北师大版九年级数学上册《第四章图形的相似》单元测试(含答案)

精品Word可修改欢迎下载精品Word可修改欢迎下载精品Word可修改欢迎下载第四章图形的相似第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是()A．1cm，2cm，20cm，40cmB．1cm，2cm，3cm，4cmC．6cm，4cm，1cm，3cmD．5cm，10cm，15cm，20cm2．如图1，两条直线分别被三条平行直线l1，l2，l3所截，若AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的长为()图1A．4B．5C．6D．73．若eq\f(a,b)＝eq\f(3,5)，则eq\f(a＋b,b)的值是()A.eq\f(5,8)B.eq\f(3,5)C.eq\f(8,5)D.eq\f(3,2)4．如图2，△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是()图2A．22.5°B．30°C．36°D．45°5．如图3所示，将△ABO的三边分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是()A．(－4，－3)B．(－3，－3)C．(－4，－4)D．(－3，－4)图36．如图4，已知矩形ABCD，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD的长为()图4A.eq\r(,5)B.eq\r(,5)＋1C．4D．2eq\r(,3)7．在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图5所示，若点O到AB的距离是18cm，点O到CD的距离是6cm，则像CD的长是AB长的()图5A．3倍B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D．不知AB的长度，故无法判断8．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图6所示的测量方案，把一面很小的镜子水平放置在离树底(B)8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝3.2米，观察者目高CD＝1.6米，则树(AB)的高度为()图6A．4.2米B．4.8米C．6.4米D．16.8米9．如图7，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD边的中点B′重合，若AB＝2，BC＝3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为()A．9∶4B．3∶2C．4∶3D．16∶9图710．如图8，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为1cm/s，点E的运动速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是()图8A．3s或4.8sB．3sC．4.5sD．4.5s或4.8s请将选择题答案填入下表：题号12345678910总分答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图9，D是等边三角形ABC中边AB上的点，AD＝2，DB＝4.现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则eq\f(CF,CE)＝________．图912．如图10，△ABC中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′＝5，D′C＝4，则BC的长为________．图1013．若eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝eq\f(e,f)＝eq\f(1,2)，则eq\f(3a－2c＋e,3b－2d＋f)(3b－2d＋f≠0)＝________．14．如图11所示，Rt△DEF是由Rt△ABC沿BC方向平移得到的，若AB＝8，BE＝4，DH＝3，则△HEC的面积为________．图1115．如图12，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠B，CD＝2，E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为________．图1216．如图13，直线y＝eq\f(1,2)x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点B′的坐标为________．图13三、解答题(共72分)17．(6分)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足eq\f(a＋4,3)＝eq\f(b＋3,2)＝eq\f(c＋8,4)，a＋b＋c＝12，试求a，b，c的值，并判断△ABC的形状．18．(6分)如图14，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－3，3)．(1)以原点O为位似中心，在点O的异侧画出四边形OABC的位似图形四边形OA1B1C1，使它与四边形OABC的相似比是2∶3；(2)写出点A1，B1，C1的坐标；(3)求四边形OA1B1C1的面积．图1419．(8分)已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图15①)或线段AB的延长线(如图15②)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．图1520．(8分)如图16①，点D，E分别在AB，AC上，且eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).(1)求证：DE∥BC；(2)如图②，在△ABC中，D为边AC上任意一点，连接BD，取BD的中点E，连接CE并延长CE交边AB于点F，求证：eq\f(BF,AF)＝eq\f(CD,AC)；(3)在(2)的条件下，若AB＝AC，AF＝CD，求eq\f(BF,AF)的值．图1621．(10分)如图17是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长DE＝2.4米；然后，小希在BD的延长线上找出一点F，使得A，C，F三点在同一直线上，并测得DF＝2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高CD＝1.72米，AB⊥BF，CD⊥BF，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB.图1722．(10分)如图18，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)．(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数表达式；(2)当t为何值时，△POQ与△AOB相似？图1823．(12分)如图19，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点(不与点B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．图1924．(12分)如图20①，点C将线段AB分成两部分，如果eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似给出“黄金分割线”的定义：一条直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果eq\f(S1,S)＝eq\f(S2,S1)，那么称这条直线为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线？并证明你的结论；(2)如图③，在边长为1的正方形ABCD中，E是边BC上一点，若直线AE是正方形ABCD的黄金分割线，求BE的长．图20

详解详析1．A2．C[解析]∵两条直线分别被三条平行直线l1，l2，l3所截，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，∴EF＝4，∴DF＝DE＋EF＝2＋4＝6.故选C.3．C4．C[解析]∵点D是线段AB的一个黄金分割点，∴AD2＝BD·AB.∵AD＝AC＝BC，∴BC2＝BD·AB，即BC∶BD＝AB∶BC.而∠ABC＝∠CBD，∴△BCD∽△BAC，∴∠A＝∠BCD.设∠A＝x°，则∠B＝x°，∠BCD＝x°，∴∠ADC＝∠BCD＋∠B＝2x°.而AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝2x°，∴x＋2x＋2x＝180，解得x＝36，即∠A＝36°.故选C.5．A6．B[解析]由折叠知AF＝AB＝2，设AD＝x，则FD＝x－2，EF＝2，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴eq\f(EF,FD)＝eq\f(AD,AB)，即eq\f(2,x－2)＝eq\f(x,2)，解得x1＝1＋eq\r(,5)，x2＝1－eq\r(,5)(不合题意，舍去)，即AD的长为eq\r(5)＋1.故选B.7．C[解析]过点O作OM⊥AB于点M，交CD于点N，如图，则OM＝18cm，ON＝6cm.∵AB∥CD，∴△ODC∽△OAB，∴eq\f(CD,AB)＝eq\f(ON,OM)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3)，即CD的长是AB长的eq\f(1,3).故选C.8．A[解析]如图，过点E作EF⊥BD于点E，则∠1＝∠2.∵∠DEF＝∠BEF＝90°，∴∠DEC＝∠AEB.∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠CDE＝∠ABE＝90°，∴△CDE∽△ABE，∴eq\f(DE,BE)＝eq\f(CD,AB).∵DE＝3.2米，CD＝1.6米，BE＝8.4米，∴eq\f(3.2,8.4)＝eq\f(1.6,AB)，解得AB＝4.2米．9．D[解析]本题运用方程思想，设CF＝x，则BF＝3－x，易得CF2＋CB′2＝FB′2，即x2＋12＝(3－x)2，解得x＝eq\f(4,3).由已知可证得Rt△FCB′∽Rt△B′DG，所以eq\f(S△FCB′,S△B′DG)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CF,DB′)))eq\s\up12(2)＝eq\f(16,9).10．A[解析]本题运用分类讨论的思想，分△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB两种情况分别求解．11.eq\f(5,4)[解析]∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝AD＋DB＝6.由折叠的性质可知∠EDF＝∠C＝60°，EC＝ED，FC＝FD，∴∠AED＝∠BDF，∴△AED∽△BDF，∴eq\f(DF,DE)＝eq\f(BD＋DF＋BF,AE＋AD＋DE)＝eq\f(10,8)＝eq\f(5,4)，∴eq\f(CF,CE)＝eq\f(DF,DE)＝eq\f(5,4).12．2＋eq\r(,34)[解析]由旋转可得BE＝BE′＝5，BD＝BD′.∵D′C＝4，∴BD′＝BC－4，即BD＝BC－4.∵DE∥AC，∴eq\f(BD,BA)＝eq\f(BE,BC)，即eq\f(BC－4,6)＝eq\f(5,BC)，解得BC＝2＋eq\r(,34)(负值已舍)，即BC的长为2＋eq\r(,34).13.eq\f(1,2)[解析]由eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝eq\f(e,f)＝eq\f(1,2)，得a＝eq\f(1,2)b，c＝eq\f(1,2)d，e＝eq\f(1,2)f，所以eq\f(3a－2c＋e,3b－2d＋f)＝eq\f(1.5b－d＋0.5f,3b－2d＋f)＝eq\f(1,2).14.eq\f(50,3)[解析]设CE＝x，由△CEH∽△CBA，得eq\f(EH,AB)＝eq\f(CE,CB)，即eq\f(8－3,8)＝eq\f(x,x＋4)，∴x＝eq\f(20,3)，∴S△HEC＝eq\f(1,2)×eq\f(20,3)×5＝eq\f(50,3).15.eq\f(4,3)或3[解析]∵∠ACD＋∠DCE＝∠B＋∠A，∠ACD＝∠B，∴∠DCE＝∠A，∴∠A与∠DCE是对应角，∴△DCE和△ABC相似有两种情况：(1)当△BAC∽△ECD时，eq\f(AB,CE)＝eq\f(AC,CD)，∴eq\f(4,CE)＝eq\f(6,2)，∴CE＝eq\f(4,3)；(2)当△BAC∽△DCE时，eq\f(AB,CD)＝eq\f(AC,CE)，∴eq\f(4,2)＝eq\f(6,CE)，∴CE＝3.综上所述，CE的长为eq\f(4,3)或3.故答案为：eq\f(4,3)或3.易错警示△DCE和△ABC相似有两种情况，注意不要漏解．16．(4，3)或(－8，－3)[解析]由直线y＝eq\f(1,2)x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，得点A(－2，0)，点B(0，1)．画△BOC的位似图形△B′O′C′如图所示．∵△BOC与△B′O′C′的相似比为1∶3，∴点B′(x，3)或(x，－3)．∵点B′(x，3)或(x，－3)在直线y＝eq\f(1,2)x＋1上，∴点B′的坐标为(4，3)或(－8，－3)．故答案为(4，3)或(－8，－3)．17．解：设eq\f(a＋4,3)＝eq\f(b＋3,2)＝eq\f(c＋8,4)＝k(k≠0)，∴a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8.∵a＋b＋c＝12，将a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8代入上式，得3k－4＋2k－3＋4k－8＝12，∴9k＝27，即k＝3.∴a＝5，b＝3，c＝4.∵b2＋c2＝9＋16＝25，a2＝52＝25，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC是直角三角形．18．解：(1)如图所示，四边形OA1B1C1即为所求．(2)由图形可得A1(－4，0)，B1(－2，－4)，C1(2，－2)．(3)四边形OA1B1C1的面积为eq\f(1,2)×2×4＋eq\f(1,2)×(3＋4)×2＋eq\f(1,2)×3×2＝14.19．解：(1)证明：∵∠A＋∠APQ＝90°，∠A＋∠C＝90°，∴∠APQ＝∠C.在△AQP和△ABC中，∵∠APQ＝∠C，∠A＝∠A，∴△AQP∽△ABC.(2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理，得AC＝5.①当点P在线段AB上时．∵△PQB为等腰三角形，∴PB＝PQ.由(1)可知，△AQP∽△ABC，∴eq\f(PA,AC)＝eq\f(PQ,BC)，即eq\f(3－PB,5)＝eq\f(PB,4)，解得PB＝eq\f(4,3)，∴AP＝AB－PB＝3－eq\f(4,3)＝eq\f(5,3)；②当点P在线段AB的延长线上时．∵△PQB为等腰三角形，∴PB＝BQ，∴∠BQP＝∠P.∵∠BQP＋∠AQB＝90°，∠A＋∠P＝90°，∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴AB＝BP，即B为线段AP的中点，∴AP＝2AB＝2×3＝6.综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为eq\f(5,3)或6.20．解：(1)证明：∵∠A＝∠A，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC.(2)证明：如图，过点D作DG∥AB交CF于点G，则△CDG∽△CAF，∴eq\f(DG,AF)＝eq\f(CD,AC).∵E是BD的中点，∴BE＝ED.∵DG∥AB，∴∠FBE＝∠EDG.在△BEF和△DEG中，∠FBE＝∠EDG，∠FEB＝∠GED，BE＝ED，∴△BEF≌△DEG(ASA)，∴BF＝DG，∴eq\f(BF,AF)＝eq\f(CD,AC).(3)由(2)可得eq\f(BF,AF)＝eq\f(CD,AC).∵AB＝AC，AF＝CD，∴eq\f(BF,AF)＝eq\f(AF,AF＋BF)，∴BF2＋BF·AF－AF2＝0，∴(eq\f(BF,AF))2＋eq\f(BF,AF)－1＝0，解得eq\f(BF,AF)＝eq\f(－1±\r(,5),2)，而eq\f(BE,AF)>0，∴eq\f(BF,AF)＝eq\f(\r(,5)－1,2).21．解：由题意得∠ABD＝∠CDE＝90°，∠ADB＝∠CED，∴△CDE∽△ABD，∴eq\f(CD,AB)＝eq\f(DE,BD).∵由题意得∠CDF＝∠ABF＝90°，∠CFD＝∠AFB，∴△CDF∽△ABF，∴eq\f(CD,AB)＝eq\f(DF,BF)，∴eq\f(DE,BD)＝eq\f(DF,BF)，即eq\f(2.4,BD)＝eq\f(2.5,BD＋2.5)，∴BD＝60，∴eq\f(1.72,AB)＝eq\f(2.4,60)，∴AB＝43.答：小雁塔的高度AB是43米．22．解：(1)由题意，得BQ＝t厘米，OP＝t厘米．因为OB＝6厘米，所以OQ＝(6－t)厘米．所以y＝eq\f(1,2)OP·OQ＝eq\f(1,2)t·(6－t)＝－eq\f(1,2)t2＋3t(0≤t≤6)．(2)当△POQ与△AOB相似时，①若eq\f(OQ,OB)＝eq\f(OP,OA)，即eq\f(6－t,6)＝eq\f(t,12)，解得t＝4；②若eq\f(OQ,OA)＝eq\f(OP,OB)，即eq\f(6－t,12)＝eq\f(t,6)，解得t＝2.所以当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似．23．解：(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.又∵∠ADE＝30°，∴∠B＝∠ADE.又∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠B＋∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE.(2)如图①，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠AFB＝90°.∵AB＝2，∠ABF＝30°，∴AF＝eq\f(1,2)AB＝1，∴BF＝eq\r(,3)，∴BC＝2BF＝2eq\r(,3)，则CD＝2eq\r(,3)－x，CE＝2－y.∵△ABD∽△DCE，∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(CD,CE)，∴eq\f(2,x)＝eq\f(2\r(,3)－x,2－y)，化简得y＝eq\f(1,2)x2－eq\r(,3)x＋2(0＜x＜2eq\r(,3))．(3)当AD＝DE时，如图②，由(1)可知：此时△ABD∽△DCE，则AB＝CD，即2＝2eq\r(,3)－x，x＝2eq\r(,3)－2，将其代入y＝eq\f(1,2)x2－eq\r(,3)x＋2，解得y＝4－2e