陕西省蓝田县高中数学 第一章 立体几何初步 1.6 直线与平面垂直的判定教学实录 北师大版必修2

陕西省蓝田县高中数学第一章立体几何初步1.6直线与平面垂直的判定教学实录北师大版必修2课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析1.本节课的主要教学内容：直线与平面垂直的判定定理及其应用。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课内容与第一章“点、线、面”中直线与平面垂直的性质有关，学生在学习本节课之前已经掌握了直线与平面垂直的性质，为本节课的学习奠定了基础。教材章节为北师大版必修2第一章立体几何初步1.6。二、核心素养目标培养学生空间观念，通过直线与平面垂直的判定定理的学习，提高学生运用数学语言描述现实世界的能力。发展逻辑推理和直观想象能力，通过探究证明过程，让学生体会数学证明的严谨性和逻辑性。同时，培养学生的数学抽象和数学建模意识，学会将实际问题转化为数学模型，提升解决实际问题的能力。三、教学难点与重点1.教学重点，

①理解直线与平面垂直的判定定理的条件和结论，并能准确应用定理进行判断。

②掌握直线与平面垂直的判定定理的证明方法，包括构造辅助线、运用反证法等。

2.教学难点，

①直线与平面垂直的判定定理的应用，特别是在复杂空间图形中的运用，需要学生具备较强的空间想象能力和几何直观能力。

②定理证明过程中的逻辑推理和空间想象结合，学生需要能够从图形中抽象出数学关系，并运用逻辑推理进行证明。

③在实际解题中，如何将实际问题转化为合适的数学模型，并运用判定定理解决问题，这对学生的数学建模能力提出了挑战。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的北师大版必修2教材，包含第一章立体几何初步1.6的相关内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的多媒体资源，包括展示直线与平面垂直判定定理的动画、几何图形的动态演示等。

3.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行合作学习；提供实验操作台，用于辅助理解和验证判定定理。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求，例如要求学生预习直线与平面垂直的判定定理的基本概念和简单证明。

设计预习问题：围绕直线与平面垂直的判定定理，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何判断一条直线是否垂直于一个平面？”、“证明直线垂直于平面的方法有哪些？”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生按照预习要求，自主阅读预习资料，理解直线与平面垂直的判定定理的基本概念和证明方法。

思考预习问题：学生针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问，例如对证明过程的逻辑推理有疑问。

提交预习成果：学生将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处，以便教师了解预习情况。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过几何图形的动态展示，引出直线与平面垂直的判定定理，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解直线与平面垂直的判定定理的条件和结论，结合实例帮助学生理解，如使用长方体模型展示定理的应用。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生通过合作探究证明直线与平面垂直的方法。

解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，如对辅助线构造的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题，如如何使用反证法证明定理。

参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，通过合作探究，如尝试不同的辅助线构造方法。

提问与讨论：学生针对不懂的问题或新的想法，如对证明过程中空间想象能力的运用，勇敢提问并参与讨论。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置一些涉及直线与平面垂直判定定理的应用题，如证明一个空间几何体的面与边的关系。

提供拓展资源：提供与直线与平面垂直判定定理相关的拓展资源，如几何软件的使用指南，供学生进一步学习。

反馈作业情况：及时批改作业，针对学生的解答给予反馈和指导，如对错误解答的分析和纠正。

学生活动：

完成作业：学生认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果，如独立完成证明题。

拓展学习：学生利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考，如尝试使用不同的软件进行几何建模。

反思总结：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议，如如何提高空间想象能力。六、拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

《几何证明的艺术》——这本书详细介绍了几何证明的方法和技巧，对于学生深入理解直线与平面垂直的判定定理及其证明过程非常有帮助。

《立体几何问题解答》——本书收录了大量的立体几何问题，包括基础题和应用题，适合学生在掌握基本概念后进行练习。

《数学建模与空间想象》——通过实际的数学建模案例，引导学生将数学知识应用于解决实际问题，增强学生的空间想象能力和数学建模能力。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

（1）探究不同证明方法：鼓励学生尝试使用不同的证明方法来证明直线与平面垂直的判定定理，如使用向量方法、坐标方法等。

（2）研究空间几何体的性质：引导学生研究空间几何体的性质，如正方体、长方体、棱柱等，通过观察和分析这些几何体的特征，加深对直线与平面垂直判定定理的理解。

（3）解决实际问题：鼓励学生将所学知识应用于解决实际问题，如设计一个空间结构，使其满足直线与平面垂直的条件。

（4）探索几何证明的奥秘：引导学生探索几何证明的奥秘，如证明勾股定理、探索欧几里得几何与非欧几里得几何的关系等。

（5）开展小组合作学习：组织学生开展小组合作学习，通过讨论、交流、分享等方式，共同解决学习中的问题，提高学生的团队协作能力。

（6）撰写数学小论文：鼓励学生撰写数学小论文，总结自己在学习过程中的收获和体会，提高学生的写作能力和表达能力。

（7）参加数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如全国中学生数学奥林匹克竞赛、全国中学生数学联赛等，提升学生的数学素养和竞技水平。

（8）关注数学前沿：引导学生关注数学领域的最新研究进展，如几何学、拓扑学等，拓宽学生的知识视野。

（9）开展数学讲座：邀请数学专家或教师开展数学讲座，为学生提供学习交流的平台，激发学生的学习兴趣。

（10）利用网络资源：引导学生利用网络资源，如在线课程、数学论坛等，进行自主学习，提高学生的信息获取和处理能力。七、重点题型整理1.**证明直线与平面垂直的题型**

**题型示例**：已知直线AB在平面α内，点C不在平面α内，且直线AC垂直于平面α，证明：直线AB垂直于平面α。

**解题步骤**：

-步骤一：连接点A和C，得到直线AC。

-步骤二：由于直线AC垂直于平面α，根据直线与平面垂直的性质，AC是平面α的法线。

-步骤三：因为AB在平面α内，所以AB与AC共面。

-步骤四：由于AC垂直于平面α，根据线面垂直的判定定理，AB垂直于AC。

-步骤五：因为AC和AB共面，且AC垂直于平面α，所以AB垂直于平面α。

**答案**：通过上述步骤，可以证明直线AB垂直于平面α。

2.**求直线与平面所成的角**

**题型示例**：已知直线l和平面β，求直线l与平面β所成的角。

**解题步骤**：

-步骤一：在直线l上取一点P，作平面γ，使得平面γ与平面β相交于直线m。

-步骤二：在平面γ内作直线n，使得直线n垂直于直线m。

-步骤三：连接点P和直线n的交点Q，得到直线PQ。

-步骤四：由于直线n垂直于直线m，且直线m在平面β内，所以直线PQ垂直于平面β。

-步骤五：直线PQ与直线l所成的角即为直线l与平面β所成的角。

**答案**：通过上述步骤，可以求出直线l与平面β所成的角。

3.**求点到平面的距离**

**题型示例**：已知点P和过点P的直线l，求点P到平面α的距离。

**解题步骤**：

-步骤一：在直线l上取一点Q，使得直线l垂直于平面α。

-步骤二：连接点P和Q，得到线段PQ。

-步骤三：由于直线l垂直于平面α，所以线段PQ垂直于平面α。

-步骤四：线段PQ的长度即为点P到平面α的距离。

**答案**：通过上述步骤，可以求出点P到平面α的距离。

4.**求两条平行线与一个平面的交点**

**题型示例**：已知两条平行线l1和l2，求这两条平行线与平面α的交点。

**解题步骤**：

-步骤一：在直线l1上取一点A，作平面α，使得平面α与直线l2相交于点B。

-步骤二：由于l1平行于l2，所以直线l1与直线l2的交点C即为直线l1与平面α的交点。

-步骤三：由于A、B、C三点共线，所以C也是直线l2与平面α的交点。

**答案**：通过上述步骤，可以求出两条平行线与平面α的交点。

5.**求两个平面相交的交线**

**题型示例**：已知两个平面α和β，求这两个平面的交线。

**解题步骤**：

-步骤一：在平面α内取一点A，作平面β，使得平面β与平面α相交于直线m。

-步骤二：在平面β内取一点B，作平面α，使得平面α与平面β相交于直线n。

-步骤三：由于直线m和直线n都在平面α和β的交线上，所以直线m和直线n即为两个平面的交线。

**答案**：通过上述步骤，可以求出两个平面的交线。八、课堂课堂评价是确保教学效果和学生学业进步的重要环节。以下是对本节课教学评价的具体实施策略：

1.**课堂提问**

-通过提问来检查学生对直线与平面垂直的判定定理的理解程度，例如：“谁能解释一下什么是直线与平面垂直的判定定理？”

-设计开放性问题，鼓励学生思考：“在证明过程中，如何构造辅助线使得证明更加直观？”

-观察学生的回答，判断他们是否能够将理论知识与实际问题相结合。

2.**课堂观察**

-观察学生在课堂活动中的参与度，如小组讨论、实验操作等，评估他们的合作能力和动手操作能力。

-注意学生的非语言行为，如表情、姿势等，这些可以作为他们学习状态的重要线索。

3.**课堂测试**

-设计随堂测试，包括选择题、填空题和简答题，以评估学生对知识的掌握情况。

-测试题目应涵盖本节课的重点内容，如判定定理的应用、证明过程等。

4.**个别辅导**

-对于理解有困难的学生，提供个别辅导，帮助他们克服学习中的障碍。

-个别辅导可以是面对面的，也可以是通过电子邮件或在线平台进行的。

5.**学生自我评价**

-鼓励学生进行自我评价，让他们反思自己在课堂上的表现和学习效果。

-学生可以填写自我评价表，列出他们在学习过程中的强项和需要改进的地方。

6.**同伴评价**

-组织学生进行同伴评价，让学生互相评价在小组活动中的表现。

-同伴评价可以促进学生的团队合作意识，同时也能够让学生从不同的角度看待问题。

7.**教学反馈**

-在课堂结束时，教师应提供简短的教学反馈，总结本节课的重点和难点。

-教师可以通过口头反馈或书面反馈的形式，告知学生对知识的掌握情况。

8.**作业评价**

-对学生的作业进行认真批改和点评，确保每个学生都能得到个性化的反馈。

-作业评价不仅要关注答案的正确性，还要关注学生的解题思路和过程。

-及时反馈学生的学习效果，鼓励学生在遇到困难时不要气馁，继续努力。板书设计1.**本文重点知识点**

①直线与平面垂直的判定定理

②直线与平面垂直的性质

③证明直线与平面垂直的方法

2.**关键词**

①垂直

②判定定理

③性质

④证明

3.**重点句子**

①“如果一条直线与平面内的一条直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。”

②“如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。”

③“直线的方向向量与平面的法向量垂直，则这条直线垂直于这个平面。”反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.结合实际案例教学：在讲解直线与平面垂直的判定定理时，我尝试引入实际工程案例，让学生通过分析实际问题来理解定理的应用，这样既提高了学生的兴趣，又增强了他们的实践能力。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体资源，如动画、视频等，将抽象的几何概念具体化，帮助学生更好地理解和记忆，同时也提高了课堂的趣味性。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生空间想象力不足：在证明直线与平面垂直的判定定理时，部分学生难以理解空间关系，这可能是由于他们缺乏足够的空间想象力。

2.课堂互动不够充分：虽然设计了小组讨论等活动，但发现学生之间的互动并不够充分，部分学生参与度不高，这可能是因为活动设计不够吸引人或者时间分配不合理。

3.作业反馈不及时：由于课时有限，作业的反馈往往不够及时，这可能会影响学生对知识的巩固和应用。

反思改进措施（三）

1.加强空间想象力训练：通过布置一些需要空间想象力的练习题，或者利用立体几何模型，帮助学生逐步提高空间想象力。同时，在讲解过程中，尽量用直观的方式展示空间关系，如使用箭头表示方向向量。

2.优化课堂互动设计：