数字信号处理习题答案：第二章 离散时间信号与系统

第二章离散时间信号与系统

2.1有一任意线性系统淇输入为疝],输出为证明：若对所有〃，加力=°，则乖]

对所有〃也必须为零,

证明：设）[〃]=7（丫同），因为对于所有〃,人[〃]二°，所以

=x[n]-人[〃]=0

由于线性系统满足叠加原理，因此

如=丁（巾D=-4d）=-T（M=。

2.2利用线性的定义[式（2.25）],证明:理想延时系统（例2.1）和滑动平均系统（例2.2）都是线性系

统.

证明：（1）理想延时系统y[n]=T（x[n]）=x[/?-nd]

々H使yM=7（再H）

y2[n\=T（X2[nP=x2\n-nd]

ra、p

丁（g[〃]+偿2M）=3/〃-〃,，]+厩-%]

二孙卜]+侯[〃]

/.理想延时系统是线性系统。

（2）滑动平均系统

/\1Af

”—闻）=阻+%+1£64]

内闻看时使

1Mi

y口]=7（2[〃]）=E玉[〃—引

必+“2+1-

%=7（电[疝=.一y匕

M+%+1,-H

V”则

1M,

丁（对[〃]+信2[〃]）=—―-一-£（仲卜—％]+仅-2[〃-4]）

M+a+ie^

zvM?nM?

=------------£工1[〃-攵]+----------V[??-k]

M+%+1人占M+W+1人占

=ay]\n\+fy2[n\

：.滑动平均系统也是线性系统。

2.3对于下列系统，判断系统是否是(1)稳定的，(2)因果的，(3)线性的，(4)是不变

的，和(5)无记忆的。

(a)T(x[n])=g[n]^n](g[〃]已知)

(b)7(M〃])二£M灯

A=〃o

〃十〃0

(c)7(M〃])=ZM灯

k=a>

(d)=xf〃一“J

(e)7(.rfn])=exp(Afn])

(f)—.])=ox[〃]+4

<g>T(4n])=x[-n]

(h)7(品〃])=M川+3讥〃+1]

(a)解：•••T(M〃])=g[川品川(机川已知)

令丁(巾〃D=y[川，rCM，”)=%[川

由线性系统的定义Ta/wR,则7(苏」川+92[川)

=g[n](axl[n]+fibc2[n])

=砂[汨+取㈤

系统是线性的

而T(品〃一%])=g[〃卜品〃一。M〃一%]=gl〃一％卜M〃-%]

系统是时变的

若M川是有界输入序列，而机川又是已知的，那么它们的乘积也是有界的，

即系统在有界输入有界输出(BIBO)意义下是稳定的。

由无记忆系统的条件，每一个“值上的输出只决定于同一〃值上的输入

x［n］,显然该系统是无记忆的。

由因果系统的定义，输出序列在n=%的值仅仅取决于输入序列在n<%得

值，可以判断系统是因果的。

（b）解：•・・丁（同加）=£=刈,该系统实现了从以前某时刻〃。到♦的序列求和。

氏=4）

显然是有记名的。

令,区［川）=双川,7（通令］）=%M

由线性系统的定义X/a,/7GR,则［川+/3x2［n］）

=孙［〃］+为2［川

/.系统是线性的

又•・・T（*5-4］）=2同月，系统是时不变的。

*=«0

系统的输出只由〃时刻以前的序列值决定，那么系统是因果的。

当输入为有界序列时，虽然这个响应是有限的，然而却是无界的，不存在一个

固定的有限正数”，使|M川区4<8对于全部的〃都成立，系统为不稳定

系统。

他

（C）解：•••”才〃］）=£大伙］,该系统实现了从以前某时刻“0到〃+〃。的序列求

k•飞

和。显然是有记忆的。

令丁（xj川）=yj川，T（x2［n］）=y2［ni

由线性系统的定义XZa,4£R,则7（知卬+仪、卬）

=孙［川+为2［川

/.系统是线性的

系统的输出不是只由〃时刻以前的序列值决定，还与未来的序列值有关，那么

该系统是非为果的。

当输入为有界序列时，虽然这个响应是有限的，然而却是无界的，不存在一个

固定的有限正数从，使|），〔川区纥V8对于全部的〃都成立，系统为不稳定

系统。

乂•••”品〃-4］）=伙］,系统是时不变的。

*=«）>

*川，显然该系统是无记忆的。

若M川是有界输入序列，有界输入对应有界输出(BIBO),该系统是稳定的。

综上可知：该系统是非线性、时不变、稳定的、因果无记忆系统。

(g)•「7(同川)二乂一川,仿照以上判据可知，显然是线性的、时不变的、稳定的、

有记忆的、非因果的系统(这是因为在〃<()时，系统需要有未卜先知的功能)

(h)vT(x[n])=x[n]+3u[n+1]

令丁(xj川T(x2[n])=y2[n]

由线性系统的定义Va/wR则7(孙[川+小力川)

=ca1[n]+fJx2[n]+3u[n+1]工孙[川+饱㈤

系统是非线性的

-%])=一〃cd+3〃[〃+1]¥x[n-%]+一〃0+1],该系统是时

变的

输出序列在〃=%的值仅仅取决于输入序列在〃<%得值，可以判断系统是

因果的

由无记忆系统的条件，每一个〃值上的输出M川只决定于同一〃值上的输入

同川，显然该系统是无记忆的

由于仇川是已知序列，可以有以上的判据得出系统是非线性、时变的、因果、

稳定、无记忆的、稳定的系统。

2.4图P2.4中系统T已知是时不变的，当系统输入是X/川、川和时，系统的

响应分别为％[〃]、力[〃]和七【〃1，如图所示。

(a)确定系统是否为线性的。

(b)如果系统的输入同川是回〃]时，系统的响应乂川是什么？

(C)对于任意的输入系统的输出M川能唯一确定吗？

3

(a)否。

(b)h[n]=+61+26\n+5]0

(c)仅对给定信号(％[〃]、x」川和x]〃])的时移信号能得到确定的响应信号。

2.5图P2.5中系统L已知是线性的，图中示出三种输出信号$〃]和为[〃]分别是

对输入信号匹[〃]，MT和x1〃l的响应。

图P2.5

(a)确定系统L能否是时不变的。

(b)如果系统L的输入是川，?］,系统响应)(〃］是什么？

解：@〃］和乂T相对应的线性组合如下图所示：

2

■•♦■~~~>

-10I

总〃]-芭1〃]

⑸---------••••------•

-2-I23

-101

XM-'M丁M

(a)由图可知，⑹由⑷移位所得，而(》)不可能由(。’)移位得到

/.L不是时不变的。

(b)为3［〃］时，乂〃］如0')所示。

2.6对图P2.6中每一对序列，利用离散卷积求冲击响应为从“的线性时不变系统对输入加］

的响应.

图P2.6

277=1

解：(a)y[n]=-1n=2

0其它

/?=0

n=1

(b)/7=2

〃二3

其他

(c))，［〃］如图

33r

■[2电

1

•---1••―

12345678

2.7一个线性时不变系统的冲激响应如图P2.7所示，求出并画出该系统对输入

u[n]=u[n-4J的响应。

45

0123

图P2.7

解：已知系统（LTD的川:川如题图P2.7所示,当输入川川二〃[〃-4]时，设输出序

列为乂川，

y[n]=巾]*h[n]

-h[m]-x[n-m]

5

=/h[m]-x[n-m]

m=O

=圻〃-4]+2J[n-5]+3即i-6]+4J[n-7]+26[n-8]

给出序列y[n]

3456789

2.8一个离散时间时不变系统的冲激响应是川川，若输入升川是一个周期序列,周期为N,

即"〃]=*〃+N]。证明：输出也是一个周期序列，周期为N。

证明：对于UTI系统，当M〃+N]=M川时：

M〃+N]=+N-k]h[k]=^x[n-k]h[k]=M«]

n="<o〃="x

结论得证。

2.9一个线性时不变系统冲激响应为

1,n>0,

0,n<0,

=u[n]o

求该系统对输入疝]的响应。文[〃]如图P2.9所示，并描述如下:

n<0,

N、<n<N?,0<6/<1

N2<n<N2+N],

Nx+N2<n.

解：当〃<Oj,h[n]=0,=0

•••vM=°

当时，xk]x〃[〃-刊=#,（0<左<:乂）

.•・加»=沙=『IJ+l；

★=o

当N1<〃工N2时，x[k]=O,

乖]=之/=—j----；

号!)1一。

当Mv刀+M时,

iZ,/V|+In"巾+一，02一代〜…

如==5=--------1-a-•一

1-aK=N2I-a1-a\-a

当〃>M+M时，

i八M+iM+M

m]=»+!>"如"，产一〃…二2(1"、

1-6/\-a1-«

1-ak=N2

0,w<0;

一产1

0«〃<M;

1-a

)[〃]=,N、<n<N2;

1-a

N]<〃4N]+N];

2.10（a）已知一个线性时不变系统的冲击响应除去在区旬内均为零.已知输入

耳〃]除去在区间N2<n<N3内均为零.其结果就是输出除去某一区间^V4<n<N，

内都为零.试用No,M，N?”3来确定N4,N5.

（b唐巾]除N个连续点外都为零,/?[〃]除M个连续点外也都是零，试问对y[n]不为零的

最大连续点数是多少？

解：（a）N4=N（）-M

Ns=N「惧

（b）N+M-l

2.11按卷积和直接计算，求冲激响应为川川的线性时不变系统的阶跃响应，

n

/?[/?]=a~u[-n},0<6/<10

解：h[n]=anw[7?J,0<a<1

.•.系统的阶跃响应

为-=u[n]*h[n]

"J="OG

0

=a~m-u[n-m\

〃?=-QC

1

~~^ci

.•.一〃]是常数序列。

2.12证明：线性时不变系统的因果性，就是要求系统的冲激响应满足条件，当〃<°时，

川川=0。提示：可先证明如果〃<°时川川。0的话，系统不可能是因果的；然后

再证明如果〃<°时h[n]=0的话，系统必定是因果的。

证明：对于LTI系统，恒有

800

y[n]=-k]h[k]=^x[k]h[n—k]

n=-con=-<c

o

必要性：

yW=^x[n-k]h[k]

利用"fu

若系统因果，则必然有M"一灯在时间上超前或同步于乂川，即"一％工〃，kN。。

即当Av0时，必有力1川=°。必要性得证。

充分性：

y[n]=^x[k]h[n-k]

利用“7。

,当n-kv()时川〃一M=0。

「•M川可以看为在〃时刻点之前的川川得线性叠加。

即充分性得证。

2.13在2.5节中曾提到，13在2.5节中曾提到，齐次差分方程

£即先[〃一用=。(P2.13-1)

A=0

的解具有如下形式

(P2.13-2)

m=l

式中4”是任意的，z〃t是下列多项式的根

N

Zqz4=0,(P2.13-3)

2=0

-1

也即f4z-"=n(l-z,Mz)o(P2.13-4)

Jt=0)

(a)求下列查分方程齐次解的一般形式

31

y[n]——y[n-1]+—y[n-2]=2x[??-l]。(P2.13-5)

48

(b)若)，[一l]=0,y[0]=0,求齐次解中的系数A,”。

(c)现在考虑如下差分方程

y\n\—y\n-1]+—y\n-2]=2x[/?-l]o(P2.13-6)

如果齐次解中仅包含式(P.2.13—2)中的那些项，证明：初始条件=0

和)[()]=()不能被满足。

(d)如果(P2.13-3)中有两个根是相同的，那么代替式(P.2.13-2)的)，/〃]将是

N-1

“T=ZA，Z+〃8W，(P2.I3-7)

"1=1

式中已假定为是重根，利用式(P2.13-7)对式(P2.13-6)求的一般形式。

明确地证明，你的答案在满足工[〃]=0时满足武(P2.13-6)。

(e)若)，[—1]=0和乂0]=0,求在(d)中所求得的齐次解中的系数4和4。

解：(a)对应特征方程为

l--z_,+-z_2=0

48

1

马=产

2

(]y

,^M=AI-+♦

(b)+40=，

)[o]=A+4=o

解之得：A=-；A=--

2■2

(c)对应特征方程为

1-Z-,+-z-2=0

4

•••1Hz1、。

1

zi=z2=5

由P2.I3-2式，方程的齐次解为

>\M=(4+4X\)"

而有v[-i]=(A+A^=1

)忖=A+4=o

显然，两式相矛盾

.••仅由P2.13-2式中的那些项，=l和)，同=。不能满足。

(d)设MT

则城?+1]=4

/1\n-](1

巾2-1]=43+(九一呵/

由+U-血

=0

/.»,[«]在满足=0时满足P2.13-6式

(e),y[-l]=A(1|+(-1)嘿]=24「2q=1

)，[o]=A=0

解之得：A,=0;B,=--

2

2.14有线性常系数差分方程：)同一(加一1]+1)，[〃-2]=2叱?一1]当

x[n\=和)[〃]二°，n<°，求乖].

解：)[〃]二—y\n-1]--而-2]+2x[n-1]

48

yM=2y[_11-1y[-2]+2<5>[-1]=0

当n=0吐八」4L」8L」L」

当n=1时,y[l]=[)，[o]+2^[o]=2

当n=2吐y[2]=-j[l]--y[o]=-

4-02

y[4]=p{3}-p{2]=-^

4oo

y[5]=^>[4]-ly[3]=g

2.15有一个系统的输入为M〃],输出为M川，且满足下列差分方程：

y[n]=ny{n-\]+x[n]

该系统是因果的且满足初始松弛的条件，即若〃<%,Mm=(),则有河川=(),

n<〃()o

(a)若=求(对全部的n)。

(b)系统是线性的吗？试证明之。

(c)系统是时不变的吗？试证明之。

解:该系统的差分方程如下：

M〃]二〃)，[〃-+,而且该系统是因果且是松弛的。

(a)若―=b向,有系统松弛的条件有,x[-l]=0,KOy[-l]=O,

当〃<0时，=0,而y[0]=例0]=1,乂川=〃乂〃-1]+耳川相继代入可得

M网的闭式解：

0n<1

y[n]=1n=0

n\n>1

(b)证明：令丁(西[川)=乂[川，T(x2[n])=y2[n]

由线性系统的定义Da,£GR,则7(a「[〃]+PqW)

=ny[n-1]+以+fix2[n]=n(ay\[n]+例?[〃])十ax][/?]+fix2[n]

=砂J〃]+为2㈤

所以系统是线性的。

(c)证明:y[n-n0]=(n-n0)y[n-n0-1]+x[n-n0]

假设系统是时不变系统，由时不变特性：

y[n一〃n]=ny\n一〃0一1]+才〃一H(n-nh)y[n-n(]-1]+-nJ

这与假设矛盾，所以原系统是时变系统。

2.16有一系统，输入为才〃L输出为M〃L输入/输出关系由下列两个性质决定：

1.y[n]-ay[n-1]=；

2.01=1o

(a)确定系统是否为时不变的；

(b)确定系统是否为线性的；

(c)假定差分方程(性质1)仍然不变，而乂0]=0,这会改变(a)和(b)的答案吗？

解：

(a)(b)

⑴儿用一4兄〃-1]=可川：

(ii)3,l0J=1o

用递推法求解个时刻点的输出：

刈=。+皿；

y[2]=ayj]]+x[2]=a2+ax[]]+x[2]

y[3]=ay[2]+M3]=a3+a2x[}]+ox(2]+x[3]

二ay[n-1]+=an+an'x[l]H-----Fad〃-1]+x[n]

时变性：

H]

T(x[n-ndJ)=a'+a~x[\-％]+…+as[n-1-w]+x[n-nd]

l＞，d

y[n-nd]=+优"*1-％]+…+a-x[n-n(l-i]+x[n-n(l]

很明显=，故而该系统时变。

线性：

r(分j川+为[川)

nn,

=a+a'(ca1[l]+fibc2[l])+•••+a(ax][n-1]+为J〃-1])+(办J〃]+/M〃])

孙[〃]+fy2M="(%)+"(々)

nn/,-,

=a{a+优-%[1]+---+aX1[n-l]+5[〃]}+p{a+ax1[l]+…+-1]+x[[n]}

n

=(a+p)a+rz^'CatJl]+为[1])+…+[〃-1]+fix2[n-1])+(axl[n]+囹[〃])

很明显7(期[〃]+德[川)=孙[川+向2同，故系统非线性。

(c)当条件变为

(i)y[n]-a^n-1]=x[n]；

(ii)y[0]=0。

仍用递推法可得到：

刈=Wh

兄2]=双1]+M2]=CM]+M2]

y[3]=ay[2]+x[3]=a2x[\]+ax[2]+x[3]

y[n]=ay[n一1]+=a"7M“+…+avf〃-1]+X[H]

时不变性：

T(x[〃—%])=-----------卜4M"一1一%】+—%]

n<

y[n-nd]=〃"-"…刈一〃“]+…+ci~j([n-nd-1]+cr^A^n-n({]

很明显7(,vf〃-%Dhy\n-nd],故而该系统仍然时变。

线性：

丁(@[川+仪MD

,,-1

=fz(at1fl]+fix2[\])-\----\-a(ax][n-]]+J3x2[n-\])^(ca][n]+倒[用)

孙同十七2[〃]-"(n)+45)

=<7{。'1耳[1]+...+GXJ”_]]+A)[/?]}+,{4"一\][1]+…+orj〃_1]+玉[〃]}

=q"T(以][1]+/tv2[l])4----Fa(arI[n-l]+/3x2[n-1])4-(ax][n]+flx2[n])

此时，T(叼[川+外㈤)=孙㈤+例2㈤。即系统性。

2.17一个因果线性时不变系统由下列差分方程描述：

\[n]-5乖-1]+6y[n-2]=2x[n-1]o

(a)求系统的齐次响应，也即在HT=O时，对全部〃可能的输出。

(b)求系统的冲激响应。

(c)求系统的阶跃响应。

解：(a)对应齐次特征方程为

l-5z-'+6Z-2=0

(l-2z-,)(l-3z-,)=0

z,=2;z2=3

方程的齐次通解为)，/〃]=A♦2〃+43,。

(b)h[n\-5h[n-1]+6h[n-2]=2S\n\

化为频率响应形式为

“(6加)一56-川”(6加)+66-/2。“(/。)=26一加

\-3e-ja)l-2e-J&J

h[n]=2(3”〃同-2”〃[〃])=2.(3°-2"》[〃]

(c)系统的阶跃响应为

u[n\*h[n]=Z巾[”攵]

=Z2.(3〃-2")业]x["—2]

#=-00

这2心"-2")加

k=0

=(3M+,-2M+2-1>[//]

2.18（。）一线性时不变系统，其输入输出满足如下差分方程

一2,[〃_]]=八｛〃]+2M〃-1]+.x[n-2]

求其频率响应

1--e-jw+e-i3w

3）有一系统,其频率响应为〃（"&）=--2------——写出表征该系统的差分方程.

24

解：（a）两边均进行付氏变换得：

加丫（/'"）=X（«a）+2«一阶>（/'"）+

\+2e-jM+e-j2(0

2

学）・"+产

(b)

3

布丁]+小+-e-j2M

24

r（ey<u）+--"j23y（e汝）=X（e^]---加乂合川）+e~J3il,X（e^）

242

两边进行付氏反变换得：

I31

MT+2M?-1]+W4〃_2]=W?]--"—1]+x[n-3]

2.19下列离散时间信号中，那些能够任何稳定的LTI系统的特征函数？

（a）5"•u[n]

(b)…

(C)m

(d)5”

(e)5〃/5

解：LTI稳定系统的特征函数与相应的特征值相乘来表示输出序列。由线性系统满

足叠加性可知(b)〃25,(c)eM+/2s能够作为稳定线性系统的特征函数。

2.2()一线性时不变系统的冲激响应为

加〃]=©)"〃[〃],j=4

求系统对激励M川=cos⑺0仇川的稳态响应。

解：

稳态响应

y[n]=2M灯〃[〃一灯

nk

",2•、〃-&(:\〃(;\-

=Zcos攵4=

〃=U\~/)n=0\^/

=W2=㈤1-2;

1—2)

2j〃为奇数

1-2)

所以：=<

11-22j)〃为偶数

2.21有三个系统A,B和C,其输入输出如图P2.21所示，试确定是否每一个系统都能

是LTI的，若你的答案是是的，那么请指出是否还有另外的LTI系统也具有给出

的输入/输出对关系，清楚地说明你的答案。

系统c

J%

2」%

图P2.21

xn-1

（1、\_

解：系统A不是LTI的，因为若系统为时不变的，当输入为2--时，输

出应为（；）工2/n

,所以系统A不能同时满足线性。所以不是un的。

,<4；

系统B是线性的，但不是时不变的

系统C同时满足线性和时不变性，所以是LTI的

1（0）/1\

2.22在图P2.22的非线性系统中，输出M是M=maxV-x2[n-k这里卜|记做幅

"1ii==0o

度.因为M是在全部时间上（也即全部n）的最大道，所以是一个常数.

假设H〃]是一个复指数为刈?]="处",对于仇的不同选取，M是不同的:也就是

说，对于这一类输入,M是g的函数，记做M（g）.

确定加（0。）对g来说是否是周期的，若是，求出该周期.

非线性系统

业"闷”

图P2.22

(e-j^II

10e‘2恤（”-K）□~J2(ao

解：£=Ee

2”人2他,

k=Ok=01------

2

因为上式与n无关，所以

因此30是周期的，T=7T

2.23一个线性时不变系统的频率响应为:

II2〃3、

网＜正（5）

0甜咖”

该系统的输入是•个周期N=16的周期单位冲激串，即

x[n]=Z例〃+16周.

火=YO

求系统的输出。

解：・・•“（/）=卜加|水而（万）

o其它

2

又;输入序列M〃]=+16左]

4="<©

Ji6kM

X(e^)=F{x[n]}=^e=工24[163十2成]。(F代表傅立叶变换)

太=-00#=-00

系统通过一低通滤波器,

...Y(ejM)=2乃[5(16。)+3(16啰+24)+S(16a)-2乃)]

e^'dco

1羽

=—J眸⑻掇(@+韵+.(--.)]•/5-3"

1兀

=­[l+2cos—(72-3)1

10o

11几，'、

=——+-cos—(/?-3)

1688

2.24有一种常用的数值运算叫做一阶差分，定义为

y[n\=\7x[n]=A(n]-x[n-}]，

这里同加为一阶差分的输入，见用为输出。

(a)证明该系统是线性时不变的；

(b)求该系统的冲激响应；

(c)求出系统的频率响应，并画出频率响应图；

(d)证明：若

N川=/[川*0川，

则

=V(/[n])*g[n]=f[n]*▽-[〃])

其中*记做离散卷积。

(e)设计一个系统，写出冲激响应的表达式[川。要求所设计系统与一阶差分系统级

联时，能恢复出即要求

4[川*▽(>[〃])=M川。

(a)证明：

设两个输入信号王[川和公1小，分别对应输出y[川和%[〃1。即

yJ〃]=T(xJ〃])=西[川一王[〃-1]；%[闵=1(电㈤)=x2[n]-x2[n-l]。

⑴线性：

T(orJ〃]+饱㈤)=\ax\n\+仪[川)+{仲[〃—1]+

xj/?-1]}+^{X2[/?]—x2[??-1]}

=a)\[n]+fy2[n]

(ii)时变性:

T(4«-nd])=x[n-n(l]-x[n-\-n<l]i

乂〃_%-%--1_nd]o

即T(M〃一%])=兄刀一%]，故而系统时不变。

(b)解：

由y[n]=x[n]*{万[〃]一万-1]}=中"*h[n]可得:

川川=必川一必〃-1]

(c)解：

H(，")=F(h[n])=I-e~j<>>=1-cos。+jsinco

|//(e>>)|=2-2cos<yZH(ejM)=tan-1(ctan-)=---

222

频谱图如图解2.24°

m

B

a

p

n

-E6

B

E

-50

00.20.40.60.811.21.41.61.82

NormakzedFrequency(xxrad/semple)

100

(5o

s

总

6

g

p

)o

S0>

B

q

d5o

一

'10°00.20.40.60.811.2141.6

1.82

NormaizedFrequency(xxrad/semple)

图解2.24

(d)证明：

•・・=f[n]*g[〃]=£ftk\g[n-k]=^f[n-k]g[k]

k=Y0Jt=-oo

Z/伙]gm-幻=伙](vgs一月)

\k=^x>)k=,

=之/伙】(g[〃一口一g[n-k-\])=f(n)♦Vg㈤

k=F

同理：v（4«l）=vZ/T-灯8用=Z▽（加一灯）g阳

±=-CO

=£（/[〃一收一—攵一”）g伙『W5）*矶川

《="00

（e）令人[川*▽（同川）=M川，即：

m*V(M川)=hf[n]*h[n\*x[n]=品〃]

h.\n\*h[n]=<^[/?|

得：/&[〃]=〃[川。

2.25考虑图P2.25的系统,

拈]

图P2.25

(a)求整个系统的冲激响应h[n]o

(b)求整个系统的频率响应。

(c)给出联系输){//]和输入x[n]的差分方程。

(d)该系统是因果的吗？在什么条件下该系统是稳定的？

解:(a)h[n]=(1-/?![/?])*h2M=(1一循[〃-1])*a"w[n]

=anu[n]~J3a"lu[n-\]

pe-j(0_1-优力

(b)7i(0

'1-ae-冲~\-ae-~

(C)VMe，")=^^

y(")(1_cd)=X(ejM)1-pe~i<0)

差分方程形式为

y[n]-d}•[/?-1]=-fix[n-1]

(d)由于当〃<()时，4〃]=0,所以系统是因果的。

-KO

由(a)可知，当冏<1时，s=2/?k]<8

4=-00

所以，当|。|<1时，系统时稳定的。

2.26令""»己做一个冲击响应为也的L77系统的频率响应这里瓦〃]一般是复数.

(。)利用式(2.92),证明才泊。谑冲击响应为/“〃]的系统的频率响应，这里*记做复共

规.

0)证明若小]为实，频率响应就是共规对称的，即〃"(个).

解：(a)证明：由(2.92)可得"(*)=£/公,-次，1)

£二F

£力(9湫，2)

&=-<©

”'")=少(吐3，3)

将3)与1)比较可得谑人[〃]的频率响应。

(b)由I)式可得：

"*")=4)

为实数

h[k]=h*[k]

「.4)式可写为”・(e加)=f/7kHl

i=-<x>

而“(《-%)=£小上砒

k=f

...”[〃&)="(e-川)

2.27若X(〃&)=——!---1<67<(),求出并画出下列以。为变量的函数。

\-a-e'

解：-X(eJf,,)=——5―-,-1<«<0

l-ae~ja,

加=an•〃[〃],(由傅氏变换对可知)

(a)Re{X(e>)}=—/侬。_，偶函数，如下图：

\+a~-24cos啰

(b)Im{X(e%)}:，—asm。_，奇函数，如下图:

a~+1-2(7COS69

X(e%

=arctan（~竺史竺），奇函数，如下图:

I-tZCOS69

2.28(a)求序列外川的傅里叶变换

1,0<n<M

r[n]=^

(),else

(b)考虑序列创川,

1(1+cos需),0<n<M

co[n]=<2

0else

画出“1川，并利用八川的傅里叶变换来表示斜川的傅里叶变换。提示：先利用川川和

复指数产…、er-来表示以叫

画出Rd)和以2)的幅度特性。

解:

sjgl)

sM