2025年统计学期末考试题库：基础概念题经典题型回顾

2025年统计学期末考试题库：基础概念题经典题型回顾考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、集合与数理逻辑要求：掌握集合的基本概念、数理逻辑的基本规律。1.设集合A={x|2≤x≤4}，B={x|1≤x≤3}，求集合A∩B和A∪B。2.设集合A={1，2，3}，B={x|2≤x≤5}，求集合A-B。3.用列举法表示集合C={x|1≤x≤6，x为整数}。4.设集合A={x|x²-5x+6=0}，B={x|x²-4x+3=0}，求集合A∩B。5.设集合A={x|x≥1}，B={x|x≤2}，求集合A∩B和A∪B。6.设集合A={x|2≤x≤4}，B={x|3≤x≤6}，求集合A-B。7.用描述法表示集合C={x|2≤x≤5，x为整数}。8.设集合A={x|x²-5x+6=0}，B={x|x²-4x+3=0}，求集合A∪B。9.设集合A={x|2≤x≤4}，B={x|3≤x≤6}，求集合A∩B。10.设集合A={x|x≥1}，B={x|x≤2}，求集合A-B。二、概率论基础要求：掌握概率论的基本概念、概率的基本性质。1.某班有男生40人，女生30人，从中随机抽取3人，求抽到的3人都是女生的概率。2.某人有3把钥匙，其中1把能开房门，2把不能开房门，随机选取一把钥匙，求选到能开房门的钥匙的概率。3.一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求取到红球的概率。4.从1到6这6个数字中随机选取一个数字，求选到奇数的概率。5.一批产品中有90%是合格品，10%是次品，随机抽取一件产品，求抽到合格品的概率。6.一个密码锁由0到9这10个数字组成，求输入正确密码的概率。7.从一副52张的扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红桃的概率。8.某人参加4次考试，每次考试及格的概率都是0.7，求他4次考试都及格的概率。9.从1到10这10个数字中随机选取一个数字，求选到大于5的数字的概率。10.一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出两个球，求取到的两个球都是红球的概率。三、随机变量及其分布要求：掌握随机变量的概念、随机变量分布的基本性质。1.设随机变量X服从B(3，0.5)，求P(X=2)。2.设随机变量X服从P(5)，求P(X≥3)。3.设随机变量X服从N(10，9)，求P(8≤X≤12)。4.设随机变量X服从U(1，6)，求P(X≥4)。5.设随机变量X服从E(2)，求P(X≥3)。6.设随机变量X服从N(0，1)，求P(X≤-1)。7.设随机变量X服从U(2，7)，求P(X≥5)。8.设随机变量X服从E(3)，求P(X≤2)。9.设随机变量X服从N(5，4)，求P(X≥3)。10.设随机变量X服从U(3，8)，求P(X≤6)。四、期望与方差要求：掌握期望和方差的计算方法，并能运用它们解决问题。1.设随机变量X的可能取值为1，2，3，其对应的概率分别为0.2，0.5，0.3，求X的期望和方差。2.设随机变量Y服从正态分布N(5，4)，求E(Y)和D(Y)。3.设随机变量Z的分布列为：Z|-2|0|2P(Z)|0.1|0.6|0.3求E(Z)和D(Z)。4.设随机变量W服从二项分布B(5，0.4)，求E(W)和D(W)。5.设随机变量X服从均匀分布U(1，10)，求E(X)和D(X)。6.设随机变量Y的分布函数为F(y)={0，y≤1；y/2，1<y≤2；1，y>2}，求E(Y)和D(Y)。五、协方差与相关系数要求：理解协方差和相关系数的概念，并能计算它们。1.设随机变量X和Y的联合分布列为：X\Y|1|2-------|-----|-----1|0.1|0.32|0.2|0.4求X和Y的协方差和相关系数。2.设随机变量X服从N(5，9)，随机变量Y服从N(3，4)，且X和Y相互独立，求COV(X，Y)和ρ(X，Y)。3.设随机变量X和Y的联合分布函数为F(x，y)={0，x<1或y<2；x+y-2，1≤x≤2且1≤y≤2；1，x>2或y>2}，求COV(X，Y)和ρ(X，Y)。4.设随机变量X服从二项分布B(5，0.5)，随机变量Y服从二项分布B(3，0.5)，求COV(X，Y)和ρ(X，Y)。5.设随机变量X服从均匀分布U(1，4)，随机变量Y服从均匀分布U(2，5)，求COV(X，Y)和ρ(X，Y)。6.设随机变量X和Y的联合分布列为：X\Y|1|2|3-------|-----|-----|-----1|0.1|0.2|0.32|0.2|0.3|0.43|0.3|0.4|0.5求COV(X，Y)和ρ(X，Y)。六、大数定律与中心极限定理要求：理解大数定律和中心极限定理的基本思想，并能应用它们。1.设随机变量X1，X2，…，Xn是相互独立且同分布的随机变量序列，Xn=n(X1+X2+…+Xn)/n，求证：当n→∞时，Xn依概率收敛于E(X)。2.设随机变量X1，X2，…，Xn是相互独立且同分布的随机变量序列，其中E(Xi)=μ，D(Xi)=σ²，求证：当n→∞时，样本均值依概率收敛于总体均值μ。3.设随机变量X1，X2，…，Xn是相互独立且同分布的随机变量序列，其中E(Xi)=μ，D(Xi)=σ²，求证：当n→∞时，样本方差的平方根依概率收敛于总体标准差σ。4.设随机变量X1，X2，…，Xn是相互独立且同分布的随机变量序列，其中E(Xi)=μ，D(Xi)=σ²，求证：当n→∞时，样本均值的标准误依概率收敛于0。5.设随机变量X1，X2，…，Xn是相互独立且同分布的随机变量序列，其中E(Xi)=μ，D(Xi)=σ²，求证：当n→∞时，样本均值与总体均值的差的平方依概率收敛于0。6.设随机变量X1，X2，…，Xn是相互独立且同分布的随机变量序列，其中E(Xi)=μ，D(Xi)=σ²，求证：当n→∞时，样本方差的平方根与总体标准差的比的平方依概率收敛于1。本次试卷答案如下：一、集合与数理逻辑1.集合A∩B={x|2≤x≤3}，集合A∪B={x|1≤x≤4}。解析：集合A包含2到4之间的所有数，集合B包含1到3之间的所有数，因此它们的交集是2到3之间的数，并集是1到4之间的数。2.集合A-B={x|2≤x≤4，x≠3}。解析：集合A包含2到4之间的所有数，集合B包含1到3之间的所有数，因此A中不属于B的元素是2和4。3.集合C={1，2，3，4，5}。解析：集合C包含从1到6的所有整数。4.集合A∩B={1，2}。解析：集合A包含1，2，3，集合B包含2，3，4，因此它们的交集是1和2。5.集合A∪B={x|1≤x≤6}。解析：集合A包含2到4之间的所有数，集合B包含3到6之间的所有数，因此它们的并集是1到6之间的所有数。6.集合A-B={x|2≤x≤4，x≠3}。解析：集合A包含2到4之间的所有数，集合B包含3到6之间的所有数，因此A中不属于B的元素是2和4。二、概率论基础1.P(抽到的3人都是女生)=(30/70)*(29/69)*(28/68)≈0.0179。解析：从30个女生中随机抽取3人，再从剩下的69人中抽取1人，最后从剩下的68人中抽取1人，计算概率。2.P(选到能开房门的钥匙)=1/3。解析：有3把钥匙，其中1把能开房门，随机选取一把，选到能开房门的概率为1/3。3.P(取到红球)=5/8。解析：袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，取到红球的概率为5/8。4.P(选到奇数)=1/2。解析：从1到6这6个数字中，奇数有1，3，5共3个，随机选取一个数字，选到奇数的概率为3/6。5.P(抽到合格品)=0.9。解析：一批产品中有90%是合格品，随机抽取一件产品，抽到合格品的概率为0.9。6.P(输入正确密码)=1/10。解析：密码锁由0到9这10个数字组成，随机输入一个密码，输入正确密码的概率为1/10。7.P(抽到红桃)=13/52。解析：一副52张的扑克牌中，红桃有13张，随机抽取一张牌，抽到红桃的概率为13/52。8.P(4次考试都及格)=0.7^4≈0.2401。解析：每次考试及格的概率是0.7，4次考试都及格的概率是0.7的四次方。9.P(选到大于5的数字)=2/10。解析：从1到10这10个数字中，大于5的数字有6，7，8，9，10共5个，随机选取一个数字，选到大于5的数字的概率为5/10。10.P(取到的两个球都是红球)=(5/8)*(4/7)≈0.3125。解析：袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出两个球，取到的两个球都是红球的概率为5/8乘以4/7。三、随机变量及其分布1.E(X)=1*0.2+2*0.5+3*0.3=1.7。D(X)=(1-1.7)²*0.2+(2-1.7)²*0.5+(3-1.7)²*0.3=0.91。解析：期望是每个值乘以其概率的总和，方差是每个值与期望差的平方乘以其概率的总和。2.E(Y)=5，D(Y)=4。解析：正态分布的期望和方差就是其参数。3.E(Z)=(-2*0.1)+(0*0.6)+(2*0.3)=0。D(Z)=((-2-0)²*0.1)+((0-0)²*0.6)+((2-0)²*0.3)=1.2。解析：期望是每个值乘以其概率的总和，方差是每个值与期望差的平方乘以其概率的总和。4.E(W)=np=5*0.4=2。D(W)=np(1-p)=5*0.4*(1-0.4)=1.2。解析：二项分布的期望和方差公式。5.E(X)=(1+10)/2=5.5。D(X)=((1-5.5)²+…+(10-5.5)²)/12≈16.667。解析：均匀分布的期望是区间端点的平均值，方差是区间长度的平方除以12。6.E(Y)=(1*0.1)+(2*0.6)+(3*0.3)=2.1。D(Y)=((1-2.1)²*0.1)+((2-2.1)²*0.6)+((3-2.1)²*0.3)≈0.619。解析：期望是每个值乘以其概率的总和，方差是每个值与期望差的平方乘以其概率的总和。四、期望与方差1.E(X)=1*0.2+2*0.5+3*0.3=1.7。D(X)=(1-1.7)²*0.2+(2-1.7)²*0.5+(3-1.7)²*0.3=0.91。解析：期望是每个值乘以其概率的总和，方差是每个值与期望差的平方乘以其概率的总和。2.E(Y)=5，D(Y)=4。解析：正态分布的期望和方差就是其参数。3.E(Z)=(-2*0.1)+(0*0.6)+(2*0.3)=0。D(Z)=((-2-0)²*0.1)+((0-0)²*0.6)+((2-0)²*0.3)=1.2。解析：期望是每个值乘以其概率的总和，方差是每个值与期望差的平方乘以其概率的总和。4.E(W)=np=5*0.4=2。D(W)=np(1-p)=5*0.4*(1-0.4)=1.2。解析：二项分布的期望和方差公式。5.E(X)=(1+10)/2=5.5。D(X)=((1-5.5)²+…+(10-5.5)²)/12≈16.667。解析：均匀分布的期望是区间端点的平均值，方差是区间长度的平方除以12。6.E(Y)=(1*0.1)+(2*0.6)+(3*0.3)=2.1。D(Y)=((1-2.1)²*0.1)+((2-2.1)²*0.6)+((3-2.1)²*0.3)≈0.619。解析：期望是每个值乘以其概率的总和，方差是每个值与期望差的平方乘以其概率的总和。五、协方差与相关系数1.COV(X，Y)=(1*1*0.1)+(1*2*0.3)+(2*1*0.2)+(2*2*0.4)+(3*1*0.3)+(3*2*0.4)=1.7。ρ(X，Y)=COV(X，Y)/(SD(X)*SD(Y))=1.7/(√(0.1*0.9)*√(0.2*0.8))≈0.956。解析：协方差是每个值与其对应值的乘积乘以其概率的总和，相关系数是协方差除以两个随机变量的标准差的乘积。2.COV(X，Y)=0，ρ(X，Y)=0。解析：独立随机变量的协方差和相关系数都是0。3.COV(X，Y)=(1*1*0.1)+(1*2*0.6)+(2*1*0.2)+(2*2*0.4)+(3*1*0.3)+(3*2*0.4)=1.7。ρ(X，Y)=COV(X，Y)/(SD(X)*SD(Y))=1.7/(√(0.1*0.9)*√(0.2*0.8))≈0.956。解析：计算方法同上。4.COV(X，Y)=0，ρ(X，Y)=0。解析：独立随机变量的协方差和相关系数都是0。5.COV(X，Y)=0，ρ(X，Y)=0。解析：独立随机变量的协