2024-2025学年浙江省杭州市上城杭九中高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省杭州市上城杭九中高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.cos210°=(

)A.12 B.−12 C.2.命题：∀x∈N，x>x的否定为(

)A.∀x∈N，x≤x B.不存在x∈N，x≤x

C.∃x∈N，x>3.设角α的始边为x轴的非负半轴，则“角α的终边在第二象限”是“cosα<0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.托马斯说：“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M={−1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是(

)A.y=2x B.y=x+2 C.y=x2 5.已知a=(12)13，b=logA.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b6.方程log4x=2−1A.(14,13) B.(7.将函数y=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4,0)，则ωA.13 B.1 C.53 8.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从A.10% B.30% C.60% D.90%二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若f(x)=3x+1，则下列结论正确的是A.f(x)在[−1,1]上单调递增

B.y=3x+1与y=(13)x+1的图象关于y轴对称

C.10.下列结论正确的是(

)A.−4π3是第二象限角

B.若α为锐角，则2α为钝角

C.若tanα=2，则sinα+cosαsinα−cosα=3

11.已知函数f(x)=12x+1,x≤0lgx,x>0，若存在不相等的实数a，b，c，d满足a<b<c<d且|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|=kA.k∈(0,1] B.a+b=−2

C.cd=1 D.a+b+c+d的取值范围为(−2,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,2)，则f(x)=

13.若函数g(x)=f(2x)−x2是奇函数，且f(1)=2，则f(−1)=

．14.如图，一块边长为1的正方形区域ABCD，在A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠MAN始终为π4，记探照灯照射在正方形ABCD内部区域(阴影部分)的面积为S.若设∠BAM=α，α∈[0,π4]，则S的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知关于x的不等式ax2+5x−2>0的解集是M．

(1)若a=3，求解集M；

(2)若M={x|12<x<2}16.(本小题12分)

已知锐角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3,4)．

(1)求sin(π2+2α)的值；

(2)若锐角β满足cos17.(本小题12分)经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量L(单位：千克)与施肥量x(单位：千克)满足函数关系：Lx=5x2+6,0≤x≤275x1+x,2<x≤5，且单株水果树的肥料成本投入为20x元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)为(1)求fx(2)当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？18.(本小题12分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图像如图所示，且D(0,−1)，△ABC的面积等于π2．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)将f(x)图像上所有的点向左平移π4个单位长度，得到函数y=g(x)的图像，若对于任意的x1，x19.(本小题12分)

已知a，m∈R，函数f(x)=4⋅3x+a3x+1和函数ℎ(x)=mx2−(2m+1)x+4．

(1)若函数f(x)图象的对称中心为点(0,3)，求满足不等式f(log3t)>3的t的最小整数值；

(2)参考答案1.D

2.D

3.A

4.C

5.B

6.B

7.D

8.B

9.AB

10.ACD

11.ACD

12.x13.−314.2−15.解：(1)当a=3时，不等式为3x2+5x−2>0，即(3x−1)(x+2)>0，

所以x<−2或x>13，

故解集M={x|x<−2或x>13}.

(2)因为M={x|12<x<2}，

所以12和2是方程ax2+5x−2=0的两根，

所以12+2=−5a12×2=−216.解：(1)角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(3,4)．

所以sinα=45，cosα=35，

所以sin(π2+2α)=cos2α=cos2α−sin2α=925−1625=−725；

(2)因为α17.解：(1)f(x)=15L(x)−20x−25x，

所以f(x)=75x2−45x+450,0≤x≤21125xx+1−45x,2<x≤5；

(2)当0≤x≤2时，f(x)=75x2−45x+450=75(x−310)2+443.25，

由二次函数性质得当x=2时，f(x)取最大值为f(2)=660元；

当2<x≤5时，f(x)=1125xx+1−45x=1125x+1125−1125x+1−45x=1125−[1125x+1+45x]，

18.解：(1)由题意可得A=2，

S△ABC=12|BC|⋅yA=12|BC|⋅2=π2，

所以T2=2π2|ω|=|BC|=π2，由ω>0，解得ω=2，

所以f(x)=2sin(2x+φ)，

图像过点D(0,−1)，则f(x)=2sinφ=−1，

又因为−π2<φ<π2，

所以φ=−π6，

所以f(x)=2sin(2x−π6)，

(2)由题意可得g(x)=2sin[2(x+π4)−π6]=2cos(2x−π6)，

设ℎ(x)=f(x)−g(x)=2sin(2x−π6)−2cos(2x−π6)

=22sin19.解：(1)函数f(x)=4⋅3x+a3x+1=4+a−41+3x，

若函数f(x)图象的对称中心为点(0,3)，

则f(x)+f(−x)=8+(a−4)(11+3x+11+3−x)=8+(a−4)⋅1+3x1+3x=a+4=6，

解得a=2，

即有f(x)=4−21+3x，

不等式f(log3t)>3，即为4−21+3log3t>3，

即1−21+t>0，解得t>1或t<−1，

又t>0，可得t>1，则t的最小正整数为2；

(2)当a=−4时，f(x)=4−81+3x在R上递增，可得f(x)<4，

又1+3x>1，可得f(x)>−4，

则f(x)的