一元二次方程重难点复习

一元二次方程重难点复习一元二次方程重难点复习一元二次方程重难点复习解一元二次方程复习2020/12/281解一元二次方程复习2020/12/282回顾与复习1温故而知新我们已经学过了几种解一元二次方程的方法(1)直接开平方法:(2)配方法:x2(a≥0)()2(k≥0)(3)公式法:2020/12/283分解因式法当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.我思我进步提示:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,则至少有一个因式等于零.”把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.2020/12/284分解因式的方法有那些（1）提取公因式法:（2）公式法:（3）十字相乘法:我思我进步().a22=()(),a2+22=()2.x2+()()().2020/12/2851.x2-4=0;2.(1)2-25=0.解：(2)(2)=0,∴2=0,或2=0.∴x12,x2=2.学习是件很愉快的事淘金者你能用分解因式法解下列方程吗？解：[(1)+5][(1)-5]=0,∴6=0,或4=0.∴x16,x2=4.这种解法是不是解这两个方程的最好方法2020/12/286用因式分解法解一元二次方程的步骤1o方程右边化为。2o将方程左边分解成两个的乘积。3o至少因式为零，得到两个一元一次方程。4o两个就是原方程的解。零一次因式有一个一元一次方程的解2020/12/287例(3)(x－1)=5解：原方程可变形为:(x－2)(4)=0x－2=0或4=0∴x1=224解题步骤演示x2+2x－8=0左边分解成两个一次因式的乘积至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程两个一元一次方程的解就是原方程的解方程右边化为零2020/12/288巩固练习书P14,练习:1、2.1.解下列方程2020/12/289巩固练习书P45,练习:1、2.2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为r.2020/12/2810解题框架图解：原方程可变形为：=0()()=0=0或=0∴x1=,x2=一次因式A一次因式A一次因式B一次因式BA解A解

2020/12/2811解下列方程1、x2－3x－10=02、(3)(x－1)=5解：原方程可变形为解：原方程可变形为(x－5)(2)=0x2+2x－8=0(x－2)(4)=0x－5=0或2=0x－2=0或4=0∴x1=522∴x1=224十字相乘法2020/12/2812右化零左分解两因式各求解简记歌诀：2020/12/2813用配方法解一般形式的一元二次方程把方程两边都除以解:移项，得配方，得即一、真实感知2020/12/2814即一元二次方程的求根公式你有什么不同的看法或补充？(a≠0,b2-4≥0)2020/12/28151、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.4、写出方程的解x1与x2.2、求出b2-4的值.3、代入求根公式:

用公式法解一元二次方程的步骤:2020/12/2816议一议当时，方程没有实数根.当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；方程根的情况：2020/12/2817四、探索发现X1=X2=1、从两根的代数式结构上有什么特点？2、根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？2020/12/2818活学活用：1、先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出一般形式的a、b、c：（1）方程2x26=0中，，，；b2－4.（2）方程5x2－412中，，，；b2－4.（3）方程4x2－41=0中，，，；b2－4.21-6495-4-122564-4102020/12/2819例1.用公式法解方程（3）2x2-70（2）x2+22=0（1）3x2+51=0你对刚才的解法有什么看法？（4）4x²+14x2020/12/2820（1）3x2+51=0解：3，5，1，b²-45²-4×3×（-1）=37>0X==Х1=Х2=2020/12/2821（2）x2+22=0∵b²-42²-4×1×24<0∴此方程无实数解解：1，2，22020/12/2822（3）2x2-70解：2，7，0b²-4（-7）²-4×2×0=49>0Х==Х2=0Х1=2020/12/2823（4）4x²+14x解：移项，得4x²+41=04，4，1，b²-44²-4×4×1=0X==-=-X1=X22020/12/2824巩固练习（1）x²+34=0（2）x²-x=12020/12/2825练一练（1）方程，其中a=_______，

b=________，c=_________（2）方程，这里2020/12/2826解一解例1：用公式法解下列方程:2020/12/28271、m取什么值时，方程x2+(21)2-4=0有两个相等的实数解五、智力挑战2、关于x的一元二次方程x²5=0。当m满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？2020/12/2828三、自选商场用适当的方法解下列一元二次方程1、x（27）=2x2、x²+433、x²-544、2x²-31=02020/12/28291.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？2020/12/28304、求一个一元二次方程，使它的两个

根分别为

①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2x2-56=0x2-328=0③(3)(8)=0x2+524=0④(5)(2)=0②(4)(7)=0①(2)(3)=0x2+710=0问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？2020/12/2831新课讲解猜想：2x2-53=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？x2=1解得：x1=所以得到,x1+x2=x1•x2=2020/12/2832填写下表：猜想：如果一元二次方程的两个根分别是、，则，你可以发现什么结论？2020/12/2833已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。求证：2020/12/2834推导:2020/12/28352020/12/2836如果一元二次方程的两个根分别是、，则：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。2020/12/2837一元二次方程的

根与系数的关系16世纪法国最杰出的数学家韦达发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。2020/12/28381.3.2.4.5.口答下列方程的两根之和与两根之积。2020/12/2839练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？返回2020/12/2840例1：已知是方程的两个实数根，求的值。解：根据根与系数的关系:2020/12/2841例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程

两个根的；（1）平方和；（2）倒数和解：设方程的两个根是x1x2，那么返回2020/12/2842例3.不解方程，求方程的两根的平方和、倒数和。（解法如上）运用根与系数的关系解题类型2020/12/2843用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值2020/12/2844求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.2020/12/2845例如：已知方程x2＝2x＋1的两根为x12，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1－x2）2（2）x13x2＋x1x23（3）2020/12/28461、如果-1是方程2X2－0的一个根，则另一个根是，m。2、设X1、X2是方程X2－41=0的两个根，则X12=1X2=，X1222=(X12)2-=(X12)2=()2-4X1X2=3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2－6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是。X122X1X2-3411412×2和-1基础练习2020/12/2847例4：已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是、，其中。所以：即：由于得：7答：方程的另一个根是，72020/12/2848例5：已知方程的两个实数根是且求k的值。解：由根与系数的关系得X12，X1×X22又X12+X22=4即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(2）=4K2-28=0

∵△=K2-48当4时，△＜0当2时，△＞0∴2解得：4或－22020/12/2849例6：方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围。解:由已知,△={即{m>01<0∴0<m<12020/12/2850总结规律：两根均为负的条件：X12且X1X2。两根均为正的条件：X12且X1X2。两根一正一负的条件：X12且X1X2。当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4≥0。即：一正根，一负根△＞0X1X2＜0两个正根△≥0X1X2＞0X1+X2＞0