2024-2025学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式（教师用书）教学实录 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第3章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2第1课时两角和与差的正弦、余弦公式（教师用书）教学实录新人教A版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容教材：新人教A版必修4

章节：第3章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2第1课时两角和与差的正弦、余弦公式（教师用书）教学实录

内容：本节课主要讲解两角和与差的正弦、余弦公式，包括公式推导、性质及应用。通过实例讲解，帮助学生掌握公式的运用，并能灵活运用公式解决实际问题。核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过两角和与差的正弦、余弦公式的推导，让学生体会数学建模的思想；提升逻辑推理能力，引导学生通过公式推导过程，理解数学证明的逻辑结构；增强数学运算能力，通过公式的应用练习，提高学生运用公式进行计算的能力；同时，培养学生数学应用意识，学会将公式应用于解决实际问题，提高解决实际问题的能力。重点难点及解决办法重点：

1.两角和与差的正弦、余弦公式的推导过程。

2.公式的应用，包括如何灵活运用公式解决实际问题。

难点：

1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦公式的推导逻辑。

2.在解题过程中，如何识别并正确应用这些公式。

解决办法：

1.通过几何图形的直观演示和公式推导的逐步讲解，帮助学生理解公式的来源和推导过程。

2.设计一系列由浅入深的练习题，让学生在解题过程中逐步掌握公式的应用。

3.引导学生通过小组讨论和合作学习，共同解决难题，培养解决问题的团队协作能力。

4.针对难点问题，提供变式练习，帮助学生从不同角度理解和应用公式。教学资源-软硬件资源：多媒体教学平台、电子白板、笔记本电脑、投影仪

-课程平台：学校教学资源库、网络教学平台

-信息化资源：几何画板软件、数学公式库、在线教育视频

-教学手段：实物模型、几何图形纸、黑板、粉笔、教学PPT教学过程一、导入新课

（1）课堂开始，我会用一个问题引起学生的兴趣：“同学们，你们知道三角函数在日常生活中有哪些应用吗？”

（2）学生回答后，我会简要介绍三角函数在建筑、物理、天文等领域的应用，激发学生对三角函数的兴趣。

二、新课讲授

1.两角和与差的正弦、余弦公式推导

（1）首先，我会展示一个具体的几何图形，引导学生观察并分析图形的性质。

（2）接着，我会引导学生回顾三角函数的定义，并说明如何利用三角函数的定义推导两角和与差的正弦、余弦公式。

（3）在推导过程中，我会强调公式推导的步骤和逻辑，让学生学会如何从已知条件推导出未知结论。

2.两角和与差的正弦、余弦公式性质

（1）我会列举几个两角和与差的正弦、余弦公式的性质，如公式中的角度关系、三角函数值的范围等。

（2）通过实例讲解，让学生理解并掌握这些性质，为后续解题打下基础。

3.两角和与差的正弦、余弦公式应用

（1）我会展示几个应用两角和与差的正弦、余弦公式的例题，让学生观察解题思路和方法。

（2）在讲解过程中，我会强调解题步骤的规范性，让学生学会如何将公式应用于实际问题。

三、课堂练习

1.我会设计几个与两角和与差的正弦、余弦公式相关的练习题，让学生在课堂上完成。

（1）练习题包括选择题、填空题和解答题，涵盖公式推导、性质和应用的各个方面。

（2）在学生做练习的过程中，我会巡视课堂，解答学生提出的问题，确保每个学生都能跟上教学进度。

2.我会组织学生进行小组讨论，让他们互相交流解题思路和方法。

（1）在小组讨论中，我会引导学生关注不同解题方法的优缺点，培养学生的批判性思维。

（2）同时，我会鼓励学生提出自己的观点，培养学生的创新意识。

四、课堂小结

1.我会回顾本节课所学内容，强调两角和与差的正弦、余弦公式的重要性。

2.我会让学生总结本节课的收获，并提出疑问，为下一节课做好铺垫。

五、布置作业

1.我会布置一些与两角和与差的正弦、余弦公式相关的课后作业，让学生巩固所学知识。

2.作业包括公式推导、性质和应用的练习题，以及一些实际问题。

六、课堂反馈

1.在课后，我会收集学生的作业，了解学生对本节课内容的掌握情况。

2.根据学生的反馈，我会调整教学策略，提高教学效果。教学资源拓展1.拓展资源：

-《三角函数的实际应用》专题文章，探讨三角函数在工程、物理、天文学等领域的应用案例。

-《三角恒等变换的历史发展》资料，介绍三角恒等变换的发展历程和相关数学家的贡献。

-《三角函数的图形表示》教学辅助材料，提供使用图形工具（如直角坐标系、极坐标系）来表示三角函数的方法。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读《三角函数的实际应用》专题文章，通过实际案例了解三角函数在现实世界中的应用，增强对数学与生活联系的认识。

-组织学生进行小组讨论，探讨《三角恒等变换的历史发展》中的数学家故事，激发学生对数学史的兴趣，并了解数学发展的脉络。

-利用《三角函数的图形表示》材料，让学生通过绘制三角函数图像，加深对函数性质的理解，提高图形化思维的能力。

-建议学生尝试使用几何画板等软件，亲自绘制三角函数图像，通过动态变化观察函数的性质，如周期性、奇偶性等。

-推荐学生阅读相关的数学竞赛题目，通过解决这些题目，提高数学思维能力和解题技巧。

-鼓励学生参与数学社团或俱乐部活动，与其他同学一起研究三角函数的相关问题，通过合作学习，共同进步。

-建议学生尝试自己推导三角恒等变换的一些公式，如和差化积公式、积化和差公式等，通过亲自动手，加深对公式推导过程的理解。

-组织学生进行角色扮演，模拟数学家的角色，通过角色扮演的方式，让学生体验数学发现的过程，提高他们的创新思维和表达能力。典型例题讲解例题1：

已知角A和B的正弦值分别为sinA=1/2，sinB=3/5，求cos(A+B)的值。

解：

首先，我们需要知道角A和角B的余弦值。由于sin^2θ+cos^2θ=1，我们可以计算cosA和cosB。

cosA=√(1-sin^2A)=√(1-(1/2)^2)=√(1-1/4)=√(3/4)=√3/2

cosB=√(1-sin^2B)=√(1-(3/5)^2)=√(1-9/25)=√(16/25)=4/5

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

代入已知的值：

cos(A+B)=(√3/2)(4/5)-(1/2)(3/5)

cos(A+B)=(4√3)/10-(3)/10

cos(A+B)=(4√3-3)/10

例题2：

已知tanθ=3，求sinθcosθ的值。

解：

由于tanθ=sinθ/cosθ，我们可以设sinθ=3m，cosθ=m，其中m是一个未知数。

根据sin^2θ+cos^2θ=1，我们有：

(3m)^2+m^2=1

9m^2+m^2=1

10m^2=1

m^2=1/10

m=√(1/10)=1/√10

因此，sinθ=3m=3/√10，cosθ=m=1/√10

sinθcosθ=(3/√10)(1/√10)=3/10

例题3：

已知sinA=1/2，cosA=√3/2，求sin(2A)的值。

解：

使用二倍角公式sin(2θ)=2sinθcosθ，我们可以直接代入已知的值。

sin(2A)=2sinAcosA

sin(2A)=2(1/2)(√3/2)

sin(2A)=√3/2

例题4：

已知tanα=2，求cos(α-π/4)的值。

解：

首先，我们需要知道cosα和sinα的值。由于tanα=sinα/cosα，我们可以设sinα=2k，cosα=k，其中k是一个未知数。

根据sin^2α+cos^2α=1，我们有：

(2k)^2+k^2=1

4k^2+k^2=1

5k^2=1

k^2=1/5

k=√(1/5)=1/√5

因此，sinα=2k=2/√5，cosα=k=1/√5

cos(α-π/4)=cosαcos(π/4)+sinαsin(π/4)

cos(α-π/4)=(1/√5)(√2/2)+(2/√5)(√2/2)

cos(α-π/4)=(√2/2√5)+(2√2/2√5)

cos(α-π/4)=(3√2)/2√5

cos(α-π/4)=3√10/10

例题5：

已知cosβ=-1/2，求sin(π/2+β)的值。

解：

由于sin(π/2+θ)=cosθ，我们可以直接使用已知的cosβ值。

sin(π/2+β)=cosβ

sin(π/2+β)=-1/2

这些例题涵盖了三角恒等变换中的一些基本题型，包括两角和与差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角公式和和差化积公式。通过这些例题，学生可以更好地理解并掌握这些公式在实际问题中的应用。教学反思与总结今天这节课，我们学习了三角恒等变换中的两角和与差的正弦、余弦公式。在回顾整个教学过程时，我觉得有几个方面值得反思。

首先，我在教学方法上尝试了一些新的策略。比如，我引入了几何图形来帮助学生直观地理解公式的推导过程。我发现，这种方法对于一些学生来说效果不错，他们能够更好地理解公式背后的逻辑。但是，也有部分学生还是觉得抽象，可能需要更多的实例来辅助理解。

在教学策略上，我注意到了一些细节。例如，我在讲解公式推导时，特别强调了每一步的推理过程，让学生明白每一步是如何得出的。这样做的好处是，学生不仅学会了公式，还学会了如何进行数学证明。不过，我也注意到，有些学生可能因为跟不上市而感到沮丧，这可能需要我在今后的教学中更加注意节奏和难度。

在课堂管理方面，我尝试了小组讨论的方式，让学生在小组内互相交流解题思路。这种方法提高了学生的参与度，但也出现了一些问题，比如讨论过程中有些学生比较活跃，而有些学生则不太发言。我需要在今后的教学中更好地引导和平衡每个学生的参与度。

至于教学效果，我觉得整体上是积极的。大部分学生能够掌握两角和与差的正弦、余弦公式，并且在练习题中能够灵活运用。在情感态度方面，学生对于数学的兴趣似乎有所提高，他们开始对三角函数的应用产生了好奇。

当然，也存在一些问题和不足。比如，有些学生在解题时容易犯基本的计算错误，这可能是因为他们对基础知识的掌握不够牢固。此外，我在讲解过程中可能过于注重公式推导的细节，而忽略了公式的实际应用，这可能导致学生在面对实际问题时感到困惑。

针对这些问题，我提出以下改进措施和建议：

1.在今后的教学中，我会更加注重基础知识的巩固，通过更多的练习来帮助学生熟练掌握基本的三角函数知识。

2.我会尝试不同的教学方法，比如通过游戏、竞赛等形式来提高学生的兴趣和参与度。

3.在课堂管理上，我会更加关注每个学生的参与情况，确保每个学生都有机会表达自己的观点。

4.我会鼓励学生多思考、多提问，培养他们的批判性思维和解决问题的能力。板书设计①本文重点知识点：

-两角和与差的正弦公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB

-两角和与差的余弦公式：cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB

-两角和与差的正切公式：tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)

②关键词：

-和差公式

-正弦

-余弦

-正切

-公式推导

-应用

③重点句子：

-公式的推导过程

-公式的性质和应用

-如何运用公式解决实际问题

-公式的实际应用案例

-公式在不同领域中的应用课堂课堂评价是教学过程中不可或缺的一环，它有助于我们了解学生的学习情况，及时发现问题并进行解决。以下是我对课堂评价的几个方面的具体实施和思考：

1.课堂提问

在课堂上，我会通过提问的方式来检验学生对知识的掌握程度。例如，在讲解两角和与差的正弦、余弦公式时，我会提出以下问题：

-请同学们回顾一下三角函数的定义，如何利用定义推导两角和与差的正弦、余弦公式？

-能否举例说明这些公式在实际问题中的应用？

-在应用公式时，需要注意哪些细节？

2.观察学生表现

在课堂上，我会密切关注学生的表现，包括他们的眼神、表情、动作等。例如，当我在讲解公式推导时，我会观察学生是否能够跟上我的思路，是否能够独立完成推导过程。当我在讲解公式应用时，我会观察学生是否能够正确运用公式，是否能够灵活解决实际问题。

3.小组讨论

为了提高学生的参与度和合作能力，我会组织学生进行小组讨论。在讨论过程中，我会观察每个学生的表现，包括他们是否能够积极参与讨论、是否能够提出自己的观点、是否能够倾听他人的意见等。

4.课堂测试

为了全面了解学生的学习情况，我会定期进行课