《 备考指南 数学 》课件-第3章 第2讲

函数概念与基本初等函数第三章第2讲函数的单调性与最值课标要求考情概览1．借助图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值．2．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义考向预测：函数的单调性经常作为考试内容，是知识热点之一，考查已知单调性求解某一参数的值或范围问题，多以客观题或填空题形式出现，难度小，属于基础题．学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的能力栏目导航01基础整合

自测纠偏0302重难突破

能力提升配套训练基础整合自测纠偏1

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增当x1<x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减1.函数的单调性(1)单调函数的定义f(x1)<f(x2)

f(x1)>f(x2)

上升

下降

(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上__________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．单调递增

单调递减

前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件∀x∈I，都有____________；∃x0∈I，都有_____________∀x∈I，使得____________；∃x0∈I，使得_____________结论M为最大值M为最小值2.函数的最值f(x)≤M

f(x0)＝M

f(x)≥M

f(x0)＝M

(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．2．函数最值存在的2个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【答案】B【答案】D【答案】AC4．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

【答案】[－1,1]和[5,7]增(减)函数定义中的x1，x2有三个特征，一是任意性；二是有大小，即x1＜x2(x1＞x2)；三是同属于一个单调区间；三者缺一不可．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．

(

)(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数． (

)(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)内是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． (

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)×重难突破能力提升2示通法求函数的单调区间时，应先求定义域，在定义域内求解．确定函数的单调性或单调区间【解题技巧】判断函数的单调性和求单调区间的方法定义法一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论图象法若f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性导数法先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间性质法对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断复合法对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断【答案】(1)D

求函数的最值(值域)【答案】(1)B

(2)[3，＋∞)【解题技巧】求函数最值(值域)的5种常用方法单调性法易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值(值域)图象法能作出图象的函数，用图象法，观察其图象最高点、最低点，求出最值(值域)基本不等式法分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量(如x，y)的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，再用基本不等式法求最值(值域)导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法对比较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(值域)．注意换元后的新元的取值范围示通法利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．函数单调性的应用【答案】D

【答案】A

【答案】C

【解题技巧】函数单调性应用问题的常见类型及解题策略：(1)比较大小．比较函数值的大小时，应将自变量转化到同一个单调区间内进行比较．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f