《高考备考指南 数学 》课件-第7讲　离散型随机变量及其分布列、均值、方差

第7讲离散型随机变量及其分布列、均值、方差计数原理、概率、随机变量及其分布第十章

(本讲对应系统复习P290)课标要求考情概览1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.能确定随机变量，求出随机变量发生的概率，正确列出分布列.3.理解超几何分布，并能进行简单的应用考向预测：从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点内容.预测本年度将会考查：①离散型随机变量的分布列与期望的求解；②离散型随机变量的期望与方差在决策中的应用.试题以解答题的形式呈现，以现实生活中的事例为背景进行考查，属中档题型.学科素养：主要考查数据分析、数学建模、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏1(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有

的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.

(2)离散型随机变量：可能取值为

的随机变量，我们称之为离散型随机变量.

(3)字母表示：通常用大写英文字母表示随机变量，例如

；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如

.

唯一

有限个或可以一一列举

X，Y，Z

x，y，z2.分布列的概念与性质(1)定义：一般地，设离散型随机变量X可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.(2)表示方法：①表格；②概率分布图.(3)性质：①pi

0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝

.≥

1

X01P1－pp

(2)超几何分布：①定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝

，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.

其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

np4.离散型随机变量的均值(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)＝

＝

为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.

(2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的

.

x1p1＋x2p2＋…＋xnpn

平均水平

5.离散型随机变量的方差(1)方差和标准差的定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn我们称D(X)＝

＝

为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称_______________________

为随机变量X的标准差，记为σ(X).

(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn

(2)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的

，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差

，随机变量的取值越集中；方差或标准差

，随机变量的取值越分散.偏离程度越小越大

6.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝

；

(2)D(aX＋b)＝

.

aE(X)＋b

a2D(X)【特别提醒】1.随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.2.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.【常用结论】1.若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量.2.min{M，n}表示M，n的最小值，对于m＝min{M，n}，当n≤M时，m＝n；当n＞M时，m＝M.1.(教材习题改编)若某一射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率是(

)A.0.88B.0.12C.0.79D.0.09A2.(2023年泰安月考)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值为(

)A.0.2B.0.4

C.0.8D.1C3.(2023年孝感月考)已知随机变量ξ的分布列为ξ012Pa

B4.(2023年聊城期中)(多选)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的有(

)A.a＝0.1

B.P(X≥2)＝0.7C.P(X≥3)＝0.4D.P(X≤1)＝0.3ABD

1.两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1.2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.重难突破能力提升2离散型随机变量分布列的性质

(1)(2023年盐城期末)已知随机变量X的分布列如表：X1234P0.150.35m0.25则实数m＝(

)A.0.05B.0.15C.0.25D.0.35C

C【解题技巧】离散型随机变量的分布列性质的应用：(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值.(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.【变式精练】1.(1)(2023年台州期中)已知随机变量X的分布列如表，若E(X)＝5，则a＝(

)X3aPb

C

(2)(2023年北京西城区期中)随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝(

)X－101Pabc

A

求离散型随机变量的分布列

(2022年甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.解：(1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表所示：

第一场比赛第二场比赛第三场比赛甲学校获胜概率0.50.40.8乙学校获胜概率0.50.60.2甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场.①甲学校3场全胜，概率为P1＝0.5×0.4×0.8＝0.16.②甲学校3场获胜2场败1场，概率为P2＝0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.8＝0.44.所以甲学校获得冠军的概率为p＝P1＋P2＝0.6.(2)乙学校的总得分X的可能取值为0，10，20，30，P(X＝0)＝P1＝0.16，P(X＝10)＝P2＝0.44，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，P(X＝20)＝1－P(X＝0)－P(X＝10)－P(X＝30)＝0.34，则X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06X的期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.【解题技巧】离散型随机变量分布列的求解步骤：(1)明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义.(2)弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率.(3)按规范要求形式写出分布列.(4)利用分布列的性质检验分布列是否正确.

ξ0123P离散型随机变量的均值与方差

示通法求离散型随机变量X的均值与方差的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值.(2)求X取每个值时的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).(5)由方差的定义求D(X).考向1求离散型随机变量的均值、方差

(2022年南京模拟)(多选)设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(

)A.E(X)＝0.4B.D(X)＝0.24C.E(Y)＝1.8D.D(Y)＝0.48X01P0.60.4ABC

【解析】由题意可知X服从两点分布，所以E(X)＝0.4，D(X)＝(0－0.4)2×0.6＋(1－0.4)2×0.4＝0.24，A，B正确.因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×0.4＋1＝1.8，故C正确.D(Y)＝D(2X＋1)＝22D(X)＝4×0.24＝0.96，故D错误.故选ABC.考向2已知均值与方差，求参数值

(2023年绍兴二模)设0＜a，b，c＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012Pabc

B

【解题技巧】离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略：(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程，解方程即可求出参数值.【变式精练】3.(1)(2023年十堰期末)(多选)某同学求得一个离散型随机变量X的分布列为X1246P0.20.3m0.1

ABD

(2)(2023年衡水模拟)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X＝0，a，2，根据以往销售经验可得0＜a＜2，随机变量X的分布列为(

)X0a2Pb

ABC

超几何分布

(2023年河北模拟)学校体育节，某小组共10人利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望与方差.

X012P

【解题技巧】1.超几何分布的应用条件：(1)考察对象分两类.(2)已知各类对象的个数.(3)从中抽取若干个个体，考察某类个体个数ξ的概率分布.2.求超几何分布的分布列的步骤：

η123P

素养微专直击高考3思想方法——均差与方差在决策中的应用(2022年聊城三模)2021年3月5日李克强总理在政府工作报告特别指出，扎实做好碳达峰、碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构.某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案.方案一：交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；方案二：交纳延保金6230元，在延保的5年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元.制造商为制定收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表：典例精析维修次数0123机器台数20408060以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数.(1)求X的分布列；(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？【思路导引】(1)由X的取值求解概率，得到分布列；(2)求出两种方案所需费用的均值，由方案二的均值小于方案一的均值求解t的取值范围.

X0123456P(2)设选择方案一所需费用为Y1元，则X≤2时，Y1＝5000；X＝3时，Y1＝6000；X＝4时，Y1＝7000；X＝5时，Y1＝8000，X＝6时，Y1＝9000.故Y1的分布列为Y150006000700080009000P

Y262306230＋t6230＋2tP

【点评】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断.若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对