北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末学业水平调研数学试卷（解析版）

第1页/共1页北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷本试卷共6页，共两部分.19道题，共100分.考试时长90分钟.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.的展开式中，所有二项式的系数和为（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二项式的展开式的性质，所有二项式系数和为即得.【详解】的展开式中所有二项式的系数和为.故选：B.2.已知函数则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，然后将代入导函数中计算即可.【详解】由得，所以.故选：B3.若等比数列的前项和，则公比（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，依次求出，依题即可求得公比.【详解】由，时，，时，由解得，，依题意，.故选：C.4.下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解.【详解】对于A，在上平均变化率为，对于B，在上的平均变化率为，对于C,在上的平均变化率为，对于D，在上的平均变化率为，故在上的平均变化率最大，故选：B5.将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因四位数首位非零，且四个数字中有重复数字，故可先安排首位，再确定其他数位.【详解】根据题意，可将四位数分成两类：第一类，首位是2，则只需要将所剩下的三个数字全排即得，有个；第二类，首位是4，只需在余下的三个数位选一个给0即可，有个.由分类加法计数原理可得，组成的不同四位数的个数为.故选：A.6.小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求.【详解】设小明投中次数为，则由题意可知，则，，因为投中一次得2分，没投中得0分，所以，则，.故选：B.7.已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意利用条件概率公式求解即可.【详解】记事件为“A项指标合格”，事件为“B项指标合格”，则，所以。故选：C8.已知等差数列的前项和为，若、则“有最大值”是“公差”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据等差数列项的符号特点和前项和最值的关系进行分析.【详解】充分性：等差数列的前项和为，前项和可看做关于的函数，若有最大值，则不满足充分性；必要性：等差数列的前项和为，若、公差，则等差数列每一项都是负数，显然取到最大值，必要性成立.故选：B.9.设函数．若在上恒成立，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用参数赋值法结合函数导数判断各个选项；【详解】根据题意，函数．若在−1,1上恒成立即函数在−1,1上的最大值为.法一：因为x∈−1,1，所以当时，在−1,1上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意；A错误；当时，令，因为x∈0,1，所以在x∈0,1上单调递减，当时，，在−1,1上的最大值不为0，不符合题意；C错误；当时，令得，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，即函数在−1,1上的最大值为.符合题意；D正确；当时，令得存在，满足当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，即函数在−1,1上的最大值为.不符合题意；B错误；法二：对于A，当时，在−1,1上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意，A错误；对于B，当时，取，所以，此时函数的最大值不可能为0.B错误；对于C，当时，取，所以，此时函数的最大值不可能为0，C错误；对于D，当时，当，在上单调递增，在上单调递增，当x∈0,1，在上单调递减，在上单调递减，综上可知在−1,1上恒成立，D正确；故选：D.10.在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大；②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为；③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500．其中正确结论的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】先根据函数求导公式找到（为常数），结合二次函数性质和条件计算判断结论的正误；【详解】根据题意可知，则（为常数），①（为常数），根据二次函数的最值可知当销量件时，总收益最大，①正确；②若销量为800件时，总收益为，所以（为常数），解得,则当销量增加400件，即件，总收益，②正确；③当销量从500件增加到501件时，，总收益改变量的近似值为500．③正确；故选：D.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.的展开式中含项的系数为_________．【答案】【解析】【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】二项式展开式的通项为，，所以，所以展开式中含项的系数为.故答案为：12.某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为_________，数学期望_________．【答案】①.0，1；②..【解析】分析】根据题意服从超几何分布，应用古典概型概率公式求出相应概率，再由期望公式即可得.【详解】X的取值可能为0，1．依题意可知服从超几何分布，则，，所以．故答案为：0，1；.13.已知数列是公比为2的等比数列，若，则________．【答案】【解析】【分析】将化为，然后利用等比数的求和公式求解即可.【详解】因为，所以，因为数列是公比为2的等比数列，所以.故答案为：14.甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为，且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为_________．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为_______【答案】①.0.7②.0.22.【解析】【分析】设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件，利用对立事件的概率公式可求出无人机被击中的概率，利用全概率公式可求出无人机被击落的概率.【详解】设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件，则，所以，所以，若无人机恰好被一人击中，即事件，则，若无人机被两人击中，即事件，则，所以.故答案为：，15.已知数列的前项和为，满足，当时，．给出下列四个结论:①当时，；②当时，；③当时，恒成立；④当时，从第三项起为递增数列．其中所有正确结论的序号为_________．【答案】①③④【解析】【分析】根据递推关系即可判断①②③，用利用函数单调性即可判断④.【详解】当时，，当时，，所以或，若，则，与题意矛盾，所以，因为，所以或，若，则，与题意矛盾，所以，所以①正确；当时，，所以，所以，，，所以是以为周期的周期数列，所以，所以②错误；当时，，所以，所以，因为，，所以，由基本不等式可得，当且仅当时，取等号，但因为，所以取不到等号，所以，所以③正确；当时，，所以，所以，因为，，所以，由基本不等式可得，当且仅当时，取等号，但因为，所以取不到等号，所以，又因为，令，则，当，由的函数性质，由图可知，当，有，所以从第二项开始为递减数列，当且增大时，递减，递增，所以从第三项起为递增数列，所以④正确；故答案为：①③④【点睛】本题给出与的混合关系式，用进行转化，本题第四问是难点，四层递进，最后利用函数思想，确定的单调性．三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知函数．（1）判断在上的单调性，并证明；（2）求在上的零点个数．【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）一个.【解析】【分析】（1）先判断单调性，再求导函数根据导函数正负证明函数单调性；（2）结合函数单调性及极值结合零点存在定理得出零点个数.【小问1详解】在上单调递增，证明如下：因为，所以，又因为，从而，所以，所以在上单调递增．【小问2详解】由(1)知：，因为x∈0,+令，得．与f′x在区间0,+f0+极小因为，，所以由零点存在定理及单调性可知，在0,+∞上恰有一个零点．17.某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为，定义产品的指标偏差，数据如下表：甲生产线抽样产品编号指标123456789100.980.961.071.020.990.930.920.961.111.022.011971.962.032041.981.951.992.072.020.030.070.110.050.050.090.130.050.180.04乙生产线抽样产品编号指标123456781.020.970.950.941.130.980.971.012.012.032.151.932.012.022.192.040.030.060.200.130.140.040.220.05假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立．（1）从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足且的概率；（2）从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设表示这两件产品中满足的产品数，求的分布列和数学期望；（3）已知的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望；（3）甲生产线上的产品质量更好，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据给定数据，利用频率估计概率即得；（2）先分别得出甲、乙的项指标值大于2的产品的概率，再利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式分别求解相应概率，列出分布列，最后求解期望即可；（3）比较甲乙两生产线上值的平均值大小可得.(其他理由也可，如:求出甲生产品的值小于乙的概率，再比较该概率值与的大小.)【小问1详解】记表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足且”．用频率估计概率，则．所以该产品满足且的概率为．【小问2详解】由表格数据，用频率估计概率，可得“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为；“从乙生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为.由题意，的所有可能取值为．，．所以的分布列为012所以的数学期望为．【小问3详解】甲生产线上的产品质量更好，因为甲生产线上值的平均值，乙生产线上值的平均值，所以甲生产线上值的平均值明显比乙小，所以甲生产线上的产品质量更好．其它理由：从甲乙两生产线的样本中各随机取一件，则甲生产品的值小于乙的概率为，所以甲生产线上的产品质量更好．18.已知（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）已知有两个极值点，且满足，求的值；（3）在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）求导，由极值点的定义可知方程有两个不等正根，再根据整理得，利用韦达定理代入即可求解；（3）令，利用导函数求的单调性证明在上恒成立即可.【小问1详解】当时，，所以，所以．所以曲线在点处的切线方程为．【小问2详解】因为，所以，因为有两个极值点，所以有两个大于0的变号零点，所以方程有两个不等正根，所以，解得，又因为，即有，整理得，代入，可得，解得，又因为，所以可得，经检验，符合题意．【小问3详解】由(2)可知且，从而，因为在上恒成立，令，则有在上恒成立，易得，因为，所以，令，对称轴，①当时，，所以在单调递增，从而恒成立，所以在也恒成立，所以在单调递增，从而恒成立．②当时，，所以有两个不等实根（不妨设），所以，且当时，，从而，所以在上单调递减，所以，与“在上恒成立”矛盾，综上，的取值范围是．【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数最值之间的比较，列出不等式关系求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；4、若参变分离不易求解，考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.19.已知数列满足，集合．设中有个元素，从小到大排列依次为（1）若，请直接写出；（2）若，求；（3）若，求的最小值【答案】（1）；（2）160；（3）．【解析】【分析】（1）由题意可求得，从而可求出；（2）由题意可得，然后可依次求出，从而可求出；（3）先证明：，方法一：考虑从这个数中任取2个求和，这些和都不小于，方法二：利用反证法，假设，则，然后推理证明；然后，证明存在符合要求的数列，构造，分析判断即可.【小问1详解】由题意可知，所以可知，所以，所以．【小问2详解】因为对任意，都有，所以依次为，，，，，…所以．【小问3详解】．先证明：．方法1：考虑从这个数中任取2个求和，这些和都不小于，因为，所以，从而，因为，所以，即．方法2：假设，则．则，因为满足的必要条件是（因为若，则，不等式不成立），所以小于的和式至多有以下情况：；；……；共，不合题意．其次，证明存在符合要求的数列．构造：令．显然满足，且．此时，，故．【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.20.设函数．从下列三个条作中选择两个作为已知，使得函数存在．（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）若对于任意的，都有，求实数的取值范围．条件①：函数的图象经过点；条件②：在区间上单调递增；条件③：是的一条对称轴．【答案】（1），单调递减区间为；（2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，结合所选条件，利用周期与单调性求出，求函数解析式即可；（2）由的范围求出的范围，即可求出函数的值域，依题意．【小问1详解】因为，若选①②：由①函数的图象经过点，则，，即，，由②在区间上单调递增，有，即，又且，即，所以，此时不存在；选条件②③：由②在区间上单调递增，有，即，又且，即，所以，由③是