高考数学复习第八章立体几何初步第1节空间几何体的结构三视图和直观图

第1节空间几何体结构、三视图和直观图1/36最新考纲1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体结构特征，并能利用这些特征描述现实生活中简单物体结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)三视图，能识别上述三视图所表示立体模型，会用斜二测画法画出它们直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形三视图与直观图，了解空间图形不一样表示形式.2/361.简单多面体结构特征(1)棱柱侧棱都

，上、下底面是

且平行多边形；(2)棱锥底面是任意多边形，侧面是有一个

三角形；(3)棱台可由

于底面平面截棱锥得到，其上、下底面是相同多边形.知

识

梳

理平行且相等全等公共顶点平行3/362.旋转体形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形所在直线圆锥直角三角形所在直线圆台直角梯形所在直线球半圆所在直线任一边任一直角边垂直于底边腰直径4/363.三视图(1)几何体三视图包含正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体

方、

方、

方观察几何体画出轮廓线.(2)三视图画法①基本要求：长对正，

，宽相等.②在画三视图时，重合线只画一条，挡住线要画成虚线.正前正左正上高平齐5/364.直观图空间几何体直观图惯用

画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴夹角为

，z′轴与x′轴、y′轴所在平面

.(2)原图形中平行于坐标轴线段，直观图中仍分别

坐标轴.平行于x轴和z轴线段在直观图中保持原长度

，平行于y轴线段长度在直观图中变为原来

.斜二测45°（或135°）垂直平行于不变二分之一6/36[惯用结论与微点提醒]1.台体能够看成是由锥体截得，易忽略截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2.空间几何体不一样放置时其三视图不一定相同.3.常见旋转体三视图(1)球三视图都是半径相等圆.(2)水平放置圆锥、圆台、圆柱正视图和侧视图分别均为全等等腰三角形、等腰梯形、矩形.7/361.思索辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形几何体是棱柱.(

)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形几何体是棱锥.(

)(3)用斜二测画法画水平放置∠A时，若∠A两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(

)(4)正方体、球、圆锥各自三视图中，三视图均相同.(

)诊

断

自

测8/36解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所表示不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置∠A时，把x，y轴画成相交成45°或135°，平行于x轴线还平行于x轴，平行于y轴线还平行于y轴，所以∠A也可能为135°.(4)正方体和球三视图均相同，而圆锥正视图和侧视图相同，且为等腰三角形，

其俯视图为圆心和圆.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×9/362.(必修2P10T1改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下几何体是(

)A.棱台

B.四棱柱C.五棱柱

D.六棱柱解析由几何体结构特征，剩下几何体为五棱柱.答案

C10/363.(·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面对角线截去一个棱锥，得到几何体正视图与俯视图如图所表示，则该几何体侧视图为(

)11/36解析先依据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图.由几何体正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.答案B12/364.(一题多解)(·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗实线画出是某几何体三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体体积为(

)A.90π

B.63π C.42π

D.36π13/36解析法一

(割补法)由几何体三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所表示.答案B14/365.正△AOB边长为a，建立如图所表示直角坐标系xOy，则它直观图面积是________.15/3616/36考点一空间几何体结构特征【例1】(1)给出以下命题：①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点连线是圆柱母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成几何体都是圆锥；③棱台上、下底面能够不相同，但侧棱长一定相等.其中正确命题个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.317/36(2)以下命题：①以直角梯形一腰所在直线为轴旋转一周所得旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.318/36解析

(1)①不一定，只有当这两点连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成面所围成几何体不是圆锥，如图所表示，它是由两个同底圆锥组成几何体；③错误，棱台上、下底面相同且是对应边平行多边形，各侧棱延长线交于一点，不过侧棱长不一定相等.(2)由圆台定义可知①错误，②正确.对于命题③，只有平行于圆锥底面平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确.答案

(1)A

(2)B19/36规律方法

1.关于空间几何体结构特征辨析关键是紧紧围绕各种空间几何体概念，要善于经过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误，只需举一个反例即可.2.圆柱、圆锥、圆台相关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素关系.3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义，所以在处理棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”解题策略.20/36【训练1】

给出以下命题：①棱柱侧棱都相等，侧面都是全等平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形四面体；④棱台侧棱延长后交于一点.其中正确命题序号是________.21/36解析

①不正确，依据棱柱定义，棱柱各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱截面交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台概念可知.答案

②③④22/36考点二空间几何体三视图(多维探究)命题角度1由空间几何体直观图判断三视图【例2－1】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球体积过程中结构一个友好优美几何体.它由完全相同四个曲面组成，相正确两个曲面在同一个圆柱侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为表达其直观性所作辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它俯视图可能是(

)23/36解析由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面交线为可见线，在俯视图中应为实线，所以，选项B能够是几何体俯视图.答案

B24/36命题角度2由三视图判断几何体【例2－2】(1)(·全国Ⅰ卷)如图，网格纸各小格都是正方形，粗实线画出是一个几何体三视图，则这个几何体是(

)A.三棱锥

B.三棱柱C.四棱锥

D.四棱柱25/36(2)(·北京卷)某四棱锥三视图如图所表示，则该四棱锥最长棱长度为(

)26/36解析(1)由题知，该几何体三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.答案(1)B

(2)B27/36规律方法1.由直观图确定三视图，一要依据三视图含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体三视图.2.由三视图还原到直观图思绪(1)依据俯视图确定几何体底面.(2)依据正视图或侧视图确定几何体侧棱与侧面特征，调整实线和虚线所对应棱、面位置.(3)确定几何体直观图形状.28/36【训练2】(1)(·惠州模拟)如图，在底面边长为1，高为2正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD正视图与侧视图面积之和为(

)A.1 B.2 C.3 D.429/36(2)(·浙江卷)某几何体三视图如图所表示(单位：cm)，则该几何体体积(单位：cm3)是(

)30/3631/36答案(1)B

(2)A32/36考点三空间几何体直观图【例3】

有一块多边形菜