《高考备考指南 数学 》课件-第3讲　直线、平面平行的判定与性质

立体几何与空间向量第七章

第3讲直线、平面平行的判定与性质课标要求考情概览1.从定义和基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中平行关系的简单命题考向预测：从近三年高考情况来看，本讲是高考的重点考查内容.预测本年度将会以以下两种方式进行考查：①以几何体为载体，考查线面平行的判定；②利用直线与平面平行去证明一些空间图形的平行关系的简单命题.试题常以解答题的第一问直接考查，难度不大，属中档题型.学科素养：主要考查逻辑推理、直观想象的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏02重难突破

能力提升03配套训练基础整合自测纠偏11.直线与平面平行的判定定理和性质定理

定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与

的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)

因为___________________，所以l∥α

性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面

，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

因为_____________________，所以l∥b

l∥α，l⊂β，α∩β＝b此平面内

l⊄α，a⊂α，l∥a相交

2.平面与平面平行的判定定理和性质定理

定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条_____

与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

因为____________________________________，所以α∥β

性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面

，那么两条

平行

因为________________________，所以a∥b

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b

相交直线

a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β相交

交线

【特别提醒】1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.【常用结论】平行关系中的三个重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行.1.(教材习题改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

)A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交D2.(2023年眉山模拟)α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A3.(2022年梅州期中)(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(

)A.MN∥PD B.MN∥平面PABC.MN∥AD D.MN∥PABD

l⊄α5.(易错题)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为

.

平行四边形

三种平行关系的转化：线线

平行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.重难突破能力提升2直线与平面平行的判定与性质

例1(2023年北京月考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥CD，CD∥EF，AB＝EF，M为棱CF上一点，平面AEM与棱BC交于点N.求证：(1)AE∥平面BFC；(2)AE∥MN.证明：(1)由题意，AB∥CD，CD∥EF，AB＝EF，则四边形ABFE为平行四边形，则AE∥BF.又因为AE⊄平面BFC，BF⊂平面BFC，所以AE∥平面BFC.(2)由(1)得AE∥平面BFC，又因为平面AEM∩平面BFC＝MN，所以AE∥MN.【解题技巧】判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的定义(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).【变式精练】1.(2023年北京月考)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M为PC的中点，在DM上任取一点G，过点G和AP作平面PAHG交平面DMB于GH，求证：(1)BC∥平面PAD；(2)AP∥平面BDM；(3)AP∥GH.证明：(1)因为四边形ABCD为平行四边形，所以BC∥AD.因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.(2)如图，连接AC交BD于点N，连接MN.因为四边形ABCD为平行四边形，AC∩BD＝N，所以N为AC的中点.又因为M为PC的中点，所以PA∥MN.因为AP⊄平面BDM，MN⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM.(3)因为AP∥平面BDM，AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，所以AP∥GH.平面与平面平行的判定与性质

例2

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明：(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面.(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1

AB，所以A1GEB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.【解题技巧】证明面面平行的常用方法：(1)利用面面平行的定义.(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”.(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.［提醒］利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.

(1)证明：如图所示，连接HD，A1B.因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B.又因为HD⊄平面A1B1BA.A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.

平行关系的综合应用

例3如图，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥平面β；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长.(1)证明：①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD知，AC∥BD.因为AE∶EB＝CF∶FD，所以EF∥BD.又因为EF⊄β，BD⊂β，所以EF∥平面β.②当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD∩平面β＝HD，且HD＝AC，因为平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，所以AC∥HD，所以四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连接EG，FG，BH.因为AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH，所以GF