《高考备考指南 文科数学》课件-第8章 第3讲

立体几何第八章第3讲直线、平面平行的判定与性质【考纲导学】1．以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理．2．能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断11．直线与平面平行的判定定理和性质定理此平面内l∥a

a⊂α

l⊄α

交线l∥α

l⊂β

α∩β＝b

2．平面与平面平行的判定定理和性质定理相交直线a∥β

b∥β

a∩b＝P

a⊂α，b⊂α

相交交线α∥β

α∩γ＝a

β∩γ＝b

1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(

)A．l∥α

B．l⊥αC．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α【答案】D【解析】当距离不为零时，l∥α；当距离为零时，l⊂α.故选D．2．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有(

)A．①或② B．②或③C．①或③ D．①或②或③【答案】C【解析】由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选C．3．(2016年重庆校级模拟)已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题：①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β.其中不正确的有(

)A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】D【解析】对于①②结论中还可能b⊂α，所以①②不正确．对于③④结论中还可能a⊂β，所以③④不正确．故选D．4．在三棱台ABC－A1B1C1中，A1B1＝2AB，点E，F分别是棱B1C1，A1B1的中点，则在三棱台的各棱所在的直线中，与平面ACEF平行的有________．【答案】A1C1，BB11．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．2．在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(

)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(

)(3)如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行．(

)(4)一个平面内的一条直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交．(

)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×课堂考点突破2直线与平面平行的判定与性质(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD.∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD.∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.【规律方法】判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．【跟踪训练】1．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【证明】如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又M是PC的中点，∴AP∥OM.又MO⊂平面BMD，AP⊄平面BMD，∴AP∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且AP⊂平面PAHG，∴AP∥GH.面面平行的判定及性质

(2016年通辽一模)如图所示，四棱锥P－ABCD

中，底面ABCD是正方形，PA是四棱锥P－ABCD的高，PA＝AB＝2，点M，N，E分别是PD，AD，CD的中点．(1)求证：平面MNE∥平面ACP；(2)求四面体AMBC的体积．【解析】(1)证明：如图所示，∵点M，N，E分别是PD，AD，CD的中点，∴MN∥PA，NE∥AC.又PA∩AC＝A，MN∩NE＝N，PA，AC⊂平面PAC，MN，NE⊂平面MNE，∴平面MNE∥平面ACP.【规律方法】证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．【跟踪训练】2．如图所示，在三棱锥S—ABC中，AS＝AB．过点A作AF⊥SB，垂足为点F.点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：平面EFG∥平面ABC.【证明】因为AS＝AB，AF⊥SB，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.又EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC，又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.平行关系中探索性问题(2)如图所示，当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB.证明如下：【规律方法】解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论．第二步：证明探求结论的正确性．第三步：给出明确答案．第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究及对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾的结论就否定假设．(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”“只需使……成立”．4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?【解析】当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明如下：∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.又∵D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.课后感悟提升31个转化——三种平行关系间的转化2个注意点——证明平行问题应注意的两个问题(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．1．(2015年江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.【证明】(1)根据题意，得E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形．所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.2．(2016年山东)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC.【证明】(1)如图所示，连接ED，∵D是AC的中点，AB＝BC，AE＝EC，∴△BAC，△EAC都是等腰三角形．∴BD⊥AC，ED⊥AC.∵EF∥DB，∴E，F，B，D四点共面．这样，AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD，∴AC⊥平面EFBD．显然，