陕西省石泉县高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 排列（二）教学实录 北师大版选修2-3

陕西省石泉县高中数学第一章计数原理1.2.2排列（二）教学实录北师大版选修2-3主备人备课成员设计意图本节课旨在通过排列（二）的讲解，让学生理解排列数公式的推导和应用，提高学生的逻辑思维能力和应用数学知识解决实际问题的能力。结合北师大版选修2-3教材，通过实例讲解和课堂练习，使学生能够熟练掌握排列数公式及其应用。核心素养目标分析培养学生逻辑推理能力，通过排列（二）的学习，使学生能够运用数学符号表示排列关系，发展学生的符号意识和数学抽象能力。同时，提高学生的数学建模能力，学会将实际问题转化为排列问题，并在解决问题的过程中提升数学运算和数据分析能力。重点难点及解决办法重点：

1.排列数公式的推导：理解排列数的概念，推导出排列数公式A_n^r=n!/(n-r)!。

2.排列的应用：能够灵活运用排列数公式解决实际问题。

难点：

1.排列数公式的理解与应用：学生可能对排列数公式的意义理解不透彻，导致应用时出错。

2.实际问题中排列问题的识别和转化：将实际问题转化为排列问题对学生来说可能存在困难。

解决办法与突破策略：

1.通过实例分析和逐步推导，帮助学生理解排列数公式的来源和意义。

2.在课堂上提供丰富的实际问题练习，引导学生识别和转化排列问题。

3.使用分组讨论和合作学习，鼓励学生之间交流解题思路，共同解决问题。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源1.软硬件资源：电子白板、计算机、投影仪、打印设备。

2.课程平台：学校内部教学平台，用于上传教学课件和资源。

3.信息化资源：排列数公式推导视频、排列问题应用案例库。

4.教学手段：实物教具（如扑克牌）、多媒体课件、课堂练习题。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。设计预习问题：围绕排列（二）课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何计算从5个不同的数字中选取3个进行排列的总数？”引导学生自主思考。

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解排列数的概念和排列数公式的初步理解。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过排列问题的实际例子，如“如何为班级的座位安排顺序？”引出排列（二）课题，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解排列数公式的推导过程，结合实例帮助学生理解排列数的计算方法。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生分组解决不同排列问题，如“从4个字母中选取2个进行排列”。

解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，如“排列和组合有什么区别？”进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：积极参与小组讨论，通过合作解决排列问题。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，如“排列问题在实际生活中的应用”，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解排列数公式的推导和应用。

实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握排列数的计算方法。

合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置一些排列问题的计算题和实际应用题，巩固学习效果。

提供拓展资源：提供与排列（二）相关的拓展资源，如排列问题的应用案例集。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的排列问题计算和应用题。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，解决更多复杂的排列问题。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思，如“通过排列问题的学习，我学到了什么？”提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的排列数计算和应用知识。

通过反思总结，帮助学生发现学习中的不足，促进自我提升。教学资源拓展一、拓展资源

1.排列组合的实际应用案例

-概率问题：在体育比赛中，计算不同队伍获胜的概率，如篮球比赛的胜负概率。

-统计学：在统计学中，排列组合用于计算样本空间的大小，如从总体中抽取样本的排列组合。

-设计问题：在产品设计中，计算不同颜色、款式和功能的组合数量，如服装设计的多样性计算。

2.排列组合的历史背景和数学家介绍

-排列组合的历史：介绍排列组合的发展历程，从古代数学家到现代数学家的贡献。

-数学家介绍：介绍在排列组合领域有杰出贡献的数学家，如卡丹、帕斯卡、欧拉等。

3.排列组合在计算机科学中的应用

-算法设计：介绍排列组合在算法设计中的应用，如全排列算法、组合算法。

-编程语言：展示如何使用编程语言实现排列组合算法，如Python、C++等。

4.排列组合在经济学中的应用

-市场营销：介绍排列组合在市场营销中的应用，如产品组合、广告组合。

-供应链管理：展示排列组合在供应链管理中的应用，如库存管理、运输计划。

二、拓展建议

1.阅读相关书籍和资料

-《数学之美》：了解数学在生活中的应用，包括排列组合。

-《概率论与数理统计》：深入学习概率论和数理统计的基础知识，特别是排列组合部分。

2.参加数学竞赛和讲座

-数学竞赛：如全国高中数学联赛、美国数学竞赛等，提高解题能力和竞赛经验。

-数学讲座：参加学校或社会举办的数学讲座，了解数学领域的最新动态。

3.实践项目和研究

-设计一个排列组合的实践项目，如计算不同城市之间的航班组合。

-进行排列组合的研究，探索其在特定领域中的应用，如经济学、计算机科学。

4.创作数学小论文

-结合排列组合的知识，创作一篇数学小论文，如“排列组合在经济学中的应用研究”。

5.利用网络资源

-在线课程：如Coursera、edX等平台上的排列组合相关课程。

-论坛和社区：如StackOverflow、Reddit等，与其他数学爱好者交流。课堂课堂评价是教学过程中不可或缺的一环，它有助于教师了解学生的学习情况，及时调整教学策略，同时也能帮助学生认识到自己的学习进度和不足。以下是对本节课教学评价的具体实施方法：

1.课堂提问

-提问策略：在讲解排列（二）的知识点时，穿插设计具有启发性和针对性的问题，引导学生积极思考。

-问题类型：包括基本概念的理解、公式推导过程、应用实例的分析等。

-评价方式：通过学生的回答情况，评估其对知识的掌握程度，及时发现并纠正错误。

2.观察学生参与情况

-观察内容：学生的注意力集中程度、参与课堂活动的积极性、小组讨论的互动情况等。

-评价方式：根据观察结果，评估学生的学习态度和课堂氛围，为后续教学提供参考。

3.课堂测试

-测试形式：随堂练习、课堂小测验等，以检测学生对排列（二）知识点的掌握情况。

-测试内容：包括基本概念、公式运用、实际问题解决等。

-评价方式：根据测试结果，分析学生的学习难点和普遍问题，调整教学进度和策略。

4.学生自评与互评

-自评：鼓励学生在课后反思自己的学习过程，总结自己的优点和不足。

-互评：组织学生进行小组互评，互相学习、互相帮助，共同提高。

-评价方式：通过自评和互评，增强学生的自我认知和团队协作能力。

5.作业评价

-作业布置：针对排列（二）的知识点，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-作业批改：对学生的作业进行认真批改和点评，及时反馈学生的学习效果。

-评价方式：通过作业批改，了解学生对知识点的掌握程度，发现学习中的问题，为下一节课的教学做好准备。

6.课堂反馈

-教师反馈：在课堂教学中，及时给予学生正面鼓励和指导，帮助学生克服困难。

-学生反馈：鼓励学生积极提问，及时反馈学习中的困惑，促进师生互动。

-评价方式：通过课堂反馈，了解学生的学习需求，调整教学方法和节奏。内容逻辑关系①排列（二）的定义与性质

-排列数：从n个不同元素中取出r个元素按照一定的顺序排成一列的方法数。

-排列数公式：A_n^r=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。

②排列数公式的推导

-基本原理：从n个元素中取r个元素的排列数，可以通过先选取第一个元素，然后从剩余的n-1个元素中选取r-1个元素，依此类推。

-推导步骤：利用乘法原理，逐步减少选择的元素数量，直到选取的元素数量为r，得到排列数公式。

③排列数的应用

-应用场景：排列数在日常生活中和科学研究中都有广泛的应用，如排列组合问题、概率问题、统计学问题等。

-应用实例：计算不同顺序的排列，如班级座位排列、产品组合排列等。重点题型整理1.题型一：排列数公式的直接应用

-题目：从5个不同的数字中选取3个进行排列，求排列数。

-解答：A_5^3=5!/(5-3)!=(5×4×3×2×1)/(2×1)=60。

2.题型二：排列数公式的变形应用

-题目：有6名同学参加数学竞赛，要求从中选出3名同学进行颁奖，且必须包含第一名和第二名，求不同的颁奖顺序数。

-解答：由于第一名和第二名已经确定，只需从剩下的4名同学中选出1名，然后排列3名同学的顺序。A_4^1=4!/(4-1)!=4，因此总共有4种不同的颁奖顺序。

3.题型三：排列数与组合数的综合应用

-题目：一个班级有10名学生，要从中选出3名学生参加运动会，然后从这3名学生中选出2名进行接力赛，求不同的参赛组合数。

-解答：首先选出3名学生参加运动会，有C_10^3种组合方式。然后从这3名学生中选出2名进行接力赛，有A_3^2=3!/(3-2)!=3种排列方式。因此，总共有C_10^3×A_3^2=120种不同的参赛组合。

4.题型四：排列数在实际问题中的应用

-题目：一个密码锁由4位数字组成，要求第一位数字不能为0，求密码锁的不同可能性总数。

-解答：第一位数字有9种选择（1-9），第二、三、四位数字各有10种选择（0-9）。因此，总共有9×10×10×10=9000种不同的密码可能性。

5.题型五：排列数在概率问题中的应用

-题目：一个篮球队有5名球员，教练需要从中选出3名球员进行首发，求首发球员的排列概率。

-解答：篮球队有5名球员，从中选出3名球员的排列数为A_5^3。所有可能的排列数为A_5^5。因此，首发球员的排列概率为A_5^3/A_5^5=(5×4×3)/(5×4×3×2×1)=1/10。教学反思与改进教学反思与改进是我们教师专业成长的重要环节。在本节课的教学过程中，我深刻认识到以下几点：

1.课堂互动的不足

在课堂上，我发现学生参与讨论的积极性不高，尤其是那些平时比较内向的学生。这可能是因为我对课堂氛围的营造还不够，导致学生不敢开口或者不愿意开口。因此，在未来的教学中，我计划采取以下措施：

-创设轻松愉快的课堂氛围，鼓励学生大胆发言。

-设计更具启发性和挑战性的问题，激发学生的思考。

-适时给予学生积极的反馈，增强学生的自信心。

2.教学内容的深度与广度

在讲解排列（二）这一知识点时，我发现学生对公式的理解较为吃力，特别是对于排列数公式的推导过程。这可能是因为我对教学内容的深度和广度把握不够，没有充分考虑到学生的接受能力。为了解决这个问题，我打算：

-在讲解过程中，适当降低难度，将复杂的问题分解成几个简单的问题，逐步引导学生理解。

-利用多媒体资源，如动画、图片等，帮助学生直观地理解排列数的概念和公式。

-在课后提供一些拓展资料，让学生在课余时间进行深入学习。

3.作业布置与反馈

在布置作业时，我注意到部分学生作业的质量不高，有的学生甚至出现了抄袭现象。这可能是