总体百分位数的估计课件-高一下学期数学人教A版

9.2.2总体百分位数的估计盛琪第九章统计2025/3/30引

入

2022年安徽省中考真题改编八年级测试成绩：86,85,87,86,85,89,88.中位数是

.

前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断.接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？下面我们对此进行讨论.引

入引例

某市政府为了节约生活用水，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据节中100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？首先要明确一下问题：根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数a,使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80%,大于a的占20%.下面我们通过样本数据对a的值进行估计.引

入称此数13.7为这组数据的第80百分位数或80%分位数1.31.32.02.0···13.3

13.613.8

13.8···28.0（2）得到第80和第81个数据分别是13.6和13.8（3）一般地，我们取这两个数的平均数

可以发现，区间（13.6，13.8）内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.解:

（1）把100个样本数据按从小到大排序

根据样本数据的第80百分位数，我们可以估计总体数据的第80百分位数为13.7左右.由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策何題中，只要临界值近似为第80百分位数即可，因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为14t，或者把年用水量标准定为168t探究新知

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值.注意：求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．1.百分位数定义判断正误：（1）若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.（）（2）若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.（）（3）若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数.（）×√√探究新知第1步：按从小到大排列原始数据．第2步：计算i＝n×p%.第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数是第i项与第(i＋1)项数据的平均数．例如：样本量n＝100，则由80%×100＝80，知80%分位数即是从小到大排列的第80个与第81个数的平均数，如果n＝101，则由80%×101＝80.8，得80%分位数即是第81个数.(1)求百分位数的步骤2.用原始数据求百分位数例题讲解例1

一个容量为20的样本,其数据按从小到大的顺序排列为:1,2,2,2,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,14,17,17,18,18,则（1）该组数据的第75百分位数为_______,（2）该组数据的第86百分位数为_______.例题讲解例2

根据节问题3中27名女生的样本数据,估计树人中学高一年级女生的第25,50,75百分位数.

163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0解:把27名女生的样本数据按从小到大排序,可得

148.0149.0154.0154.0155.0155.0155.5157.0157.0158.0158.0159.0161.0161.0162.0162.5162.5163.0163.0164.0164.0165.0170.0171.0172.0172.0172.0

由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%×27=20.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164.

据此可以估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161和164.探究新知常用分位数：第25百分位数，第50百分位数（中位数），第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数.第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数也常用.(2)几个重要的百分位数①第0百分数为数据组中的最小数，第100百分位数为数据中的最大数；②一组数据的百分位数既可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数；③一组数据的某些百分位数可能是同一个数.(3)百分位数的特点探究新知例3

根据下表估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.分组频数频率[1.2，4.2)230.23[4.2，7.2)320.32[7.2，10.2)130.13[10.2，13.2)90.09[13.2，16.2)90.09[16.2，19.2)50.05[19.2，22.2)30.03[22.2，25.2)40.04[25.2，28.2]20.02合计1001.00

有些情况下，我们只能获得整理好的统计表或统计图与原始数据相比，他们损失了一些信息。3.用频率分布表、频率分布直方图估算百分位数例题讲解解:由频率分布表可知,月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为在16.2t以下的居民用户所占比例为∴80%分位数一定位于[13.2,16.2)内.由可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2分组频数频率[1.2，4.2)230.23[4.2，7.2)320.32[7.2，10.2)130.13[10.2，13.2)90.09[13.2，16.2)90.09[16.2，19.2)50.05[19.2，22.2)30.03[22.2，25.2)40.04[25.2，28.2]20.02合计1001.00类似地，由可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95探究新知

例题讲解例4

根据下图估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.先算各组的频率，解题步骤如上月平均用水量/t0.120.10.080.060.040.0201.24.27.2

10.213.216.219.222.225.228.20.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.0070.077频率/组距0.320.130.090.090.050.030.040.23设80%分位数为m，则0.77+(m-13.2)×0.030=0.80，解得m=14.2.设95%分位数为m，则0.94+(n-22.2)×0.013=0.95，解得n=22.97.0.02例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解序号1234567891011121314151617181920甲组1222233355668891010121313乙组00001123456677101414141415试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．

变式2现有甲、乙两组数据如下表所示．例题讲解例5某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；解

(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200<x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.例题讲解例5某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦时的占80%，解得a＝0.0015，b＝0.0020.例题讲解例5某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数.(3)设75%分位数为m，

∵用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用电量低于400千瓦时的占80%，

∴75%分位数m在[300，400)内，

∴0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375(千瓦时)，即用电量的75%分位数为375千瓦时.课堂练习解：将100户居民的月均用水量按小到大的顺序排列如下：1.31.31.82.02.02.02.02.12.22.32.32.42.42.63.03.23.23.63.63.73.84.04.14.34.44.64.74.94.94.95.15.15.15.25.35.45.45.55.55.55.55.65.75.75.96.06.06.46.46.86.87.07.17.17.17.57.77.87.87.98.18.68.89.09.59.910.010.110.210.210.510.811.111.212.012.012.413.313.613.613.813.814.014.915.716.016.716.817.017.918.319.420.521.622.222.424.324.525.628.0由于100×60％=60.∴第60百分位数为第60个和第61个数据的平均数，即因此居民用户月均用水量标准应定为8.0合适.1.在居民用户月均用水量标准制定的问题中，根据教科书中的调查数据，如果要让60%的居民不超出标准，居民用户月均用水量标准定为多少合适?教材202页课堂练习解：把23名男生的样本数据按从小到大排序，结果如下：164.0165.0165.0166.0167.0168.0168.0168.0170.0170.0170.0172.0172.0172.0173.0173.0173.0173.0174.0175.0175.0175.0176.0由23×25%=5.75，23×50%=11.5，23×75%=17.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第6，12，18项数据，分别为168.0，172.0，173.0.据此可以估计树人中学高一年级男生的第25，50，75百分位数分别约为168.0，172.0，173.0.

通过增加样本量，可以减少估计的误差.2.根据9.1.2节问题3中男生的样本数据，请你估计树人中学高一年级男生的第25，50，75百分位数.如果要减少估计的误差，你觉得应该怎么做?1、某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25,50,75百分位数分别是

.13.7，14.7，15.3解析：将12个数据按从小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8.由i=12×25%=3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数，由i=12×50%＝6，得的给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，由i=12×75%＝9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，课堂练习2、对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁．0.0442.5

解析：(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1，解得h＝0.04.(2)由题图可知年龄小于40岁的频率为(0.01+0.04+0.07+0.0