《 备考指南 数学 》课件-第3章 第3讲

函数概念与基本初等函数第三章第3讲函数的奇偶性与周期性课标要求考情概览1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性考向预测：本部分常常命制高考试题，难度中等，常结合分段函数、不等式等内容进行综合考查，难度中等．学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的能力栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏1奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于______对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于______对称1.函数的奇偶性f(－x)＝f(x)

y轴

f(－x)＝－f(x)

原点

【常用结论】函数奇偶性的几个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．2.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_______的正数，那么这个____________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)

最小

最小正数

2．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．1．(教材改编)下列函数为偶函数的是 (

)A．f(x)＝x－1

B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－x

D．f(x)＝2x＋2－x【答案】D【答案】C3．(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是 (

)A．函数f(x)是以2为周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x＋2)为偶函数D．函数f(x－3)为偶函数【答案】BC4．(2021年新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.【答案】15．(2021年运城模拟)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________.【答案】sinπx1．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．2．判定分段函数的奇偶性时，不能利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数来否定函数在整个定义域上的奇偶性．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数． (

)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． (

)(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． (

)(4)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)也是偶函数． (

)(5)若T为函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是函数f(x)的周期． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√重难突破能力提升2函数奇偶性的判断方法二(定义法)：易知f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．方法三：f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．【解题技巧】判断函数奇偶性的三种方法(1)定义法：(2)图象法：

(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．[提醒]对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．【答案】(1)D

(2)A函数的周期性【答案】(1)C

(2)－1【解题技巧】1．函数周期性的判断方法判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．2．利用函数周期性求值的方法技巧根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．【变式精练】2．(1)(2021年重庆模拟)已知函数f(x)对任意的实数x都满足f(x＋4)＋f(x)＝2f(2)，且函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，若f(－1)＋f(－2)＝2，则f(2021)＝ (

)A．0 B．2C．－2 D．2021(2)已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，且当x∈(1,4]时，f(x)＝3x－1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________.【答案】(1)B

(2)803【解析】(1)在f(x＋4)＋f(x)＝2f(2)中，令x＝－2，得f(2)＋f(－2)＝2f(2)，所以f(－2)＝f(2)．又函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，则f(x)的图象关于原点对称，故f(x)为奇函数，故f(－x)＝－f(x)，所以f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，即f(x＋4)＋f(x)＝0，即f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x)＝f(x＋8)，故f(x)是周期为8的周期函数．若f(－1)＋f(－2)＝2，则有f(－1)＋0＝2，即f(－1)＝2，则f(2021)＝f(252×8＋5)＝f(5)＝f(1＋4)，而f(1＋4)＋f(1)＝2f(2)，所以f(1＋4)＝2f(2)－f(1)＝2f(2)＋f(－1)＝0＋2＝2，即f(2021)＝2.故选B．(2)由题意，得f(1)＝f(4)＝11，f(2)＝5，f(3)＝8，故f(1)＋f(2)＋f(3)＝24，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝33×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(33×3＋1)＝803.示通法函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象，利用已知区间上函数的性质解决问题．函数性质的应用考向1奇偶性的应用

(2021年开封模拟)已知定义在[m－5,1－2m]上的奇函数f(x)，满足x＞0时，f(x)＝2x－1，则f(m)的值为 (

)A．－15 B．－7C．3 D．15【答案】A

【解析】由题意知，(m－5)＋(1－2m)＝0，解得m＝－4.又当x＞0时，f(x)＝2x－1，则f(m)＝f(－4)＝－f(4)＝－(24－1)＝－15.故选A．考向2单调性与奇偶性结合

如果函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，那么函数f(x)的单调递增区间是________．【答案】(－∞，0]【解析】因为函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则2(k－1)x＝0对任意的x∈R恒成立，所以k－1＝0，解得k＝1，所以f(x)＝－x2＋3.所以函数y＝f(x)的图象是开口向下的抛物线，所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，0]．考向3周期性与奇偶性结合 (2021年烟台月考)已知f(x)是定义在R上的函数，若y＝f(x＋1)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(x)是 (

)A．周期为2的奇函数 B．周期为4的奇函数C．周期为2的偶函数 D．周期为4的偶函数【答案】B

【解析】因为y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(x＋2)＝f(－x)．又f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即周期为4；由f(2＋x)＝－f(2－x)，f(2＋x－4)＝f(2＋x)，得f(x－2)＝－f(2－x)，即有f(x)＝－f(－x)，所以为奇函数．故选B．【答案】C

【解题技巧】1．函数性质应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．2．函数性质综合应用的注意点函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转化，再利用单调性解决相关问题．【变式精练】3．(1)(2021年深圳月考)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则x∈[－2,0]时，f(x)的解析式为 (

)A．f(x)＝2＋|x＋1| B．f(x)＝3－|x＋1|C．f(x)＝2－x D．f(x)＝x＋4(2)(2020年新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是 (

)A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]【答案】(1)B

(2)D

(3)C【解析】(1)因为f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，所以当x∈[－2，－1]时，x＋4∈[2,3]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4；当x∈[－1,0]时，－x＋2∈[2,3]，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝－x＋2，所以当x∈[－2,0]时，f(x)＝3－|x＋1|.故选B．(2)法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x<0，所以－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]．故选D．法二：