陕西省石泉县高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理教学实录 北师大版必修5

陕西省石泉县高中数学第二章解三角形2.1正弦定理教学实录北师大版必修5授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析1.本节课的主要教学内容：本节课将围绕陕西省石泉县高中数学教材《必修5》第二章“解三角形”中的2.1节“正弦定理”展开，主要讲解正弦定理的概念、性质以及应用。

2.教学内容与学生已有知识的联系：正弦定理是解三角形的重要工具，学生在学习本节课前已经掌握了三角函数、和差角公式、三角形内角和定理等知识，这些知识为正弦定理的学习奠定了基础。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过正弦定理的学习，学生能够抽象出三角形边角关系的数学模型，提升逻辑推理能力；在解决实际问题中，学生将运用正弦定理进行数学建模，锻炼数学建模能力；同时，通过正弦定理的应用，学生将提高数学运算的准确性和效率。教学难点与重点1.教学重点，

①正弦定理的推导过程及其数学表达形式的理解。这包括理解正弦定理是如何从三角形内角和定理和正弦函数的性质推导出来的，以及如何正确写出正弦定理的数学表达式。

②正弦定理在实际问题中的应用。学生需要掌握如何将正弦定理应用于解决具体的几何问题，如求三角形的未知边长或角度。

2.教学难点，

①正弦定理的应用范围和条件。学生需要理解正弦定理适用的范围，以及在哪些条件下可以使用正弦定理解决问题，避免错误的应用。

②正弦定理与三角形其他性质的综合应用。在解决复杂问题时，学生往往需要将正弦定理与其他几何性质如余弦定理、正切定理等结合使用，这需要较高的综合分析能力和解决问题的能力。

③在解决实际问题中，如何从实际问题中抽象出正弦定理模型。学生需要学会从实际问题中提取有效信息，建立与正弦定理相关的数学模型，并进行合理的数学运算和推理。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《陕西省石泉县高中数学》教材《必修5》第二章“解三角形”部分，以便跟随课程内容进行学习。

2.辅助材料：准备与正弦定理相关的图片、图表，如不同类型三角形的正弦值对比图，以及相关的教学视频，帮助学生直观理解正弦定理的应用。

3.教学工具：准备直尺、圆规等基本的绘图工具，用于辅助学生进行课堂练习和绘图。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行小组合作学习，并在黑板上预留足够空间用于板书和展示解题过程。教学过程一、导入新课

（教师）同学们，上一节课我们学习了三角形的一些基本性质，今天我们将继续探索三角形的奥秘，学习一个新的重要定理——正弦定理。在现实生活中，正弦定理有着广泛的应用，比如在航海、建筑、工程测量等领域。那么，正弦定理究竟是什么呢？今天我们就一起来揭开它的神秘面纱。

（学生）期待学习正弦定理。

二、新课讲授

1.正弦定理的提出

（教师）首先，我们要明确正弦定理的定义。正弦定理是指在任意三角形ABC中，各边的长度与其对应角的正弦值之比都相等。用数学公式表示就是：a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形ABC的三边，A、B、C分别表示三角形的三个内角。

（学生）认真听讲，理解正弦定理的定义。

2.正弦定理的推导

（教师）接下来，我们来探讨正弦定理是如何推导出来的。首先，我们要知道正弦函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角对边与斜边的比值。然后，我们可以通过极限的思想推导出任意角的正弦值。最后，结合三角形内角和定理，我们就可以推导出正弦定理。

（学生）积极思考，跟随老师的推导过程。

3.正弦定理的应用

（教师）正弦定理在实际问题中的应用非常广泛。比如，在航海中，船员可以通过测量船与岸上灯塔之间的距离和角度，利用正弦定理计算出船与灯塔的直线距离；在建筑中，设计师可以利用正弦定理计算建筑物的斜面角度；在工程测量中，测量人员可以利用正弦定理测量未知距离等。

（学生）结合实际，思考正弦定理在各个领域的应用。

4.正弦定理的性质

（教师）正弦定理具有以下性质：

（1）正弦定理适用于任意三角形，无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。

（2）正弦定理可以用于求解三角形的未知边长或角度。

（3）正弦定理可以用于证明三角形全等或相似。

（学生）认真总结正弦定理的性质。

三、课堂练习

1.求解三角形

（教师）请同学们利用正弦定理求解以下三角形问题：

（1）已知三角形ABC中，a=3，b=4，∠C=60°，求∠A和∠B的正弦值。

（2）已知三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，c=5，求边a和边b的长度。

（学生）独立完成练习，并尝试求解。

2.应用正弦定理解决实际问题

（教师）请同学们根据以下实际问题，利用正弦定理求解：

（1）在航海中，船员测量到船与灯塔之间的距离为200米，船与灯塔的连线与水平线的夹角为30°，求船与灯塔的直线距离。

（2）在建筑中，设计师设计了一个斜面，已知斜面的长度为10米，斜面与水平线的夹角为45°，求斜面的高度。

（学生）分组讨论，共同解决问题。

四、课堂小结

（教师）同学们，今天我们学习了正弦定理，了解了它的定义、推导过程、应用和性质。正弦定理在数学和实际生活中都有广泛的应用，希望大家能够熟练掌握它。

（学生）回顾所学内容，总结正弦定理的关键点。

五、课后作业

1.完成教材中的课后练习题。

2.收集与正弦定理相关的实际问题，并尝试利用正弦定理解决。

（学生）认真完成作业，巩固所学知识。教学资源拓展1.拓展资源：

-三角函数的图像与性质：介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的图像特点，包括周期性、奇偶性、对称性等，以及如何通过图像来理解函数的性质。

-三角恒等变换：探讨三角函数的基本恒等变换，如和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等，这些变换在解三角形和证明三角形性质中非常有用。

-解三角形的应用：介绍解三角形在实际问题中的应用，如测量、航海、建筑、天文等领域，通过具体案例展示解三角形如何解决实际问题。

-几何证明方法：探讨几何证明中的常用方法，如综合法、分析法、反证法、构造法等，这些方法可以帮助学生更好地理解和应用正弦定理。

2.拓展建议：

-学生可以通过在线教育平台或图书馆资源，查找有关三角函数图像和性质的详细资料，加深对函数性质的理解。

-建议学生尝试自己推导三角恒等变换，通过实际操作来掌握变换的技巧和规律。

-鼓励学生收集生活中的实际问题，如测量校园内旗杆的高度、计算建筑物的斜面角度等，将这些实际问题转化为数学问题，并尝试使用正弦定理来解决。

-组织学生进行小组讨论，共同探讨几何证明的方法，通过讨论和练习，提高学生的逻辑思维和证明能力。

-建议学生阅读相关的数学竞赛题库或奥数题目，这些题目往往涉及复杂的几何证明和解三角形问题，有助于提高学生的解题技巧和数学思维能力。

-鼓励学生参与数学兴趣小组或数学俱乐部，与其他对数学有热情的同学一起学习和交流，共同进步。

-通过观看数学教育视频或参加数学讲座，了解数学领域的前沿知识和研究动态，激发学生对数学的兴趣和探索欲望。课后作业1.作业内容：

已知三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，边AB=8cm，求边AC和边BC的长度。

解答：

根据正弦定理，我们有：

AC/sinA=AB/sinB

BC/sinB=AB/sinA

代入已知条件，得到：

AC/sin30°=8cm/sin45°

BC/sin45°=8cm/sin30°

解得：

AC=8cm*sin30°/sin45°≈5.66cm

BC=8cm*sin45°/sin30°≈11.31cm

2.作业内容：

在三角形ABC中，已知边AB=10cm，边AC=6cm，∠A=60°，求边BC的长度。

解答：

根据余弦定理，我们有：

BC²=AB²+AC²-2*AB*AC*cosA

代入已知条件，得到：

BC²=10²+6²-2*10*6*cos60°

BC²=100+36-120*0.5

BC²=136-60

BC²=76

解得：

BC=√76≈8.72cm

3.作业内容：

在三角形ABC中，已知∠A=120°，∠B=30°，边AB=8cm，求边AC和边BC的长度。

解答：

根据正弦定理，我们有：

AC/sinB=AB/sinA

BC/sinA=AB/sinB

代入已知条件，得到：

AC/sin30°=8cm/sin120°

BC/sin120°=8cm/sin30°

解得：

AC=8cm*sin30°/sin120°≈4cm

BC=8cm*sin120°/sin30°≈13.86cm

4.作业内容：

在三角形ABC中，已知边AB=5cm，边AC=4cm，∠A=90°，求∠B和∠C的正弦值。

解答：

由于∠A=90°，这是一个直角三角形，我们可以使用勾股定理来求解∠B和∠C的正弦值。

首先，求出边BC的长度：

BC²=AB²+AC²

BC²=5²+4²

BC²=25+16

BC²=41

解得：

BC=√41≈6.4cm

然后，求出∠B和∠C的正弦值：

sinB=AC/BC≈4/6.4≈0.625

sinC=AB/BC≈5/6.4≈0.781

5.作业内容：

在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠B=75°，边AB=10cm，求边AC和边BC的长度。

解答：

根据正弦定理，我们有：

AC/sinB=AB/sinA

BC/sinA=AB/sinB

代入已知条件，得到：

AC/sin75°=10cm/sin30°

BC/sin30°=10cm/sin75°

解得：

AC=10cm*sin30°/sin75°≈6.06cm

BC=10cm*sin75°/sin30°≈14.14cm作业布置与反馈作业布置：

1.完成教材中的课后习题，包括应用正弦定理求解三角形未知边长或角度的题目。

2.选择两个实际生活中的问题，利用正弦定理进行建模和计算，并撰写简短的报告。

3.对本节课所学的正弦定理的性质进行总结，并尝试用文字或图表形式展示。

4.设计一个简单的数学游戏或谜题，融入正弦定理的知识，并与同学分享。

作业反馈：

1.对学生的作业进行及时批改，确保作业的完成度和准确性。

2.指出学生在解题过程中出现的错误，如公式运用错误、计算错误等，并提供正确的解答过程。

3.对于学生报告中存在的问题，如模型建立不合理、计算过程不完整等，给出具体的改进建议。

4.对于学生的总结和展示，给予积极的评价，并指出可以改进的地方，如图表的清晰度、总结的全面性等。

5.组织学生进行作业分享，让学生互相评价，提高学生的合作能力和交流能力。

6.对于作业中表现出色的学生，给予表扬和鼓励，激发学生的学习兴趣和积极性。

7.针对学生在作业中普遍存在的问题，组织课后辅导或小组讨论，帮助学生共同克服困难。

8.定期与学生家长沟通，反馈学生的学习情况，共同关注学生的成长和进步。

9.在下一节课开始时，对上一节课的作业进行总结和点评，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。板书设计1.正弦定理的定义

①正弦定理：在任意三角形ABC中，各边的长度与其对应角的正弦值之比都相等。

②公式表示：a/sinA=b/sinB=c/sinC

2.正