2025年江苏省常州市中考数学结课试卷附答案

中考数学结课试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案应接填写在答题卡相应的位置上）1．（2分）点A（1，2025）关于y轴的对称点是（）A．（﹣1，2025） B．（1，﹣2025） C．（﹣1，﹣2025） D．（2025，1）2．（2分）方程x2﹣2x＝0的根是（）A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣23．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tanB等于（）A．513 B．125 C．12134．（2分）某校航模兴趣小组共有40位同学，他们的年龄分布如表：年龄（岁）12131415人数（人）518143则这40名同学年龄的中位数是（）A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁5．（2分）如图，在△ABC中，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．其中点B，C，D，E处的读数分别为8，16，10.5，14.5，若直尺宽为3cm，则△ABC中BC边上的高为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm6．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象的顶点坐标为（﹣4，2），且与x轴的两个交点位于原点两侧，则a，b，c中为正数的（）A．只有a B．只有b C．只有c D．均为正数7．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝45°，AB＝2，BC边上有一动点D，作点B关于直线AD的对称点E，当点D从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（）A．π2 B．2π2 C．π8．（2分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数y＝mx﹣3m的图象上存在“近轴点”，则m的值可以为（）A．﹣1 B．−12 C．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）9．（2分）若3a＝2b，则ba的值为10．（2分）一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为34，则n的值为11．（2分）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长6cm，则它的侧面积为cm2．12．（2分）若关于x的方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为．13．（2分）已知A（3，y1），B（4，y2）是直线y＝（k﹣2）x+b上的两点，若y1＜y2，则k的取值范围是．14．（2分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BECE的值是15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点A，AB⊥x轴，垂足为B，P是y轴上一点，若△ABP的面积为1，则k16．（2分）若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（m，3）不能确定一个圆，则m的值是．17．（2分）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，连接格点A，B，点M，N是线段AB与网格线的交点，则AM：MN：NB＝．18．（2分）现有3张扑克牌，它们所标数字分别为正整数a、b、c，且1≤a＜b＜c≤9．甲、乙、丙三个同学同时从这3张扑克牌中随机各拿一张，获得与扑克牌所标数字相同数量的糖果后，完成一次游戏．已知甲、乙、丙3次游戏获得糖果之和分别为20颗、10颗、9颗，则正整数a、b、c分别为．三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出演算步骤）19．（6分）计算：tan45°+2cos60°−2320．（8分）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）（x﹣2）2＝（2x+3）2．21．（8分）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：（1）本次调查的样本容量是，扇形统计图中C对应圆心角的度数为°；（2）请补全条形统计图；（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．22．（8分）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“雨水”、“惊蛰”、“春分”的字样，将卡片的背面朝上．（1）洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“惊蛰”的卡片的概率等于；（2）洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“雨水”，一张写有“春分”的卡片的概率．23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象l与反比例函数y=kx的图象交于（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）点P在函数y=kx的图象上，若S△MOP＞S△MON，直接写出点P的横坐标24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P、Q分别在边AC、BC上，且PQ∥AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规作菱形PQMN，使点M、N在边AB上；（画出一个即可，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作图中，AP＝5，PC＝3，连接AQ，若AQ恰好平分∠BAC，求BC的长．25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O与y轴交于点A（0，﹣1），一次函数y=−33x+b（b＞0）的图象分别交x，y轴于点B（1）如图1，当b=233时，求证：直线BC与（2）如图2，直线BC与⊙O相交，交点分别为D，E，若∠DAE＝45°，求b的值．26．（10分）小丽对下面问题进行了一些想考，请你根据思考内容完成对应的任务．【问题】如图1，在正方形纸片ABCD中，P是边CD上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点B与点P重合，折痕分别交边BC、AD于点M、N，AB的对应边为PE，PE与AD交于点Q．探究△DPQ的周长与边AB的等量关系，并证明你的结论．【思考1】先从简单的、特殊的情况开始研究：【任务1】若AB＝8，P恰好是边CD的中点，则BM＝；【思考2】对正方形的边长一般化处理，并改变点P的位置；【任务2】如图2，若AB=a，CP=13a，求△DPQ【思考3】通过任务1、2的解决，可猜想出△DPQ的周长与边AB的等量关系．但由于边长的一般化及点P位置的不确定，会导致DP、DQ、PQ的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？【任务3】请猜想△DPQ的周长与边AB的等量关系，并证明你的结论．27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B，与y轴相交于点C，其对称轴是直线x＝1．（1）a＝，b＝：（2）连接BC，P是抛物线上一动点，记点P横坐标为p，满足1＜p＜3．过点P分别作PD∥x轴，交抛物线于点D，作PE⊥BC，垂足为E，求PD+2PE（3）将原抛物线向右平移一定距离，使得平移后的抛物线经过点B，M是第二象限函数物线上的一点，过点M作直线MB，交平移后抛物线于点N，记点M、N的横坐标分别为m、n，判断n﹣m的值是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是；请说明理由．28．（10分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是边BC上的动点（不与端点重合），作射线AD，在射线AD上取点P，使AP＝BD，以AP为边作正方形APMN（点M、C在射线AD同侧），则称该正方形为点D的“伴随正方形”．（1）如图1，当PM∥BC时，点D的“伴随正方形”的边长为；（2）当点D的“伴随正方形”的某个顶点（除点A外）恰好落在△ABC的边上时，求此时“伴随正方形”的边长（求出一个即可）；（3）当边AC所在直线将点D的“伴随正方形”分成面积比为1：2的两个部分时，求此时“伴随正方形”的边长．

一．选择题（共8小题）题号12345678答案ACDBDCCB一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案应接填写在答题卡相应的位置上）1．【答案】A【解答】解：点A（1，2025）关于y轴的对称点是（﹣1，2025）．故选：A．2．【答案】C【解答】解：x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，所以x1＝0，x2＝2．故选：C．3．【答案】D【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴tanB=AC故选：D．4．【答案】B【解答】解：∵该班有40名同学，∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数，∵排序后12岁的5人，13岁的18人，∴第20和第21个数据为13岁，13岁，∴这个班同学年龄的中位数是13岁．故选：B．5．【答案】D【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于N，∵DE∥BC，∴AN⊥DE，由题意可知：BC＝8cm，DE＝4cm，MN＝3cm，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ANAM=DE解得：AM＝6，故选：D．6．【答案】C【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+4）2+2，即y＝ax2+8ax+16a+2，则b＝8a，c＝16a+2，∵抛物线与x轴的两个交点，∴Δ＝（8a）2﹣4a（16a+2）＞0，解得a＜0，∴b＝8a＜0，∵抛物线与x轴的两个交点位于原点两侧，∴16a+2a∴16a+2＞0，∴c＞0．故选：C．7．【答案】C【解答】解：延长BC到点F，使FC＝BC，连接AF、AE，∵∠C＝90°，∠BAC＝45°，AB＝2，∴AC垂直平分BF，∠ABF＝∠BAC＝45°，∴AF＝AB＝2，∠AFB＝∠ABF＝45°，∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝90°，∵点E与点B关于直线AD对称，∴AD垂直平分BE，∴AE＝AB＝2，∴点E在以A为圆心，半径长为2的圆弧上运动，∵当点D与点B重合时，则点E与点B重合；当点D与点C重合时，则点E与点F重合，∴点E的运动路径为长以A为圆心，半径长为2，且圆心角为90°的BF的长，∴lBF=故选：C．8．【答案】B【解答】解：由题意，∵y＝mx﹣3m＝m（x﹣3），∴一次函数y＝mx﹣3m经过（3，0），分两种情况：①当m＞0时，如图1，当x＝1时，y＝m﹣3m＝﹣2m，∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，∴﹣1≤﹣2m＜0，∴0＜m≤1②当m＜0时，如图2，由①知：点A的坐标为（1，﹣2m），∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，∴0＜﹣2m≤1，∴−12综上，m的取值范围为：0＜m≤12或−∴符合题意的选项为B．故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）9．【答案】32【解答】解：∵3a＝2b，∴ba故答案为：3210．【答案】9．【解答】解：∵摸出一个球是红球的概率为34∴nn+3解得n＝9，经检验n＝9符合题意，∴n的值为9．故答案为：9．11．【答案】24π．【解答】解：∵圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，∴圆锥的侧面积＝π×4×6＝24π（cm2）．故答案为：24π．12．【答案】1．【解答】解：∵方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22﹣4c＝0，解得c＝1，故答案为：1．13．【答案】k＞2．【解答】解：∵3＜4，y1＜y2，∴y＝（k﹣2）x+b中，y随x的增大而增大，∴k﹣2＞0，解得k＞2；故答案为：k＞2．14．【答案】见试题解答内容【解答】解：设AC＝BC＝x，则CD=ACtanD∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴BECE故答案为：315．【答案】2．【解答】解：连接OA，，∵AB⊥x轴，垂足为B，∴AB∥y轴，∵点P是y轴上一点，∴S△APB＝S△AOB＝1，∴k＝2×1＝2，故答案为：2．16．【答案】3．【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则k+b=1−k+b=−1解得：k=1b=1∴直线AB的解析式为y＝x，当点C（m，3）在直线AB上时，m＝3，则当m＝3时，点A，B，C不能确定一个圆，故答案为：3．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：取格点C、E、F，连接AC、ME、NF、BC，则BC经过点E、F，∵网格中每个小正方形的边长均为1，∴CE＝1，EF＝3，FB＝2，∵AC∥ME∥NF，∴AM：MN：NB＝CE：EF：FB＝1：3：2，故答案为：1：3：2．18．【答案】1，4，8．【解答】解：根据题意得：3（a+b+c）＝20+10+9，∴a+b+c＝13，∵1≤a＜b＜c≤9，∴a=1b=3c=9或a=1b=4c=8或a=1b=5c=7或a=2b=3又∵甲、乙、丙3次游戏获得糖果之和分别为20颗、10颗、9颗，且8+8+4＝20，8+1+1＝10，4+4+1＝9，∴a=1b=4∴这三张牌的数字分别是1，4，8．故答案为：1，4，8．三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出演算步骤）19．【答案】2−3【解答】解：tan45°+2cos60°−2＝1+2×＝1+1−=2−320．【答案】（1）x1（2）x1【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，x2﹣4x+4＝3+4，（x﹣2）2＝7，则x﹣2=±7所以x1（2）（x﹣2）2＝（2x+3）2，（x﹣2）2﹣（2x+3）2＝0，（x﹣2+2x+3）（x﹣2﹣2x﹣3）＝0，（3x+1）（﹣x﹣5）＝0，则3x+1＝0或﹣x﹣5＝0，所以x121．【答案】（1）200，36；（2）答案见解析；（3）460名．【解答】解：（1）本次调查的样本容量是50÷25%＝200，扇形统计图中C对应圆心角的度数为：360°×20故答案为：200，36；（2）B项目的人数为：200﹣54﹣20﹣50﹣46＝30，补全条形统计图如下：（3）2000×46答：估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460名．22．【答案】（1）13（2）13【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到写有“惊蛰”的卡片的结果有1种，∴抽到写有“惊蛰”的卡片的概率为13故答案为：13（2）将“雨水”、“惊蛰”、“春分”3张卡片分别记为A，B，C，列表如下：ABCA（A，B）（A，C）B（B，A）（B，C）C（C，A）（C，B）共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“雨水”，一张写有“春分”的卡片的结果有：（A，C），（C，A），共2种，∴抽到一张写有“雨水”，一张写有“春分”的卡片的概率为2623．【答案】（1）反比例函数的解析式为y=2x；一次函数的表达式为y＝﹣2（2）点P的横坐标p的取值范围为p＞2或p＜﹣2或0＜P＜18或−【解答】解：（1）把M（12，4）代入y=kx得4=∴反比例函数的解析式为y=2把N（n，1）代入y=2x得，∴N（2，1），设一次函数的表达式为y＝mx+b，∴12解得m=−2b=5∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+5；（2）当P点在第一象限时，∵点P在函数y=kx的图象上，S△MOP＞S△∴点P在点N的下方，当△OPM的面积＝△OMN的面积时，P（2，1）∴点P的横坐标p的取值范围为P＞2；当P点在第三象限时，N点关于O点的对称点为（﹣2，﹣1），当P点为（﹣2，﹣1）时，S△MOP＝S△MON，∴p＜﹣2时，S△MOP＞S△MON，当点P在点M的上方时，设P（p，2p当△MPO的面积＝△MON的面积时，2×4−1−1−12×3×32=12解得p=1∴满足条件的p的值为0＜P＜1根据对称性，−18综上所述：p＞2或p＜﹣2或0＜P＜18或−24．【答案】（1）见解答．（2）323【解答】解：（1）如图，以点P为圆心，PQ的长为半径画弧，交AB于点N，再以点Q为圆心，PQ的长为半径画弧，交AB于点M，连接PN，QM，则四边形PQMN即为所求．（2）∵AQ平分∠BAC，∴∠CAQ＝∠BAQ．∵PQ∥AB，∴∠CPQ＝∠CAB，∴∠CPQ＝∠CAQ+∠BAQ＝2∠CAQ，∵∠CPQ＝∠CAQ+∠AQP，∴∠AQP＝∠CAQ，∴PQ＝AP＝5．∵∠C＝90°，PC＝3，∴CQ=P∵PQ∥AB，∴CQCB即4CB∴BC=3225．【答案】（1）证明见解答；（2）b=6【解答】（1）证明：∵点A（0，﹣1），∴OA＝1，即⊙O的半径为1，如图1，过点O作OM⊥BC于M，当b=233时，y=−当x＝0时，y=2∴点C的坐标为（0，23∴OC=2当y＝0时，−33x∴x＝2，∴点B的坐标为（2，0），∴OB＝2，由勾股定理得：BC=O∵S△COB=12•OC•OB=12•∴12×23∴OM＝1，∴直线BC与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OD，OE，过点D作DG⊥x轴于G，过点E作EF⊥x轴于F，∴∠DGO＝∠OFE＝90°，∴∠EOF+∠OEF＝90°，设OF＝a，EF＝m，∵∠DAE＝45°，∴∠DOE＝90°，∴∠EOF+∠DOG＝90°，∴∠OEF＝∠DOG，∵OD＝OE，∴△DGO≌△OFE（AAS），∴DG＝OF＝a，OG＝EF＝m，∴D（﹣m，a），E（a，m），∵点D，E在直线y=−33x+b∴m=−3把①代入②得：a=33（−33a+∴a=(3+∴m=−33×（3+34）b∵a2+m2＝12，∴[(3+3)b4]2+[(3−∴b＝±63∵b＞0，∴b=626．【答案】（1）5；（2）2a；（3）△DPQ的周长等于边AB的2倍．【解答】解：（1）设BM＝x，则CM＝BC﹣BM＝8﹣x，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝8，∠C＝90°，由折叠得，PM＝BM＝x，在Rt△PCM中，CP=1由勾股定理得，CP2+CM2＝PM2，∴42+（8﹣x）2＝x2，∴x＝5，∴BM＝5，故答案为：5；（2）由（1）得，CP2+CM2＝PM2，∴(1∴CM=49a，PM＝∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠CMP+∠CPM＝90°，由折叠知，∠MPE＝∠B＝90°，∴∠CPM+∠DPQ＝90°，∴∠DPQ＝∠CMP，∴△PDQ∽△MCP，∴DQ∴DQ1∴DQ=1∴DQ+PQ+PD=1即△DPQ的周长为：2a；（3）如图，△DPQ的周长等于边AB的2倍，理由如下：连接BM，作BW⊥PE于W，连接BQ，∴∠BWP＝∠BWQ＝90°，由折叠得，∠ABP＝∠EPB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠C＝90°，∴∠ABP＝∠CPB，∴∠EPB＝∠CPB，∵∠BWP＝∠C＝90°，BW＝BW，∴△BCP≌△BWP（AAS），∴BC＝BW，CP＝PW，∴BW＝AB，∵∠A＝∠BWQ＝90°，BQ＝BQ，∴△BWQ≌△ABQ（AAS），∴AQ＝QW，∴DQ+PQ+PD＝DQ+QW+PW+DP＝DQ+AQ+CP+DP＝AD+CD＝2AB，即：△DPQ的周长等于边AB的2倍．27．【答案】（1）1，﹣2；（2）174（3）n﹣m＝8为定值．【解答】解：（1）由题意得：x=1=−b解得：a=1b=−2故答案为：1，﹣2；（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，则点B（3，0），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，过点P作PH∥y轴交BC于点H，由点B、