2024-2025学年安徽省蚌埠市高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省蚌埠市高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−2,0,2,5}，B={x|−2<x<5}，则A∩∁RB=A.{0} B.{−2,5} C.{−2,0,2} D.{−2,0,2,5}2.下列既是奇函数，又是增函数的是(

)A.f(x)=x+1x B.f(x)=x−1x C.3.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数不小于3”，C=“点数大于4”，D=“点数为奇数”，E=“点数为偶数”，下列结论正确的是(

)A.A，B为互斥事件 B.B，C为对立事件

C.C，D为互斥事件 D.D，E为对立事件4.若函数y=f(x)是奇函数，则下列各点一定是函数y=f(x+1)+2图象对称中心的是(

)A.(1,−2) B.(−1,2) C.(−1,−2) D.(1,2)5.已知a=log34，b=4−2A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a6.函数：①y=log2|x−1|；②y=|log2(x−1)|；③y=log0.5|x−1|；④y=log0.5(|x|−1)的图象A.①④③② B.①④②③ C.④①②③ D.③④②①7.已知函数f(x)满足：∀x1，x2∈R，当.x1≠x2时，f(xA.[−2,2] B.[−2,2]8.若∀x>0，(5x+a)(x2A.0 B.1 C.−5 D.1或−5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知数据x1，x2，⋯，xn(x1<x2<⋯<xn)的平均数为x−，方差为sA.新数据的平均数为2x−+1 B.新数据的方差为2s2

10.已知a，b∈(0,+∞)，a+b=2，则以下结论正确的是(

)A.(a−1)(b−1)<0 B.|a−2|+|b−2|=2

C.a+b≥2 D.211.已知函数f(x)=2−x,x≤0,−x2A.∀x∈R，f(x)≠f(−x)

B.∃x∈R，f(x)=f(−x)

C.若g(x)≥−1恒成立，则实数m的取值范围是[0,4]

D.若m∈(1,2)，则函数g(x)恰好有5个零点，且5个零点之和的取值范围是(4,5)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.计算：0.008−13−lg125−3lg2+13.函数f(x)=lnx+ln(4−x)的单调递增区间是______．14.已知函数f(x)=mx2−4x+4n(m,n∈R)的值域为[0,+∞)，且f(2)≤4，则m四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知集合A={x|4−m≤x≤2m+1}，集合B={x|x2−x−2≤0}．

(1)若m=4，求A∪B；

(2)设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数16.(本小题12分)

某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按[40,50)，[50,60)，⋯，[90,100]依次分为第一至第六组(所有评分x满足40≤x≤100).统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中的a值；

(2)求业主评分平均数的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少？17.(本小题12分)

某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则：

规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；

规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖．

(1)请以标号(x,y)写出两次抽取小球的所有结果(其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号)；

(2)求两种规则下获得二等奖的概率；

(3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由．18.(本小题12分)

已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，当x>0时f(x)=log2x−1x．

(1)求x<0时，f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性，并证明；

(3)求满足不等式f(t+1)>f(1−2t)19.(本小题12分)

德国数学家狄利克雷(1805−1859)在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的一个函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是公式还是用图象、表格等形式表示，如狄利克雷函数D(x)=1,x∈Q0,x∈∁RQ，其中R为实数集，Q为有理数集．

(1)已知函数f(x)=ex+e−x2．

①判断函数D(x)的奇偶性(直接写结果)，并求f[D(−2025)]的值；

②记函数g(x)=f(2x)−f(x)，求g(x)的零点；

(2)对任意集合M，定义fM(x)=1,x∈M0,x∉M.已知集合S参考答案1.B

2.C

3.D

4.B

5.A

6.B

7.C

8.D

9.AD

10.BCD

11.ACD

12.10

13.(0,2)

14.[2,7]

15.解：(1)已知集合A={x|4−m≤x≤2m+1}，集合B={x|x2−x−2≤0}．

则B={x|x2−x−2≤0}={x|−1≤x≤2}，

当m=4时，A={x|0≤x≤9}，

所以A∪B={x|−1≤x≤9}．

(2)因为p是q的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集，

则4−m≤−12m+1≥2，且等号不同时成立，解得m≥5，16.解：(1)根据题意可知，(0.005+0.01×2+0.02+0.025+a)×10=1，解得a=0.030；

(2)根据题意可知，x−=45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74，

故业主评分平均数的估计值为74；

(3)评分低于70分的三组频率之比为1：2：4，

故第一组抽到的人数为14×11+2+4=2，第二组抽到的人数为14×27=4，第三组抽到的人数为14×4717.解：(1)两次抽取小球的所有可能结果为：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，

(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，

(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，

(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，

(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，

(2)记规则一中获得二等奖为事件A2，记规则二中获得二等奖为事件B2，

事件A2包含(3,3)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(5,5)五个样本点，

故P(A2)=525=15，

事件B2包含(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,5)五个样本点，

故P(B2)=525=15．

(3)规则二获奖概率大．

理由如下：记规则一获得一，二，三等奖分别为事件A1，A2，A3，

规则二获得一，二，三等奖分别为事件B1，B2，B3，

事件B1包含(1,2)，(2,1)两个样本点，∴P(B1)=225；

事件B3包含(3,3)，(3,5)，(4,2)，(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，

(2,4)，(3,1)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，

共13个样本点，

∴P(B3)=1325．

所以规则二获奖的概率P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(18.解：(1)x>0时，f(x)=log2x−1x，

则x<0时，−x>0，f(−x)=log2(−x)−1−x=log2(−x)+1x，

因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，

所以x<0时，f(x)=log2(−x)+1x．

(2)函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，证明如下：

当x∈(0,+∞)时，f(x)=log2x−1x，∀x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，

所以log2x1<log2x2且x1−x2x1x2<0，

19.解：(1)①函数D(x)是偶函数，

函数D(x)=1,x∈Q0,x∈∁RQ的定义域为R，

若x∈Q，则−x∈Q，所以D(x)=D(−x)=1，

若x∈∁RQ，则−x∈∁RQ，所以D(x)=D(−x)=0，

即对任意的x∈R，都有D(−x)=D