安徽省江南十校2025届高三下学期第一次联考（数学试题含解析）

安徽省江南十校2025届高三下学期第一次联考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.设复数，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.已知是直线一个方向向量，若，则实数的值为（）A. B. C.2 D.4.已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为（）A. B. C. D.55.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点.动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（）A. B. C. D.6.已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.7.若函数是减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知，则最小值为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（）A.数据的方差为4B.数据的平均数为17C.数据的平均数为10，方差大于1D.若数据的中位数为分位数为，则10.如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（）A.圆台的体积为B.圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为C.过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为D.过三点平面与圆台下底面的交线长为11.已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（）A. B.C. D.三､填空题；本题共3小题，每题5分，共15分.12.曲线C：在点M（1，e）处的切线方程为_____________．13.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则__________.14.程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，微州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为.（1）记“”为事件，求；（2）完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望.16.已知函数.（1）若，求在上的极大值；（2）若函数，讨论函数在上零点的个数.17.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，为等边三角形.（1）若分别是棱的中点，证明：平面；（2）求平面与平面夹角余弦值.18.已知动点满足关系式.（1）求动点的轨迹方程；（2）设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点.①证明：三点共线；②当直线与有两个交点时，求的取值范围.19.设是各项均为正数的无穷数列，其前项和为.（1）若对任意都成立，且.①求数列的通项公式；②已知首项为，公比满足的无穷等比数列，当无限增大时，其前项和无限趋近于常数，则称该常数为无穷等比数列的各项和.现从数列中抽取部分项构成无穷等比数列，且的各项和不大于，求的最大值.（2）若对任意都成立，试证明：.

安徽省江南十校2025届高三下学期第一次联考数学参考答案【答案】D【详解】因为，所以，所以的共轭复数的虚部为.故选：D2.【答案】B【详解】由题意得，，，∴.故选：B.3.【答案】A【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，所以若，则，解得.故选：A.4.【答案】B【详解】由题得，所以，设等比数列的公比为，所以，则.故选：B5.【答案】C【详解】由题得，且圆O的半径为，所以，所以.故选：C6.【答案】A【详解】由题，所以，即，所以，即.故选：A7.【答案】B【详解】由题意得，函数定义域为.∵，∴，∵且，∴，则，∵，∴，解得，当时，，，不合题意，∴的取值范围是.故选：B.8.【答案】D【详解】已知，所以，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.9.【答案】AB【详解】对于A：数据的方差为，A选项正确；对于B：数据的平均数为，B选项正确；对于C：数据的平均数为，方差，C选项错误；对于D：若取数据，平均数为10，方差为1，则中位数为，因为，所以第5个数为分位数，所以，D选项错误.故选：AB.10.【答案】ABD【详解】A.∵，∴圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，∴圆台的高，∴圆台的体积，A正确.B.由，，得，由得，.如图，将圆台补成圆锥，顶点记为，底面圆的圆心记为，连接，∵为圆弧的中点，∴.∵平面，平面，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，此时母线所在直线与平面所成的角最大，最大为，，B正确.C.由得，，∴，当两条母线所在直线夹角为时，截面面积最大，最大值为，C错误.D.如图，在梯形中，连接并延长交的延长线于点，连接交底面圆于点，则为截面与底面圆的交线.由得，，，∴，，取中点，则，∴，D正确.故选：ABD.11.【答案】ACD【详解】由题得，所以即，所以是奇函数，故，又由得函数关于点对称，，所以，故，所以，即函数是周期为6的函数，所以也是周期为6的函数，即，由求导得即，所以，对于A，，故A正确；对于B，由函数关于点对称得，故B错误；对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确；对于D，由得，且即，且即，且即，所以，所以，所以，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：解决本题的关键是求出函数和是周期为6的函数.12.【答案】【详解】试题分析：因为，所以切线斜率为，切线方程为，13.【答案】5【详解】由题意可知，所以由，由上得，且所以，所以，所以即，令得，故直线经过点，联立，所以，所以同理可得，所以.故答案为：5.14.【答案】26【详解】由题“百位”拨动3枚算珠可以表示的不同的三位整数有：300、700；“百位”拨动2枚算珠可以表示的不同的三位整数有：210、250、201、205，610、650、601、605；“百位”拨动1枚算珠可以表示不同的三位整数有：120、102、160、106、111、151、115、155；520、502、506、560、511、551、515、555.则符合条件的三位整数的个数为26.故答案为：26.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是理解题意，将问题拆分“百位”拨动3枚算珠、“百位”拨动2枚算珠、“百位”拨动1枚算珠三种简单情况进行分析再整合即可得解.15.【答案】（1）（2）分布列见解析；.【详解】（1）两次摸球，摸出的小球号码的所有情况共种，其中，满足“”的情形有：时，；时，；时，；共5种情况，故；（2）X的可能取值为，则，，，，故X的分布列为：X0123P故16.【答案】（1）极大值为0，（2）答案见详解【解析】（1）当时，，则，令，得或或，因此，当变化时，，的变化情况如下表所示：0+00单调递减

单调递增

单调递减

单调递增所以当时，有极大值，极大值为.（2），当时，由，得或，其中，，则，当或时，方程无解，此时函数只有一个零点，当时，方程只有一解为，此时函数只有一个零点，当时，方程有两个不同的解且均不等于，此时函数有三个零点，当时，方程有一解且不等于，此时函数有两个零点.综上，当或时，函数只有一个零点，当时，函数有三个零点，当时，函数有两个零点.17.【答案】（1）证明见解析（2）【详解】（1）如图，取的中点，连接.∵分别是棱的中点，∴.∵，∴.∵，平面，平面，∴平面，同理可得平面，∵平面，∴平面平面，∵平面，∴平面（2）如图，连接，取的中点，连接，∵且，∴且，∴四边形为平行四边形，故，∵，∴，且，∵，∴，故为等边三角形，∴，.∵为等边三角形，∴.在中，由余弦定理得，，∴，即，故两两互相垂直.以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，由得，∴，设平面的一个法向量为，则，令，则，故.取平面的一个法向量，则，∴平面与平面夹角的余弦值为.18.【答案】（1）（2）①证明见解析；②的取值范围为.【解析】（1）设，则即，所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且所以动点的轨迹方程为.（2）①证明：由（1）曲线:,，设，对函数求导得，所以两切线方程为：，即，又切线过点P，所以，即满足，即满足方程，所以，设，则由，所以，即三点在直线上，即三点共线；②由上得，所以直线的方程为即，联立，因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根，所以，所以.所以的取值范围为.19.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）①因为对任意都成立，所以，且，所以，则数列是等比数列，又，作差得，，所以，又数列为等比数列，故数列的公比为，又因，所以，所以，所以是以