山东省聊城第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

聊城一中新校区､高铁校区高一下学期第一次阶段性测试数学试题时间：120分钟满分：150分命题人：陶业强审题人：昌龙飞做题人：季强一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等于（）A. B.1 C.0 D.2.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）A. B.C. D.3.函数y＝1－2sin2是（）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数4.，则（）A. B. C. D.5.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A. B. C. D.6.若，则（）A. B.C. D.7.函数（）的大致图象是A. B.C. D.8.正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数相邻两个最高点之间的距离为，则以下正确的是（）A.的最小正周期为B.是奇函数C.的图象关于直线对称D.在上单调递增10.一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（）A.点P第一次到达最高点需要20秒B.在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方C.当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米D.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米11.已知函数，下列说法正确的是（）．A.函数是奇函数 B.函数的值域为C.函数是周期为周期函数 D.函数在上单调递减三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.__________.13.已知函数在区间上单调递增，且直线与函数的图象在上有且仅有一个交点，则实数的取值范围是___________.14.已知，若互不相等的，使得，若的最大值为M，最小值为N，则___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知．求：（1）的值；（2）若，求角．16.已知，.（1）求的值；（2）求值.17.某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据：（时）03691215182124()15714.015.720.024.226.024.220.015.7根据上述数据描出曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数的图象．（1）根据以上数据，试求函数的表达式（2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素)18已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.19.某高校专家楼前现有一块矩形草坪，已知草坪长米，宽米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路，和，并要求是的中点，点在边上，点在边上，且为直角，如图所示．（1）设(弧度)，试将三条路的全长(即的周长)表示成的函数，并求出此函数的定义域；（2）这三条路，每米铺设预算费用均为元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取，取)．

聊城一中新校区､高铁校区高一下学期第一次阶段性测试数学试题时间：120分钟满分：150分命题人：陶业强审题人：昌龙飞做题人：季强一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等于（）A. B.1 C.0 D.【答案】C【解析】【分析】根据两角和的余弦公式即可求解.【详解】由两角和的余弦公式得：故选：C2.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用求解最小正周期，再代入验证，是否是对称轴，对四个选项一一判断.【详解】A选项，的最小正周期为，且当时，，故图象关于直线对称，A正确；B选项，的最小正周期为，B错误；C选项，当时，，故图象不关于直线对称，C错误；D选项，当时，，故图象不关于直线对称，D错误.故选：A.3.函数y＝1－2sin2是（）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式和诱导公式可得y＝sin2x，即可得到答案.【详解】y＝1－2sin2＝cos2＝－sin2x，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数，故选：A.【点睛】本题考查利用二倍角公式和诱导公式进行化简，考查正弦函数的性质，属中档题.4.，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二倍角余弦公式求，再由求即可.【详解】由，得，∴，故选：C．5.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平移变换的特征求出平移后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性即可得解.【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位，得，因为函数为偶函数，所以，则，故选项中的一个可能取值为.

故选：B.6.若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.[方法三]：三角恒等变换所以即故选：C.7.函数（）的大致图象是A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】因为，所以，因为，故选B.8.正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由参变量分离法可得出，利用基本不等式可求得的取值范围，即可得解.【详解】由已知可得，可得，因为，则，因为，当且仅当时，等号成立，故.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数相邻两个最高点之间的距离为，则以下正确的是（）A.的最小正周期为B.是奇函数C.的图象关于直线对称D.在上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】根据相邻两个最高点之间的距离为得到函数的最小正周期，从而求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】解：因为函数相邻两个最高点之间的距离为，即函数的最小正周期为，故A正确；所以，解得，则，所以为奇函数，故B正确；又，所以函数关于点对称，即C错误；若，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故D正确；故选：ABD10.一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（）A.点P第一次到达最高点需要20秒B.在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方C.当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米D.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米【答案】ABC【解析】【分析】结合周期性以及角度判断出正确答案.【详解】设水面为，过作直径，垂足为，依题意米，所以，，第一次到达最高点需要的时间为秒，A选项正确.根据对称性可知，由运动到，需要时间秒，B选项正确.当水轮转动秒时，位置与秒时相同，秒转过的角度为，如图中的位置，其中，故此时在水面上方，距离水面的距离等于米，C选项正确.当水轮转动秒时，位于的位置，距离水面米，D选项错误.故选：ABC11.已知函数，下列说法正确是（）．A.函数是奇函数 B.函数的值域为C.函数是周期为的周期函数 D.函数在上单调递减【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性、周期性知识，逐项分析即可求解.【详解】由于，又函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，而，故为奇函数，A正确，由于，所以，从而，B正确，，所以不是周期为的周期函数，C错误，由于在上单调递减，所以在上单调递减，从而上单调递增，则在上单调递减，则在上单调递减，D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.__________.【答案】4【解析】【分析】通分后，分母应用诱导公式、二倍角公式，分子逆用两角差的正弦公式化简后可得．【详解】.故答案为：4．13.已知函数在区间上单调递增，且直线与函数的图象在上有且仅有一个交点，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由函数在上单调递增，得到，结合直线与函数的图象在上有且仅有一个交点，列出方程组，即可求解.【详解】令，可得，所以函数的单调递增区间为，因为函数在上单调递增，所以，可得，因为，解得，又因为直线与函数的图象在上有且仅有一个交点，所以，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.14.已知，若互不相等的，使得，若的最大值为M，最小值为N，则___________.【答案】【解析】【分析】作出在上的图象，为的图象与直线y=m交点的横坐标，利用数形结合思想即可求得M和N﹒【详解】作出在上的图象（如图所示）因为，，所以当的图象与直线相交时，由函数图象可得，设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N，由，得，则，，，；当的图象与直线相交时，设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为，由，得，则，，；所以.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知．求：（1）的值；（2）若，求角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根据二倍角的正切公式即可得解；（2）利用两角和正切公式求出，结合范围即可得结果.【小问1详解】因为，所以.【小问2详解】因为，所以，又因为，所以，故.16.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式求解即可；（2）根据二倍角公式以及两角和的正切公式将原式化为，再由同角三角函数的基本关系求解即可.【小问1详解】解：因为，所以，又，，，所以，解得，【小问2详解】解：，，，，即，将两边平方得，．即，.．17.某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据：（时）03691215182124()15.714.015.720.024.226.024.220015.7根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数的图象．（1）根据以上数据，试求函数的表达式（2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素)【答案】（1）（2）应在时间段将该种商品放在室外销售【解析】【分析】（1）由，求得，又由，求得，再由时，得到，求得，即可求得函数解析式；（2）令，得到，解得，进而得到答案.【小问1详解】解：由的图象，可得，解得，又由，解得，所以，因为时，可得，即，解得，即，所以，又因为，解得，所以.【小问2详解】解：令，即，可得，解得，解得，又因为，所以当时，可得，所以一个小时营业的商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售．18.已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求出周期及单调递增区间.（2）求出函数在上的值域即可.【小问1详解】依题意，，所以函数最小正周期；由，解得所以的单调递增区间为.【小问2详解】当时，，则，函数的值域为，方程，，由方程在上有解，得，所以实数的取值范围是.19.某高校专家楼前现有一块矩形草坪，已知草坪长米，宽米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路，和，并要求是的中点，点在边上，点在边上，且为直角，如图所示．（1）设(弧度)，试将三条路的全长(即的周长)表示成的函数，并求出此函数的定义域；（2）这三条路，每米铺设预算费用均为元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取，取)．【答案】（1），定义域为（