《 备考指南 数学 》课件-第8章 第7讲

立体几何与空间向量第八章第7讲立体几何中的向量方法(二)课标要求考情概览1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题．2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.考向预测：从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容．预测本年度高考将会以空间向量为工具计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角．试题以解答题的形式呈现，要求有较强的运算能力．学科素养：主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏13．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝________________.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．(a·u)u

【特别提醒】1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.2．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两个半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补．【常用结论】最小角定理cosθ＝cosθ1cosθ2如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2．【答案】D【答案】D3．(2021年无锡月考)若平面α的一个法向量为n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量为n2＝(－3,1,3)，则平面α与β所成的角等于 (

)A．30°

B．45°

C．60°

D．90°【答案】D【答案】30°5．(教材改编)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面PAB与平面PCD所成的角为________．【答案】45°判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角． (

)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． (

)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√重难突破能力提升2

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.利用空间向量求异面直线所成的角【解题技巧】用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)分别确定异面直线上两个点的坐标，从而确定两条异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．【答案】C

利用空间向量求直线与平面所成的角【解题技巧】利用空间向量求线面角的解题模型【变式精练】2．(2020年新高考卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC，且PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PDC.又因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.

(2021年新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．(1)证明：OA⊥CD；(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积．利用空间向量求二面角(1)证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面BCD，所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD.(2)解：如图，取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，过O作OM∥CF与BC交于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．空间距离【解题技巧】1．空间距离包括空间内任意两点之间的距离、点到平面的距离、直线与平面的距离以及两平行平面之间的距离，其中两点间的距离可以用向量的模长处理，其他三种距离的求解都可以转化为点到平面的距离.【变式精练】4．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，AD＝2，AB＝3，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PB上一点(不与P，B重合)，平面ADE交棱PC于点F.(1)求证：AD∥EF；(1)证明：因为底面ABCD为矩形，所以AD∥BC，又因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为AD⊂平面ADE，平面ADE∩平面PBC＝EF，所以AD∥EF.(2)解：取AD的中点O，连接PO，过点O作OH∥AB交BC于点H，因为侧面PAD为正三角形，所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，所以PO⊥平面ABCD，因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD，所以OH⊥AD，以OA，OH，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，素养微专直击高考3高考中立体几何解答题的第二问考查空间角，其中线面角和二面角是考查的重点，求解方法有几何法和向量法，本文重点介绍几何法．思想方法——用几何法求解空间角典例精析解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)．(2)由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角，则∠PDA＝45°，设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2．过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH，易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE，于是CE⊥平面PAH，所以平面PCE⊥平面PAH.【解题技巧】1．用几何法求线面角时，先寻找过斜线上一点与平面垂直的直线，连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角，再把该角归结在某个三角形中，通过解三角形求出该角．2．找二面角有三种方法，一是定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线；二是三垂线定理法：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角；三是垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．迁移应用(1)证明：设E为BC的中点，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E