贵州省遵义市播州区2024-2025学年高一下学期第一次联考数学试题（原卷版+解析版）

高一联考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册占30%，必修第二册至必修第三册第七章第2节占70%．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.2.已知集合，则集合中的元素个数是（）A.2 B.3 C.4 D.53.某校为了丰富学生的课余生活，组织了篮球比赛．已知该校高二（1）班篮球队员甲每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲每场比赛得分的分位数是（）01237822457903551377A.23 B.24 C.28 D.314.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.6.已知函数，且，则m的取值范围是（）A. B. C. D.7.某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长．若第年的投入的研发经费首次超过20万元，则（）（参考数据：）A.4 B.5 C.7 D.88.已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（）A B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.下列说法正确的是（）A.我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B.单位向量是相等向量C.零向量与任意向量平行 D.向量的模可以比较大小10.依次掷两个质地均匀骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（）A.A与C B.A与D C.B与C D.B与D11.已知，且，则下列不等式一定成立是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某科研所有名研究人员，其中男研究员人数与女研究员人数之比为．现从该研究所所有研究人员中按性别采用分层抽样的方法抽取120名研究人员进行调查，则被抽取到的女研究员人数是_______．13.如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是_______．14.已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则当时，_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．16.其校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地抽取了40名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分（满分：100分）分成，共六组．根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）从得分低于60分的样本中随机地选取2个样本，求这2个样本的得分在同一组的概率；（2）若在内的样本得分的平均数为86分，方差为10，在内的样本得分的平均数为92分，方差为6，求在内的样本得分的平均数和方差．17.已知函数（，且），且．（1）求的值；（2）判断的奇偶性并证明你的结论；（3）若不等式恒成立，求t的取值范围．18.如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上．（1）若是线段中点，且，求；（2）若是线段的中点，且，求梯形的面积；（3）若，且，求的值．19.某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立．（1）已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到奖品价值不同的概率；（2）求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率．

高一联考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册占30%，必修第二册至必修第三册第七章第2节占70%．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的加法运算法则.【详解】故选：B2.已知集合，则集合中的元素个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根据，根据集合的交运算即可求解.【详解】由，由，故，故中的元素个数是4.故选：C3.某校为了丰富学生的课余生活，组织了篮球比赛．已知该校高二（1）班篮球队员甲每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲每场比赛得分的分位数是（）01237822457903551377A.23 B.24 C.28 D.31【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合百分位数的计算公式即可求解.【详解】由茎叶图可知：共有16个数据，则，故得分的分位数为第12和第13个数据的平均数，即，故选：C4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由诱导公式，举特例可判断选项正误.【详解】由，得，则．取，，满足，但不满足．则由可得，由得不到，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A5.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用赋值法可判断ABD；利用不等式性质可判断C.【详解】，但，故A错误；，但，故B错误；因为，所以，所以，又，所以，所以，故C正确；，但，故D错误.故选：C.6.已知函数，且，则m取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定函数的奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式.【详解】函数的定义域为R，，函数是奇函数，又函数都是R上的增函数，则在R上单调递增，不等式，则，即，解得或，所以m的取值范围是.故选：A7.某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长．若第年的投入的研发经费首次超过20万元，则（）（参考数据：）A.4 B.5 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】由题意得到不等式，化简得，再利用对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可得，即，两边同时取以10为底的对数，则有，所以，解得，因为，所以.故选：B8.已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中点，由给定的向量等式，结合向量运算可得，再利用等高的两个三角形面积比求解.【详解】由，得，取的中点，连接，则，于是，因此，所以与的面积的比值为.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.下列说法正确的是（）A.我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B.单位向量是相等向量C.零向量与任意向量平行 D.向量的模可以比较大小【答案】ACD【解析】【分析】根据向量的定义以及单位向量，零向量的定义，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，我们把既有大小又有方向的量叫作向量，A正确，对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误，对于C，零向量与任意向量平行，C正确，对于D，向量的模长是实数，故可以比较大小，D正确.故选：ACD10.依次掷两个质地均匀的骰子，记事件A表示“第一个骰子正面朝上的点数为偶数”，事件B表示“第二个骰子正面朝上的点数不大于4”，事件C表示“两个骰子正面朝上的点数之和大于8”，事件D表示“两个骰子正面朝上的点数都是偶数”，则下列不是相互独立事件的是（）A.A与C B.A与D C.B与C D.B与D【答案】ABC【解析】【分析】根据给定条件，列举出样本空间，求出有关概率，再利用相互独立事件的判定公式逐项计算判断.【详解】掷两个质地均匀的骰子的样本空间：，共36个样本点，，共18个样本点，，共24个样本点，，共10个样本点，，共9个样本点，，对于A，，，A是；对于B，，，D是；对于C，，，C是；对于D，，，D不是.故选：ABC11.已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】A直接利用基本不等式判断；B化成再分析即得；C利用“1”的代换以及基本不等式计算可得；D消元后利用基本不等式即得.【详解】对于A，由，则，等号成立条件为，故A错误；对于B，由，得，又，得，故B正确；对于C，由，则，则，等号成立条件为，故C正确；对于D，由B项知，，则，等号成立条件为，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某科研所有名研究人员，其中男研究员人数与女研究员人数之比为．现从该研究所所有研究人员中按性别采用分层抽样的方法抽取120名研究人员进行调查，则被抽取到的女研究员人数是_______．【答案】45【解析】【分析】根据分层抽样的特点，根据抽样比计算即可.【详解】由题：抽取的女研究员人数为（人），故答案为：45.13.如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是_______．【答案】【解析】【分析】利用扇形面积公式，分别求出扇形和扇形的面积，作差得图形的面积，再求比值即可.【详解】设扇形的圆心角，，则，由扇形面积公式可知，，所以，所以.故答案为：.14.已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则当时，_______．【答案】【解析】【分析】利用偶函数的性质求得时，的解析式，利用周期性可求得时，的解析式.详解】令，则可得，因为函数是定义在R上的偶函数，所以，又因为，所以，所以，所以为函数的周期，当时，，由题意可得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用诱导公式与同角三角函数的商数关系可求的值；（2）利用齐次式化弦为切即可求值；（3）化为齐次式，进而弦化切即可求值.【小问1详解】因为，可得，所以；【小问2详解】；【小问3详解】.16.其校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地抽取了40名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分（满分：100分）分成，共六组．根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）从得分低于60分的样本中随机地选取2个样本，求这2个样本的得分在同一组的概率；（2）若在内的样本得分的平均数为86分，方差为10，在内的样本得分的平均数为92分，方差为6，求在内的样本得分的平均数和方差．【答案】（1）（2）平均数分，方差【解析】【分析】（1）先计算频率分布直方图求出得分低于60分的样本在不同组的数列，再利用古典概型的概率公式计算这2个样本的得分在同一组的概率；（2）根据加权平均数公式和方差的性质计算内的样本得分的平均数和方差.【小问1详解】由图可知，，解得，则在内的样本容量为，将这2个样本分别记为，在内的样本容量为，将这4个样本分别记为．从中随机地选取2个，可知样本空间，共有15个样本点．用事件表示“这2个样本的得分在同一组”，则，有7个样本点，则，即这2个样本得分在同一组的概率为．【小问2详解】由图可知，在内的样本数与在内的样本数之比为，所以在内的样本得分的平均数分，方差17.已知函数（，且），且．（1）求的值；（2）判断的奇偶性并证明你的结论；（3）若不等式恒成立，求t的取值范围．【答案】（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）把给定条件代入函数式求出参数值；（2）利用函数奇偶性定义判断并证明；（3）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可.【小问1详解】函数中，由，得，而，所以；【小问2详解】由（1）知，函数的定义域为R，，所以是R上的奇函数；【小问3详解】函数都是R上的增函数，则是R上的增函数，不等式，因此，即，则，解，得或；解，即，得.于是，所以t的取值范围是.18.如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上．（1）若是线段的中点，且，求；（2）若是线段的中点，且，求梯形的面积；（3）若，且，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据向量加减法的法则分别表示出，及，再结合图形，求出，进而求出，即可求出；（2）由（1）可知，再结合图形得到，进而求出及高，即可求出梯形的面积；（3）由题目条件先求出，设，根据向量加减法的法则分别表示出，及，由即可求出值.【小问1详解】若是线段的中点，由题意可知，，，所以.如下图所示：过作于，过作于，因为是等腰梯形，，可知，在直角中，因为，所以，，所以，所以，所以.【小问2详解】若是线段的中点，由（1）可知，，在直角中，因为，即，所以，因为，所以，即，解得，.在直角中，由勾股定理可得，所以梯形的面积.【小问3详解】由（1）可知，在直角中，因为，，所以，所以，设，所以，又由（1）知，所以，所以，因为，所以，整理得，解得或（舍），所以19.某商场为了吸引顾客，规定购买一定