《高考备考指南 文科数学》课件-第8章 第4讲

立体几何第八章第4讲直线、平面垂直的判定与性质【考纲导学】1．以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理．2．能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：如果一条直线l与平面α内的______直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．任意(2)判定定理与性质定理：两条相交直线

a、b⊂α

a∩b＝O

l⊥a

l⊥b

平行a⊥α

b⊥α

2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．直二面角(2)判定定理和性质定理：垂线

l⊂β

l⊥α

交线α⊥β

l⊂β

α∩β＝a

l⊥a

1．(教材习题改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是(

)A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内任意一条直线垂直【答案】D【解析】由直线与平面垂直的定义，可知D正确．2．直线l1，l2平行的一个充分条件是(

)A．l1，l2都平行同一个平面B．l1，l2与同一个平面所成的角相等C．l1平行l2所在的平面D．l1，l2都垂直于同一个平面【答案】D【解析】对于A，l1，l2有可能相交或异面，故不正确；对于B，l1，l2与同一个平面所成的角相等，l1，l2不一定平行，有可能相交或异面；对于C，l1，l2有可能异面．故排除A，B，C．故选D．3．关于直线l，m与平面α，β的命题中，一定正确的是(

)A．若l∥m，m⊂α，则l∥α

B．若l⊥β，α⊥β，则l∥αC．若l⊥β，α∥β，则l⊥α

D．若l⊂β，α⊥β，则l⊥α【答案】C【解析】对于选项A：可以出现l⊂α的情形，故A错误；对于选项B：若l⊥β，α⊥β，则l⊂α或l∥α，故B错误；对于选项C：若l⊥β，α∥β，则l⊥α，正确；对于选项D：若l⊂β，α⊥β，则l与α平行或相交，错误．故选C．4．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．【答案】7【解析】由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意．口诀：线不在多，重在相交．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)直线l与平面α内的所有直线都垂直，则l⊥α.(

)(2)如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β.(

)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(

)(4)如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β.(

)(5)如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.(

)(6)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)√

(6)×课堂考点突破2直线与平面垂直的判定及性质

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【解析】(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.【规律方法】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．【跟踪训练】1．(2017年深圳模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD．(1)若AC＝6，BD＝8，PB＝3，求三棱锥A－PBC的体积；(2)若点E是DP的中点，证明：BD⊥平面ACE.(2)如图所示，设BD与AC相交于点O，连接OE，∵O为BD的中点，E是DP的中点，∴OE∥PB.又PB⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.∵BD⊂平面ABCD，∴OE⊥BD.由(1)知AC⊥BD，又AC∩OE＝O，∴BD⊥平面ACE.平面与平面垂直的判定与性质

(2016年衡阳校级模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD

的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：平面BDE⊥平面PBC.【证明】(1)连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO.∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点．又E为PC的中点，∴OE∥PA.∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.(2)∵PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD.又由于AD⊥CD，PD∩CD＝D，故AD⊥平面PCD.所以有AD⊥DE.又由题意得AD∥BC，故BC⊥DE.于是，由BC∩PC＝C，DE⊥PC，BC⊥DE可得DE⊥平面PBC.故可得平面BDE⊥平面PBC.【规律方法】面面垂直的性质应用技巧：(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中，要对此进行证明．【解析】(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.垂直中的探索性问题

(2017届石景山区模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.【解析】(1)证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以BB1D1D是平行四边形．所以B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊂平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD.(2)证明：因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D，而MD⊂平面BB1D，所以MD⊥AC.【规律方法】同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．课后感悟提升33种方法——三种垂直关系的证明(1)判定线线垂直的方法：①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.(2)判定线面垂直的常用方法：①利用线面垂直的判定定理；②利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”；④利用面面垂直的性质．(3)判定面面垂直的方法：①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.1．(2016年新课标Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是____________(填序号)【答案】②③④【解析】①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n.故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β.故正确；④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为②③④.【证明】(1)如图所示，M为PD的中点，直线