黑龙江省名校协作体2025届高三下学期一模考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页黑龙江省名校协作体2025届高三下学期一模考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∣−x2−2x+8≤0，B={x∣x+4>0}，则A.2,+∞ B.−4∪2,+∞

C.4,+∞ 2.若复数z满足3−iz+2=2+6i，则z=A.1 B.2 C.2 D.3.如图是某高中学校2000名男生的身高样本的频率分布直方图，估计该样本数据的53%分位数为(

)

A.177 B.178 C.179 D.1804.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点为A，上顶点为B.若A.29 B.23 C.25.如图，在正六边形ABCDEF中，点M满足EM=2MD，则AM=(

)

A.2AB+13BC B.−16.已知M，N是圆C:x−22+y+32=5上的两个动点，且MN=2，P为直线A.3 B.4 C.15 D.167.如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若MN=R=2r，MN//平面OAB，且AB的最小值为6，则该圆台的体积为(

)

A.733π B.15π C.8.若函数f(x)=x(ex−1)的图象恒在g(x)=lnx+a图象的上方，则A.−1 B.0 C.1 D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知抛物线C:y=14x2的焦点为F，准线为l，点M(−4,m)在C上，OA.直线OM的倾斜角为135∘

B.l的方程为y=−116

C.MF=5

D.10.已知函数f(x)=sinx，g(x)=2sin2A.f(x)与g(x)的图象存在相同的对称中心

B.f(x)与g(x)的图象存在相同的对称轴

C.当x∈[−π,π]时，f(x)与g(x)的图象有5个公共点

D.将f(2x)的图象向右平移π2个单位长度后，再向上平移1个单位长度可得g(x)11.已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，记gx=f′x，若fxA.fx+4=fx B.f10=5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.记Sn为公差不为0的等差数列an的前n项和．若S6=3a2，Sk13.现将1个红球、1个黄球、1个绿球及3个白球(白球之间没有区别)放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为

.(用数字作答)14.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有顶点均在球O的球面上，若该四棱柱的体积为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+cb+c(1)求A；(2)▵ABC的外接圆半径为1，D是边BC的中点，求AD的最小值．16.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB=2CD，PC=BC，平面PAB⊥平面PBC．(1)证明：PD=AD；(2)若AB⊥AD，PA=3AD=3CD17.(本小题15分)已知函数fx=ax(1)若曲线y=fx与y=gx在点1,0处有相同的切线，求(2)若a≥12，证明：对任意的x∈18.(本小题17分)已知双曲线C:x2a2−y2b2(1)求C的方程；(2)设x轴上方的点A，B分别在C的左支与右支上，若F2B=3F19.(本小题17分)已知一个袋子中装有分别标有数字1,2,3,⋯,n,n+1,⋯,2n的2n张卡片，n∈N(1)把这个袋子中的2n张卡片分别放入2个不同的盒子中，每个盒子不空，记分配方法总数为An，求A(2)从这个袋子中依次随机抽取一张卡片．(i)若取出的卡片不再放回袋子，记X为最后一张标号为偶数的卡片被取出时所需的抽取次数，求EX(ii)若取出的卡片再放回袋子，最多抽取n次，直到取到标号为偶数的卡片就停止抽取，记抽取的次数为Y，证明：EY<2．参考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.B

6.C

7.C

8.B

9.ACD

10.BC

11.BCD

12.9

13.24

14.3π

15.解：(1)在▵ABC中，由a+cb+c=sinBsin由余弦定理得cosA=b2所以A=2π(2)由▵ABC的外接圆半径为1及正弦定理得a=2sin则3=b2+c2由D是边BC的中点，得AD=1=12所以AD的最小值是12

16.解：(1)分别取PB,PA的中点F,E，连接DE,EF,CF，则EF//AB//CD,EF=1四边形CDEF为平行四边形，DE//CF，由PC=BC，得CF⊥PB，平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，CF⊂平面PBC，所以CF⊥平面PAB，则DE⊥平面PAB，而PA⊂平面PAB，因此DE⊥PA，又E为PA的中点，所以PD=AD．(2)由(1)知，DE⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，得DE⊥AB，而AB⊥AD，AD∩DE=D,AD,DE⊂平面PAD，则AB⊥平面PAD，又AB//CD，则CD⊥平面PAD，在平面PAD内过D作Dz⊥AD，则Dz⊥DC，直线DA,DC,Dz两两垂直，以点D为原点，直线DA,DC,Dz分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，由PA=3AD=3而0<∠PDA<π，解得∠PDA=2π3，令AD=2，则PA=(3,0,−3),CB则CB⋅n=2x+2y=0PC⋅n=x+2y−3z=0，令则sinθ=|所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值2

17.解：(1)由题设f′x=2ax，g′x=1又曲线y=fx与y=gx在点1,0处有相同的切线，则(2)令ℎ(x)=ax2−1−ln则ℎ′(x)=2ax−1所以ℎ(x)在x∈1,+∞上单调递增，则ℎ(x)≥ℎ(1)=0，即f(x)≥g(x)

18.解：(1)双曲线C:x2a2−y2而a2+b所以C的方程为x2(2)设A(x0,y0),y依题意，x024−y|F1A|=4,|等腰▵F2F1A又四边形AF1F所以四边形AF1F

19.解：(1)由题意知An所以A=4(1−(2)(i)由题意知X的所有可能取值为n,n+1,⋯,2n，则P(X=k)=C所以E(X)==n因为k