2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之解直角三角形

第23页（共23页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之解直角三角形一．选择题（共5小题）1．（2024秋•靖江市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA=35，AB＝10，则A．3 B．4 C．6 D．82．（2024秋•顺义区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝60°，sinC=23A．2 B．3 C．23 D．3．（2024秋•婺城区期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（3，3），B（7，0），则sin∠ABO＝（）A．34 B．35 C．43 4．（2024秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，设∠A＝α，则（）A．BD＝AB•sin2α B．BD＝AB•sinα•tanα C．AD＝AB•cosα•sinα D．AD＝AB•cosα•tanα5．（2024秋•泉州期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为（）A．55 B．255 C．25二．填空题（共5小题）6．（2025•静安区一模）如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BC＝2BD，AC＝65，tanA=12，那么AB的长为7．（2024秋•西岗区期末）如图，∠C＝90°，∠D＝∠B，若tan∠AFD=12，且BF=5，则8．（2025•徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果cotA=43，那么cos∠CBD的值是9．（2025•青浦区一模）在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，且DE垂直平分AB．联结BE，如果tan∠A=13，那么cos∠CBE＝10．（2025•徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，sinB=35，点E、D分别在边AB、BC上，BECD=43，如果∠CAD＝∠B，那么三．解答题（共5小题）11．（2024秋•莱芜区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝10，求AB的长（结果保留根号）12．（2024秋•梁溪区期末）已知△ABC中，∠A＝30°，AB＝6．（1）如图1，若∠C＝90°，则AC＝；（2）如图2，若∠C＝45°，求AC的长．13．（2024秋•太仓市期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D，AD＝6，tanA=（1）求AB的长；（2）求sinC的值．14．（2024秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝15，cos∠BCD=4（1）求△BCD的面积；（2）求∠ACB的正切值．15．（2025•浦东新区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosB=45．点D是边AB的中点，过点D作CD的垂线，与边BC相交于点（1）求线段CE的长；（2）求sin∠BDE的值．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之解直角三角形参考答案与试题解析题号12345答案DBAA一．选择题（共5小题）1．（2024秋•靖江市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA=35，AB＝10，则A．3 B．4 C．6 D．8【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AC的长，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：由题可知：AC＝AB•cosA＝6，则BC=A故选：D．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确得出AC的长是解题关键．2．（2024秋•顺义区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝60°，sinC=23A．2 B．3 C．23 D．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】D【分析】过点A作BC的垂线，先利用∠B的正弦，求出垂线段的长，再结合∠C的正弦即可解决问题．【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，在Rt△ABM中，sinB=AM∵∠B＝60°，AB＝4，∴AM4则AM=23在Rt△ACM中，sinC=AM∴23∴AC=33故选：D．【点评】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．3．（2024秋•婺城区期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（3，3），B（7，0），则sin∠ABO＝（）A．34 B．35 C．43 【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】B【分析】根据题意画出示意图，再结合正弦的定义即可解决问题．【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为M，如图所示，∵A（3，3），B（7，0），∴AM＝OM＝3，OB＝7，∴BM＝OB﹣OM＝7﹣3＝4．在Rt△ABM中，AB=3∴sin∠ABO=AM故选：B．【点评】本题主要考查了解直角三角形及坐标与图形性质，能根据题意画出示意图及熟知正弦的定义是解题的关键．4．（2024秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，设∠A＝α，则（）A．BD＝AB•sin2α B．BD＝AB•sinα•tanα C．AD＝AB•cosα•sinα D．AD＝AB•cosα•tanα【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】A【分析】根据正弦，余弦及正切的定义，依次对所给选项进行判断即可．【解答】解：由题知，∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD．在不同的直角三角形中，根据正弦、余弦及正切的定义可知，sinα=CDcosα=ADtanα=CDAB•sin2α＝AB⋅B由BCAB=BDBC得，BC2＝所以BC即BD＝ABsin2α．故A选项符合题意．AB•sinα•tanα＝AB⋅BC显然BC与CD一定不相等，所以AB•sinα•tanα一定不等于BD．故B选项不符合题意．AB•cosα•sinα＝AB⋅ACAB显然AD与CD一定不相等，所以AB•cosα•sinα一定不等于AD．故C选项不符合题意．AB•cosα•tanα＝AB⋅ACAB显然AD与BC不一定相等，所以AB•cosα•tanα不一定等于AD．故D选项不符合题意．故选：A．【点评】本主要考查了解直角三角形，熟知正弦、余弦及正切的定义是解题的关键．5．（2024秋•泉州期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为（）A．55 B．255 C．25【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】A【分析】连接图中的格点，使其与DC平行，再构造出直角三角形，最后结合正弦的定义即可解决问题．【解答】解：连接BM，AM，由网格可知，BM∥CD，∠AMB＝90°．∴∠APC＝∠ABM．令正方形网格的边长为a，则AM=aAB=(3a)在Rt△ABM中，sin∠ABM=AM∴sin∠APC＝sin∠ABM=5故选：A．【点评】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2025•静安区一模）如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BC＝2BD，AC＝65，tanA=12，那么AB的长为【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．【答案】8．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于F，解直角三角形求出DE＝3，AE＝6，证明DE是△ACF的中位线得CF＝2DE＝6，AE＝EF＝6，设BE＝a，则BF＝EF﹣BE＝6﹣a，AB＝AE+BE＝6+a，在Rt△BDE和Rt△CBF中，利用勾股定理构造方程求出a＝2，进而可得AB的长．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于F，如图所示：∵BD是△ABC的中线，AC=65∴AD＝CD=12AC在Rt△ADE中，tanA=DE∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD=A∴35∴DE＝3，∴AE＝2DE＝6，∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE∥CF，又∵BD是△ABC的中线，∴DE是△ACF的中位线，∴CF＝2DE＝6，AE＝EF＝6，设BE＝a，则BF＝EF﹣BE＝6﹣a，AB＝AE+BE＝6+a，在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2＝DE2+BE2＝32+a2，在Rt△CBF中，由勾股定理得：BC2＝BF2+CF2＝（6﹣a）2+62，∴BC＝2BD，∴4（32+a2）＝（6﹣a）2+62，整理得：a2+4a﹣12＝0，解得：a＝2，a＝﹣6（不合题意，舍去），∴AB＝6+a＝8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了解直角三角形，正确地添加辅助线构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行运算是解决问题的关键．7．（2024秋•西岗区期末）如图，∠C＝90°，∠D＝∠B，若tan∠AFD=12，且BF=5，则【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】5-5【分析】由已知条件可以构造BF所在直角三角形，过B作BG⊥EF，交FE延长线于点G，解Rt△BFG可得BG＝1，GF＝2，再根据8字型倒角可得∠D＝∠GBE＝∠B，利用角平分线的性质作EH⊥AB于点H，则EG＝EH，然后利用tan∠AFD=EHFH【解答】解：过B作BG⊥EF，交FE延长线于点G，∵∠AFD＝∠BFG，∴tan∠BFG＝tan∠AFD=1即BGGF设BG＝a，则GF＝2a，在Rt△BGF中，BG2+GF2＝BF2，即a2+4a2＝5，解得a＝1（负值舍去），∴BG＝1，GF＝2，∵∠C＝∠G＝90°，∠CED＝∠GEB，∴∠D＝∠GBE＝∠B，∴EB平分∠ABG，过E作EH⊥AB于点H，则EG＝EH，∵tan∠AFD=EH设EH＝EG＝b，则FH＝2b，∴EF=EH∵GF＝GE+EF，∴b+5b＝2解得b=5∴EF=5故答案为：5-5【点评】本题主要考查了解直角三角形、角平分线的性质等内容，熟练掌握倒角相关知识是解题的关键．8．（2025•徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果cotA=43，那么cos∠CBD的值是【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】45【分析】根据直角三角形的性质求出∠A＝∠CBD，则cosA＝cos∠CBD，再根据锐角三角函数定义求解即可．【解答】解：∵∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∠A+∠ABD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴cosA＝cos∠CBD，∵cotA=AD∴AD=43∴AB=AD∴cosA=AD∴cos∠CBD=4故答案为：45【点评】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．9．（2025•青浦区一模）在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，且DE垂直平分AB．联结BE，如果tan∠A=13，那么cos∠CBE＝【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】35【分析】根据题意画出示意图，再结合线段垂直平分线的性质及余弦和正切的定义即可解决问题．【解答】解：如图所示，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE．由tanA=1令BC＝a，则AC＝3a，∴CE＝3a﹣AE＝3a﹣BE．在Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，∴（3a﹣BE）2+a2＝BE2，∴BE=5在Rt△BCE中，cos∠CBE=BC故答案为：35【点评】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质及正切和余弦的定义是解题的关键．10．（2025•徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，sinB=35，点E、D分别在边AB、BC上，BECD=43，如果∠CAD＝∠B，那么【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】3．【分析】解直角三角形求出AC＝3，BC＝4，再根据tan∠CAD＝tanB，推出CDAC=AC【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，sinB=∴ACAB∴AC＝3，BC＝4，∵∠CAD＝∠B，∴tan∠CAD＝tanB，∴CDAC∴CD3∴CD=9∵BECD∴BE=43CD＝故答案为：3．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•莱芜区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝10，求AB的长（结果保留根号）【考点】解直角三角形；勾股定理．【专题】三角形．【答案】见试题解答内容【分析】作CD⊥AB于D，根据直角三角形的性质得出CD=12AC＝5，AD＝cos30°•AC=32×10＝53．BD＝CD【解答】解：作CD⊥AB于D，∵∠A＝30°，∴CD=12AC＝5cm，AD＝cos30°•AC=32×∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝5，∴AB＝AD+BD＝（53+5【点评】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握特殊直角三角形的性质，学会作出辅助线构建直角三角形解决问题；12．（2024秋•梁溪区期末）已知△ABC中，∠A＝30°，AB＝6．（1）如图1，若∠C＝90°，则AC＝33（2）如图2，若∠C＝45°，求AC的长．【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）33（2）33【分析】（1）结合∠A的余弦值即可解决问题．（2）过点B作AC的垂线，据此构造出直角三角形即可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，cosA=AC所以AC6所以AC=33故答案为：33（2）过点B作AC的垂线，垂足为M，在Rt△ABM中，sinA=BM所以BM6所以BM＝3．同理可得，AM=33在Rt△BCM中，tanC=BM所以3CM所以CM＝3，所以AC＝AM+CM=33【点评】本题主要考查了解直角三角形，能通过辅助线构造出直角三角形及熟知正弦、余弦及正切的定义是解题的关键．13．（2024秋•太仓市期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D，AD＝6，tanA=（1）求AB的长；（2）求sinC的值．【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）10；（2）25【分析】（1）先根据∠A的正切及AD的长，求出BD的长，再利用勾股定理即可解决问题．（2）在Rt△BCD中，求出BC的长，再结合正弦的定义即可解决问题．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠BDC＝90°．在Rt△ABD中，tanA=BD∵AD＝6，∴BD＝8，∴AB=62（2）∵AB＝AC，AB＝10，∴AC＝10，∴CD＝AC﹣AD＝10﹣6＝4．在Rt△BCD中，BC=8∴sinC=BD【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及正弦和正切的定义是解题的关键．14．（2024秋•雁塔区校级期末）如图，在△ABC，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝15，cos∠BCD=4（1）求△BCD的面积；（2）求∠ACB的正切值．【考点】解直角三角形；三角形的面积．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】（1）1892（2）6．【分析】（1）设CE＝4x，DE⊥BC，所以CD＝5x，DE＝3x，由CD＝15可求出x＝3，从而可求出答案；（2）过点A作AF⊥BC于点F，由于D是AB的中点，所以DE是△ABF的中位线，从而可求出AF＝BF＝18，再求出CF＝3即可求出∠ACB的正切值．【解答】解：（1）设EC＝4x，DE⊥BC，∵cos∠∴ECCD∴CD＝5x，DE＝3x，∵CD＝15，∴x＝3，∴CE＝12，∵∠B＝45°，∴DE＝BE＝3x＝9，∴BC＝BE+CE＝7x＝21，S△（2）过点A作AF⊥BC于点F，∴DE∥AF，∵D是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线，∴AF＝2DE，BF＝2BE，由（1）可知：DE＝BE＝9，∴AF＝18，BF＝18，∴CF＝BC﹣BF＝3，∴tan∠【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积，解题的关键是求出DE，CE的长度．15．（2025•浦东新区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosB=45．点D是边AB的中点，过点D作CD的垂线，与边BC相交于点（1）求线段CE的长；（2）求sin∠BDE的值．【考点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）254（2）725【分析】（1）由勾股定理求出BC，再根据斜边上的中线求出AD，∠DCB＝∠B，由余弦定理求出CE；（2）作EF⊥AB交AB于F，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF的关系式，从而求出∠BDE的正弦值．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝10，cosB=4∴BCAB∴AB＝10，∴BC＝8，∴AC=AB又∵D为AB中点，∴AD＝BD＝CD=12AB＝∴∠DCB＝∠B，∴cos∠DCB=CDCE，cos∠B∴5CE∴CE=25（2）作EF⊥AB交AB于F，由（1）知CE=25则BE＝8-254=7设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x，在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝（154）2﹣（5﹣x）2在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝（74）2﹣x2∴22516-（5﹣x）2=49解得x=7∴EF2＝（74）2﹣（75）2EF=21∴sin∠BDE=EF【点评】本题主要考查解直角三角形和斜边上的中线，关键是直角三角形中，正弦、余弦的应用．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1