如图不完整的统计图．（1）求三个年级获奖总人数（2）请补全扇形统计图的数据（3）在获一等奖的同学中七年级和八年级的人数各占14其余为九年级的同学现从获一等奖的同学中选2名参加市级比赛通过列表或者树状图的方法解题过程：解：（1）三个年级获奖总人数为17÷34%＝50（人）（2）三等奖对应的百分比为1050则一等奖的百分比为1﹣（14%+20%+34%+24%）＝8%补全图形如下：（3）由题意知获一等奖的学生中七年级有1人八年级有1人九年级有2人画树状图为：（用ABC分别表示七年级八年级和九年级的学生）共有12种等可能的结果数其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率为1349．如图1是折叠会议桌的实物图其侧面可抽象成图2桌面EF可绕点D转动EF∥ABDE＝DF＝DC＝25cmDB＝2510cm．∠CAB＝45°点B是F点在地面的正投影．（1）①桌面EF到地面AB的距离为75cm∠ACD≈116.6°．②求桌脚AC的长（结果精确到0.1cm）（2）当桌面EF绕点D转动到图3所示的位置时求点E'到地面AB的距离．（参考数据：2≈1.4110≈3.16解题过程：解：（1）①连接FB∵点B是F点在地面的正投影∴FB⊥AB在Rt△DFB中DF＝25cmDB＝2510cm∴BF=DB2tan∠FDB=FB∴∠FDB≈71.6°由题意得：EF∥AB∴∠FDB＝∠ABC＝71.6°∵∠CAB＝45°∴∠ACD＝∠CAB+∠ABC＝116.6°∴桌面EF到地面AB的距离为75cm∠ACD≈116.6°．答案为：75116.6②过点C作CG⊥AB垂足为G在Rt△CGB中∠ABC＝71.6°∴tan71.6°=CG∴CG＝3BG∵DC＝25cmDB＝2510cm∴BC＝BD﹣CD＝（2510−25）∵BG2+CG2＝BC2∴BG2+（3BG）2＝（2510−25）解得：BG＝（25﹣2.510）cm∴CG＝3BG＝（75﹣7.510）cm在Rt△ACG中∠CAB＝45°∴AC=CGsin45°=75−7.51022∴桌脚AC的长约为72.3cm（2）过点E′作E′H⊥AB垂足为H由题意得：DE＝DE′＝25cm∵DB＝2510cm∴E′B＝E′D+DB＝（25+2510）cm在Rt△E′HB中∠ABC＝71.6°∴tan71.6°=E'H∴E′H＝3BH∵BH2+E′H2＝E′B2∴BH2+（3BH）2＝（25+2510）2∴BH＝（25+2.510）cm∴E′H＝3BH＝75+7.510≈98.7（cm∴点E'到地面AB的距离约为98.7cm．50．如图AB是⊙O的直径C为⊙O上一点连接CA并延长至点D使得AD＝AB连接BD交⊙O于点E连接AECEBC．（1）求证：∠DAE＝∠BCE（2）若BE＝10tan∠BEC=247求解题过程：（1）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠AEB＝90°∵AD＝AB∴∠DAE＝∠BAE∵∠BAE＝∠BCE∴∠DAE＝∠BCE（2）解：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∵∠BAC＝∠BEC∴tan∠BEC＝tan∠BAC=在Rt△ABC中tan∠BAC=∴设BC＝24a则AC＝7a∴AB=AC∵AD＝AB∴AD＝AB＝25a∴CD＝AC+AD＝7a+25a＝32a∵AD＝AB∠AEB＝90°∴BD＝2BE＝20在Rt△BCD中BC2+CD2＝BD2∴（24a）2+（32a）2＝202解得：a=12或a∴AD＝25a=2551．如图线段AB经过⊙O的圆心O交⊙O于AC两点BC＝1AD为⊙O的弦连接BD∠BAD＝∠ABD＝30°连接DO并延长交⊙O于点E连接BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线（2）求⊙O的半径OD的长（3）求线段BM的长．解题过程：（1）证明：∵OA＝OD∠A＝∠ABD＝30°∴∠A＝∠ADO＝30°∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°∵OD是半径∴BD是⊙O的切线（2）∵∠ODB＝90°∠DBC＝30°∴OD=1∵OC＝OD∴BC＝OC＝1∴⊙O的半径OD的长为1（3）∵OD＝1∴DE＝2BD=∴BE=∵DE是⊙O的直径∴∠DME＝90°∴∠E+∠MDE＝90°∵∠BDE＝90°∴∠MDE+∠BDE＝90°∴∠MBD＝∠DBE∴△BMD∽△BDE∴BD∴BD2＝BM•BE∴BM=B52．综合与实践问题背景：活动课上同学们以正方形为背景探究图形运动中的数学结论．已知正方形ABCD中AB＝6点E是射线CD上的一个动点连接AE以AE为边作正方形AEGF（点F在边AD所在直线的上方）连接DF．探索发现：（1）如图1勤学小组画出了点E与点C重合时的图形此时点F到边AD所在直线的距离为6（2）如图2创思小组画出点E恰好是线段CD中点时的图形请你解答如下问题：①判断线段AF与DF的数量关系并说明理由②直接写出此时点F到边AD所在直线的距离拓展延伸：（3）如图3博闻小组画出了点E在线段CD延长线上时的情形DF与AE交于点P．若点P是线段AE的三等分点请直接写出此时DE的长．解题过程：解：（1）∵四边形ABCDACGF为正方形∴AC＝AFCD＝AB＝6∠ADC＝90°∴DF＝DC＝6∴此时点F到边AD所在直线的距离为6答案为：6．（2）①如图作FH⊥AD于H∠AHF＝90°∵四边形ABCDACGF为正方形∴AF＝AE∠FAE＝∠ADE＝90°AD＝CD∴∠FAH+∠DAE＝90°∵\angFAH+\angAFH=90°∴∠DAE＝∠AFH∴△AFH≌△EAD（AAS）∴AH＝DEFH＝AD＝6∵E为DC的中点∴DE=∴AH=∴AH＝DH∵FH⊥AD∴AF＝DF②由①可得：FH＝AD＝6∴此时点F到边AD所在直线的距离为6（3）如图作FM⊥DA于M作AN∥DE交DF于N∵四边形ABCDACGF为正方形∴AF＝AE∠FAE＝90°∠ADC＝∠ADE＝90°∴∠FAM+∠EAD＝90°∵∠FAM+∠AFM＝90°∴∠EAD＝∠AFM∵∠AMF＝∠ADE＝90°∴△AMF≌△ADE（AAS）MF∥DE∥AN∴ME＝AD＝6AM＝DE设DE＝x则AM＝xDM＝6+x∵AN∥DE∴△APN∽△EPD∴AN∵点P是线段AE的三等分点∴AP：PE＝2：1或AP：PE＝1：2∴ANx=∴AN＝2x或AN=当AN＝2x时∵MF∥AN∴△DAN∽△DMF∴AD∴6解得：x=−3+33或x=−3−33（不符合题意∴DE=−3+3当AN=1∵MF∥AN∴△DAN∽△DMF∴AD∴6解得：x＝6或x＝﹣12（不符合题意舍去）∴DE＝6综上所述DE的长为−3+3353．如图在平面直角坐标系xOy中已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0﹣3）B（30）两点该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E在射线EB上是否存在一点M过M作x轴的垂线交抛物线于点N使点MNCE是平行四边形的四个顶点？若存在求点M的坐标若不存在请说明理由（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点当△PAB面积最大时求点P的坐标并求△PAB面积的最大值．解题过程：解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0﹣3）B（30）两点∴9a−6+c=0∴a=1∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3∵直线y＝kx+b经过A（0﹣3）B（30）两点∴3k+b=0b=−3解得：∴直线AB的解析式为y＝x﹣3（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4∴抛物线的顶点C的坐标为（1﹣4）∵CE∥y轴∴E（1﹣2）∴CE＝2①如图1连接CN若点M在x轴下方四边形CEMN为平行四边形则CE＝MN设M（aa﹣3）则N（aa2﹣2a﹣3）∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a∴﹣a2+3a＝2解得：a＝2a＝1（舍去）∴M（2﹣1）②如图2连接ENCMMN若点M在x轴上方四边形CENM为平行四边形则CE＝MN设M（aa﹣3）则N（aa2﹣2a﹣3）∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a∴a2﹣3a＝2解得：a=3+172∴M（3+172综合可得M点的坐标为（2﹣1）或（3+17（3）如图3作PG∥y轴交直线AB于点G设P（mm2﹣2m﹣3）则G（mm﹣3）∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB=∴当m=32时△PAB面积的最大值是278此时P54．如图抛物线y＝x2+bx+c交x轴于AB两点其中点A坐标为（10）与y轴交于点C（0﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式（2）如图①连接AC点P在抛物线上且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标（3）如图②点Q为x轴下方抛物线上任意一点点D是抛物线对称轴与x轴的交点直线AQBQ分别交抛物线的对称轴于点MN．请问DM+DN是否为定值？如果是请求出这个定值如果不是请说明理由．解题过程：解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（10）C（0﹣3）∴1+b+c=00+0+c=−3解得：∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3（2）①若点P在x轴下方如图1延长AP到H使AH＝AB过点B作BI⊥x轴连接BH作BH中点G连接并延长AG交BI于点F过点H作HI⊥BI于点I∵当x2+2x﹣3＝0解得：x1＝﹣3x2＝1∴B（﹣30）∵A（10）C（0﹣3）∴OA＝1OC＝3AC=12+∴Rt△AOC中sin∠ACO=OAAC=10∵AB＝AHG为BH中点∴AG⊥BHBG＝GH∴∠BAG＝∠HAG即∠PAB＝2∠BAG∵∠PAB＝2∠ACO∴∠BAG＝∠ACO∴Rt△ABG中∠AGB＝90°sin∠BAG=∴BG=1010∴BH＝2BG=∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO∴Rt△BHI中∠BIH＝90°sin∠HBI=HIBH=10∴HI=1010BH=45∴xH＝﹣3+45=−115yH=−125设直线AH解析式为y＝kx+a∴k+a=0−11∴直线AH：y=34∵y=34x−34∴P（−94−②若点P在x轴上方如图2在AP上截取AH'＝AH则H'与H关于x轴对称∴H'（−115设直线AH'解析式为y＝k'x+a'∴k'+a'=0−11∴直线AH'：y=−34∵y=−34x+34∴P（−154综上所述点P的坐标为（−1545716）或（−解法二：在y轴上取一点T是的AT＝CT则∠ACT＝∠TAC∴∠ATO＝∠TAC+∠ACT＝2∠ACT设OT＝t则AT＝CT＝3﹣t在R