2024-2025学年湖北省宜昌市高二上学期9月月考数学检测试卷合集2套（附解析）

2024-2025学年湖北省宜昌市高二上学期9月月考数学检测试卷（一）一、单选题（本大题共8小题）1．复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知两条直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．过点且与直线垂直的直线方程是（

）A． B．C． D．4．将这个数据作为总体，从这个数据中随机选取个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为（

）A． B． C． D．5．函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（

）A． B．C． D．6．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．一个三角形纸板的三个顶点为，以边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（

）A． B． C． D．8．已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数递增的区间可以是（

）A． B． C． D．10．已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（

）A．直线恒过定点B．当时，最长C．当时，弦最短D．最短弦长11．已知四面体平面，垂足为，垂足为，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则平面C．若，则D．若，则四面体体积的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与所成角的余弦值为．13．是函数图象上任意一点，过向直线和轴分别作垂线，垂足分别为，则.14．如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经，发射后又回到原点，若光线经过的重心，则．

四、解答题（本大题共5小题）15．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于，当时，求直线的方程.16．已知三个内角所对的边分别为，且.(1)求的值；(2)若的面积，且，求的周长.17．如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．

(1)证明：平面ABC；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．18．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上.（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值.19．如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中.(1)已知，求的三角形式；(2)已知为定值，，将复数化为三角形式；(3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数．参考答案1．【答案】B【详解】，故对应的点在第二象限.2．【答案】A【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】当时，，则，所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.3．【答案】D【详解】设与直线垂直的直线方程为，代入，得，解得，所以与直线垂直的直线方程为故选：D.4．【答案】D【分析】先求得总体平均数，然后利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】依题意可知，总体平均数为，从这个数据中随机选取个数据作为一个样本，情况如下：选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，选到，则样本平均数为，所以，所以该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为.故选D.5．【答案】A【详解】由图①知，，且当时，，由②知，图象过点，且当时，，对于C，当时，，C不可能；对于D，当时，，D不可能；对于A，当时，，而当时，，则，A可能；对于B，当时，，而当时，，则，B不可能.故选：A6．【答案】C【详解】由题意得圆心为，半径为．圆心到直线的距离为，由直线与圆有公共点可得，即，解得．∴实数a取值范围是．选C．7．【答案】A【分析】几何体为两个半圆锥构成，根据圆锥的体积可求该几何体的体积.【详解】，而为三角形内角，故，故，故，故，故几何体的体积为故选A.8．【答案】B【详解】设，由题可知，则，即，所以，所以点，将点的坐标代入，化简得（不同时为0），故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，点在该圆外，所以的最小值为，故选：B．9．【答案】AD【详解】设与轴正方向夹角为，则时，，故，由于12秒旋转一周，所以每秒钟旋转，在，，绕坐标原点沿逆时针方向旋转到位置，所以点纵坐标增大，从旋转到时，，，纵坐标减小，在上，即从逆时针旋转至位置，动点纵坐标增大，所以当时，纵坐标关于的函数的单调区间为和.故选：AD.10．【答案】AC【分析】由直线方程求定点可判定A；由弦长公式可判定B，C，D.【详解】直线方程可化为，当，故直线恒过定点，故A正确；易知圆心，半径，显然当直线过圆心时，最长，则，故B错误；当时，此时弦最短，即，故C正确；当时，则弦长，故D错误.故选AC.11．【答案】BCD【详解】对于A与B：因为平面，平面，所以若又平面，所以平面，又因为平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又

平面，所以平面，又平面，所以，即与不垂直，故A不正确，B正确；对C：，因为则≌则≌，，所以，故C正确；对于D，在中，，则，，所以，又当且仅当时，有最大值所以四面体体积的最大值为，故D正确.故选：BCD12．【答案】【分析】利用空间向量求异面直线夹角即可.【详解】由题意可知：，，所以，所以直线与所成角的余弦值为．13．【答案】【详解】设，，则，即，解得，所以，，则，，所以．故答案为：14．【答案】.【详解】由题意，如图建立直角坐标系：

则，直线方程为即，三角形重心为即设,关于直线对称点为解得由光的反射可知四点共线，直线斜率为,直线方程为过重心，即，解得舍去，，∴，故答案为：.15．【答案】或【详解】易知到直线的距离为圆半径，所以，则圆方程为，设圆心到直线的距离为，故，即，所以，当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，经检验圆心到直线的距离为1，且根据勾股定理可知，显然合题意，当动直线斜率存在时，过点B−2,0，设方程为：，由到距离为1知得，代入解之可得，所以或为所求方程.16．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由正弦定理可得，，得：.所以.又，且，所以.由，故.（2），所以.由余弦定理，.又.联立得：..所以的周长为.17．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）取BC的中点M，连结MA、．

因为，，所以，，由于AM，平面，且，因此平面，因为平面，所以，又因为，所以，因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC，因为，所以平面ABC.（2）法一：因为，且，所以．以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，．所以，，．设平面的法向量为m=x1,y1令，则，设平面的法向量为n=x2,y2令，则，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.法二：将直三棱柱补成长方体．连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ，

因为平面，且平面，所以，又因为，由于BD，平面，且，所以平面，则为直角三角形，由于平面，所以，因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ，因为平面CPQ，所以，则∠CQP为平面与平面的夹角或补角，在中，由等面积法可得,因为，所以，因此平面与平面夹角的余弦值为.18．【答案】（1）（2）【分析】（1）求出曲线与坐标轴的三个交点，根据这三个交点在圆上可求出圆心坐标和半径，从而可得圆的方程；（2）设A，B，联立直线与圆的方程，根据根与系数的关系可得，，根据得，化为，进而可解得.【详解】（1）曲线与坐标轴的交点为(0，1)，(,0)，由题意可设圆C的圆心坐标为(3，)，∴，解得，∴圆C的半径为，∴圆C的方程为.（2）设点A、B的坐标分别为A，B，其坐标满足方程组，消去得到方程，由已知得，判别式①，由根与系数的关系得，②，由得.又∵，，∴可化为③，将②代入③解得，经检验，满足①，即，∴.【点睛】本题考查了由圆上三个点的坐标求圆的方程，考查了直线与圆的位置关系、根与系数的关系，考查了运算求解能力，属于中档题.19．【答案】(1)；(2)；(3)5【详解】（1）.（2）.（3）正二十边形每边所对的中心角为，设（为常数），则，所以，由周期性可知，共有5个不同的值，故复数所对应不同点的个数为5．2024-2025学年湖北省宜昌市高二上学期9月月考数学检测试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A={x|x≤1}，B={x|x−2x−a≤0}，若A∪B={x|x≤2}，则实数a的取值范围是A.a≥2 B.a≤2 C.a≥1 D.a≤1【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查集合的基本运算的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题．

由题意，可得B={x|a<x≤ 2}，由此可求出a的取值范围．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x−2x−a≤0}，A∪B={x|x≤2}，

∴B={x|a<x≤2}，

∴a≤1.

2.已知空间向量a=1,0,3,b=2,1,0,cA.4 B.3 C.2 D.1【答案】B

【解析】【分析】本题考查空间向量共面问题，属于基础题．

由空间共面向量可得a=x【解答】解：若空间向量a=则a=xb+y所以1=2x+5y0=x+2y3=yz，解得：故选：B．3.在▵ABC中，若AB⋅BC−AB2A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形【答案】D

【解析】【分析】本题考查三角形形状的判断，属于基础题．

由平面向量数量积的定义及运算律得出cosB<0，结合余弦函数的正负及B【解答】解：由AB⋅BC−AB2因为B∈0,π所以▵ABC的形状一定是钝角三角形，故选：D．4.命题p:fx=x2+2ax−7,−1≤x≤2a+4lnx+2−a−1,−2<x<−1在x∈−2,2上为减函数，命题q:gA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A

【解析】【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，属于中档题．

根据分段函数的单调性得到不等式解得−5≤a<−4，分离常数后，由gx的单调性得到a<−4，结合集合的包含关系得到p是q【解答】

解：若

fx要在x∈则−2a2≥2q:gx=ax+4x−1=解得a<−4，因为−5≤a<−4是a<−4的真子集，故命题p是命题q的充分不必要条件．故选：A5.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为(

)A.25 B.1225 C.1625【答案】C

【解析】【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意事件概率加法公式的合理运用．

设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P(A)=P(B)=410=【解答】

解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，

由题意P(A)=410=25，P(B)=410=25，

∴6.定义运算：a1&a2a3&a4=A.54 B.14 C.74【答案】A

【解析】【分析】本题考查新定义，考查三角恒等变换，属于基础题．

利用三角恒等变换，化函数fx为余弦型函数，根据三角函数的图象变换规律，得到对应的函数y，由函数y为偶函数，即可求出ω的最小值．

三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x【解答】解：根据新定义运算，函数fx∵fx的图像向左平移2π∴所得图象对应的函数为y=2又∵函数y为偶函数∴2ωπ3+∵ω>0∴当k=1时，ω的最小值是54故选A．7.已知f(x)是定义在实数集R上的函数，在(0,+∞)内单调递增，f(2)=0，且函数f(x+1)关于点(−1,0)对称，则不等式x⋅f1−x<0的解集是(

)A.(−∞,−2)∪(−1,0)∪(2,+∞) B.(−∞,−2)∪(2,+∞)

C.(−1,0)∪(1,3) D.(−∞,−1)∪(0,1)∪(3,+∞)【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查抽象函数奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．

由平移知识得出f(x)是奇函数，进而由单调性画出函数f(x)，f(x−1)的简图，结合图像解不等式即可．【解答】解：因为函数f(x+1)关于点(−1,0)对称，所以函数f(x)关于点(0,0)对称，是奇函数，则x⋅f1−x=−x⋅fx−1函数f(x)简图如下图所示：

由平移变换可知，函数f(x−1)的简图如下图所示：

x⋅fx−1>0等价于x>0fx−1由图可知，x⋅fx−1>0的解集为故选：D8.已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1，F2，P是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，且∠F1PFA.3 B.4 C.6 D.12【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查椭圆与双曲线的共焦点问题，考查基本不等式求最值，属于中档题．

设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线方程为x2m2−y2n2=1(m>0,n>0).再设|PF1|=s【解答】

解：不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线方程为x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)．

再设|PF1|=s，|PF2|=t，P为第一象限的交点，

由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a，s−t=2m，

解得s=a+m，t=a−m，

在△F1PF2中，∠F1PF2=二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知曲线C:mx2−nyA.若mn>0，则C为双曲线

B.若m>0且m+n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆

C.若m>0，n<0，则C不可能表示圆

D.若m>0，n>0，则C为两条直线【答案】AB

【解析】【分析】本题考查双曲线椭圆的标准方程，属于基础题．

由m，n的取值，根据椭圆、双曲线、圆与直线方程的特征，判断曲线表示的形状即可．【解答】解：若mn>0，则C为焦点在横轴或纵轴上的双曲线，所以A正确；若m>0且m+n<0，可得n<0，n>m>0,1m>1n，所以若m>0，n<0，当m=1，n=−1时，C是单位圆，所以C不正确；若m>0，n>0，则C为双曲线，所以D不正确．故选：AB．10.如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠C=30∘，AB=4，D为线段AC的中点，DM⊥BC，F为线段AB的中点，E为线段DM上的动点，则下列结论正确的是(

)

A.若E为线段DM的中点，则EF=12DA+12MB

B.若E为线段DM的中点，则|【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查了向量的加减与数乘混合运算，向量的数量积的概念及其运算，属于中档题．

结合向量的加减与数乘混合运算，向量的数量积的概念及其运算等知识，逐一分析可得出结果．【解答】

解：

由题易知：BC=8，AD=CD=23，

由题意可知DM⊥BC，则CDCB=CMCA，

解得：CM=CD·CACB=23·438=3，

所以BM=BC−CM=5，DM=3，<DA，MB>=30∘，<ED，AB>=150∘，

EF=

ED+DA+AF，且

EF=EM+MB+BF，

因为F为线段AB的中点，所以两式相加得

EF=12DA+12MB，A正确．

由A可知：此时E为线段DM的中点，F为线段AB的中点，

所以EF11.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别为AA1A.C1A⊥EF

B.DD1与平面CD1EF所成角的正弦值为23

C.存在点M使得C1M⊥平面C【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查线线垂直的判断，线面成角，线面垂直的判断，属于中档题．

根据线面垂直判定定理判断A选项，应用等体积计算点D到平面CD1EF的距离再结合线面角定义求值判断B，反证法判断C【解答】解：对于A：连接AB

则EF⊥AB1，B1C1⊥平面AB1,B1C1⊂平面AB对于B：如图延长D1E,CF交于N，易得N在DA延长线上，

则VDNC=ND1=设D到平面NCD1距离为d，则VD1−NDC=13×6×d=83对于C；若C1M⊥平面CD1EF，则C1M⊥D1E，则C1M在平面A1D1DA内射影垂直于对于D：如图所示，取A1B1的中点H，BB1

可得四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G//D1E,D1同理可得C1H//CF，C1H//平面CD1E，因为C因为M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M//平面所以M点的轨迹长度GH=12故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域为{(x,y)|x2+y2≤94}，河岸线所在直线方程为x+3y−10=0.【答案】72【解析】【分析】此题以中国传统文化为背景考查求点关于直线的对称点，解决圆上的点到圆外一点的最短距离，考查对圆的几何性质的应用．

求出点P关于直线的对称点P'(3,4)，根据对称性，原问题转化成求P'到营区的最短距离，利用圆的几何性质即可得解．【解答】解：设点P(2,1)关于直线x+3y−10=0的对称点P'b−1a−2=32+a2+3×将军从P出发到达直线上点A再到营区，PA=所以本题问题转化为求点P'(3,4)到营区的最短距离，根据圆的几何性质可得最短距离为P'O−故答案为：7213.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线与C的两条渐近线分别交于x轴上方的A，B两点，【答案】3【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线，属于中档题．

由双曲线的几何性质得∠AF1O=【解答】

解：因为OA垂直平分BF1，所以∠AOF1=∠AOB，

又∠AOF1=∠BOF2，所以∠AOF1=∠AOB=∠BOF2=π3，

故∠AF14.已知函数fx=sin2x+1，将fx的图象向左平移π4个单位长度，得到函数gx的图象，若关于x的方程gx=aa∈R在0,9π8上有5个实数根，x【答案】5π

【解析】【分析】本题考查三角函数图像变换以及两个函数图像交点个数问题，属于拔高题．

首先根据函数的平移规则得到gx的解析式，画出函数图象，结合gx的对称性计算可得【解答】解：因为函数fx=sin2x+1，将f函数y=cos2x的对称轴为x=kπ2,k∈Z又函数y=cos2x的图象是由y=cos2x的图象将x轴下方的部分关于x轴对称上去，所以y=cos2x的对称轴为又gx=cos所以gx的图象如下所示：

因为关于x的方程gx=aa∈R在0,即y=a与y=g(x)在x∈0,9π8又g(9π8)=|cos 2×令y=a与y=g(x)交点的横坐标从小到大依次为x1则x1,x2关于x=π4对称，x2,x3关于所以x1所以x=x故答案为：5π．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知圆C的圆心在第一象限且在直线3x−y=0上，与x轴相切，被直线x−y=0截得的弦长为2(1)求圆C的方程;(2)设P(x,y)是圆C上任意一点，A(−4,2)，B(2,−2)，求|PA|2【答案】解：(1)依题意，设圆C的圆心坐标为(a，3a)，a>0，半径为3a，

(a,3a)到直线x−y=0的距离为d=|a−3a|2=2a，

所以27=2(3a)2−(2a)2，解得a=1，

所以圆C的方程为(x−1)2+(y−3)2=9．

(2)|PA|2+|PB|2=(x+4)2+(y−2)2+(x−2)2+(y+2)2

=2x2+4x+2y2+28

=2(x2+2x+【解析】本题考查圆的方程的求法，考查点到圆上点的最值问题，考查运算求解能力，是中档题．

(1)设出圆心坐标(a,3a)，a>0，判断出圆的半径，利用直线x−y=0截圆所得弦长列方程来求得a，从而求得圆C的方程．

(2)先求得|PA|2+|PB|2=2[(x+1)2+16.(本小题15分)

在△ABC.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b−ca=cosCcosA,a=3．

(1)求角A；

(2)若点D在边AC【答案】解：(1)在△ABC中，∵2b−ca=cosCcosA，

∴2sinB−sinCsinA=cosCcosA，整理得2sinBcosA=sin(A+C)=sinB，

∵sinB>0，∴cosA=12，A∈(0,π)，

∴A=π3；

(2)∵BD=13BA+23BC，

∴CD−【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、平面向量的线性运算，考查三角形的面积公式与基本不等式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．

(1)利用正弦定理及两角和的正弦公式，化简2b−ca=cosCcosA，可得cosA=12，从而可求得角A的值；

(2)由17.(本小题15分)

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33，直线x−y+5=0与椭圆C有且只有一个公共点．

(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点A(−3,0)，B(3,0)，P为椭圆C上一点，且直线PA与PB【答案】解：(1)∵直线x−y+5=0与椭圆有且只有一个公共点，∴直线x−y+5=0与椭圆

C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相切，∴x−y+5=0x2a2+y2b2=1

⇒(b2+a2)x2+25a2x+5a2−a2b2=0，∴Δ=0⇒a2+b2=5，又∵ca=33∴

a=3∴b2=a2−c2=2，椭圆C的方程为x23+y22=1．

(2)证明：由题意M、N是椭圆C上不同于A，B的两点，

由题意知直线AP，BP斜率存在且不为0，又由已知

kAP⋅kBP=−23.由AP//OM，BP//ON，

所以kOM⋅kON=−23，

当【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程

、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线中的定值问题，属于较难题．

(1)直线x−y+5=0与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相切，∴x−y+5=0x2a18.(本小题17分)已知三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BB1=2(1)证明：AB⊥AC；(2)若侧面ACC1A1是正