第二课时抛物线的简单几何性质-高二数学理科选修教学课件(人教A版)

2.4抛物线

抛物线的简单几何性质(第二课时)1.

抛物线与直线有些什么关系?2.

过抛物线焦点的直线有什么特殊性?常与抛物线的什么联系解决这类问题?学习要点

例4.

斜率为1的直线l

经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.FxyoBA分析:如果求得A,B

两点的坐标,即可求线段AB的长.求曲线交点的坐标,需解方程组.求得直线AB的方程为y=x-1,解方程组得再由两点间的距离公式即可求得.然而,此题根据抛物线的定义求较为简便.解:抛物线的焦点是F(1,0),由点斜式得直线AB的方程为y

=x-1,x2-6x+1=0,|AB|=|AA|+|BB|=

x1+1+

x2+1=

x1+x2+2=6+2=8.如图,由抛物线知定义得解方程组得FxyoBAA

B

例4.

斜率为1的直线l

经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.(应用了抛物线的定义和二次方程根与系数的关系)

练习(补充).

一直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,与抛物线交于A,B两点,根据下列情况求弦长|AB|.(1)

AB

垂直于轴;(2)

AB

不垂直轴.FxyoBAA

B

解:(1)如图,当AB垂直轴时,分别过A,B作准线的垂线AA

,BB.则|AB|=|AA

|+|BB

|=p+p=2p.

练习(补充).

一直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,与抛物线交于A,B两点,根据下列情况求弦长|AB|.(1)

AB

垂直于轴;(2)

AB

不垂直轴.FxyoBAA

B

解:(2)当AB不垂直轴时,分别过A,B作准线的垂线AA

,BB.则|AB|=|AA

|+|BB

|设AB

的方程为代入抛物线方程整理得∴|AB|=

练习(补充).

一直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,与抛物线交于A,B两点,根据下列情况求弦长|AB|.(1)

AB

垂直于轴;(2)

AB

不垂直轴.FxyoBAA

B

过焦点的弦叫焦点弦.垂直于轴的焦点弦叫通径.用抛物线定义求焦点弦长.焦点弦长|AB|=xA+xB+p.

例5.

过抛物线焦点F

的直线交抛物线于A,B

两点,通过点A

和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB

平行于抛物线的对称轴.xoyFADB思路:要使命题成立,需B、D的y

坐标相等.由直线AO交准线得点D的y

坐标;由直线AF交抛物线得点B的y

坐标.这些坐标都由点A的坐标确定.又因为点A在抛物线上,所以点A的x

坐标可由y

坐标确定.

例5.

过抛物线焦点F

的直线交抛物线于A,B

两点,通过点A

和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB

平行于抛物线的对称轴.xoyFADB证明:设抛物线的方程为y2=2px,则可设点A的坐标为于是可写出AO的方程由直线AO与准线相交于D得①设过的直线AB为将抛物线方程代入直线AB的方程并整理得xoyFADB

例5.

过抛物线焦点F

的直线交抛物线于A,B

两点,通过点A

和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB

平行于抛物线的对称轴.证明:设抛物线的方程为y2=2px,则可设点A的坐标为于是可写出AO的方程由直线AO与准线相交于D得①设过的直线AB为将抛物线方程代入直线AB的方程并整理得ky2-2py-kp2=0,则yA·yB==-p2,②由①②得yD=yB,∴DB

平行于抛物线的对称轴.

例6.

已知抛物线的方程为y2=4x,直线l

过定点P(-2,1),斜率为k.当k

为何值时,直线l

与抛物线y2=4x:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?解:由点斜式得直线l

的方程为y-1=k(x+2).解方程组将代入y-1=k(x+2)得ky2-4y+8k+4=0.(1)当k=0时,方程①为一次方程,y

只有一解,此时

l平行于x

轴,与抛物线只有一个公共点.(2)当k≠0时,方程①为二次方程,①△=-16(2k-1)(k+1).

例6.

已知抛物线的方程为y2=4x,直线l

过定点P(-2,1),斜率为k.当k

为何值时,直线l

与抛物线y2=4x:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?解:由点斜式得直线l

的方程为y-1=k(x+2).解方程组将代入y-1=k(x+2)得ky2-4y+8k+4=0.(1)当k=0时,方程①为一次方程,y

只有一解,此时

l平行于x

轴,与抛物线只有一个公共点.(2)当k≠0时,方程①为二次方程,①△=-16(2k-1)(k+1).当△=0时,方程①只有一根,直线与抛物线解得或k=-1.(3)当△>0时,方程①有两不等实根,直线与相切.抛物线有两交点.解得(4)当△<0时,方程①无实根,直线与抛物线没有交点.解得综上所述:当时,直线与抛物线只有一个公共点;当时,直线与抛物线有两个公共点;当时,直线与抛物线没有公共点.xoyF-21Py=1y=-x-1练习:(课本72页)第3、4题.3.

过点M(2,0)作斜率为1的直线l,交抛物线y2=4x于A,B

两点,求|AB|.解:ABFxyOM如图,写出AB的方程为y=x-2.解方程组得则|AB|=练习:(课本72页)4.

垂直于x

轴的直线交抛物线y2=4x

于A,B

两点,且|AB|=

求直线AB

的方程.ABFxyO解:如图,设AB的方程为x=a,将x=a

代入抛物线y2=4x得y2=4a,解得=|y1-y2|解得a=3,∴直线AB

的方程为x=3.【课时小结】1.

过抛物线焦点的直线直线被抛物线截得的线段叫抛物线的弦.过焦点的弦叫焦点弦.垂直于轴的焦点弦叫通径.用抛物线定义求焦点弦长.焦点弦长|AB|=xA+xB+p.通径的长等于2p.【课时小结】2.

直线与抛物线直线方程与抛物线方程联列方程组:(1)方程组无解时,(2)方程组只有一解时,直线与抛物线相离.直线平行抛物线的轴,或与抛物线相切.(3)方程组有两解时,直线与抛物线相交得两个交点.习题2.4A组第6题.B组第1、2、3题.习题2.4A组6.

如图,直线y=x-2与抛物线y2=2x

相交于A,B

两点,求证:OA⊥OB.证明:解方程组解得kOA·kOB==-1,∴OA⊥OB.xoy1.

从抛物线y2=2px(p>0)上各点向x

轴作垂线段,求垂线段中点的轨迹方程,并说明它是什么曲线.·MFA········解:如图,设A(x0,y0)是抛物线上任一点,M(x,y)是垂线段AB的中点,则x

=

x0,即x0=x,y0=2y,代入抛物线方程得(2y)2=2px,即得BB组

2.

正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.xyoAB解:如图,△AOB是正三角形,因为抛物线关于x

轴对称,所以AB

被x

轴垂直平分,yA=|OA|sin30

则xA=|OA|cos30代入抛物线方程得解得∴这个正三角形的边长为3.

已知点A,B

的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM,BM

相交于点M,且直线AM

的斜率与直线BM

的斜率的差是2,