数学-2025届湖南邵阳高三第二次联考试题+答案

2025年邵阳市高三第二次联考试题卷本试卷共4页,19个小题。满分150分。考试时间120注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条码粘贴区”。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.保持答题卡的整洁。考试结束后,只交答题卡,试题卷自行保存。一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={xx2<9},B={xx-1>0},则A∪B=A.{x-3<x<1}B.{xx>1}C.{x1<x<3}D.{xx>-3}2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标是(2,-1),则z=A.1+2iB.2+iC.2-iD.1-2i3.命题“∀x>1,ex-2>0”的否定为A.∀x≤1,ex-2>0B.∀x>1,ex-2≤0C.∃x≤1,ex-2>0D.∃x>1,ex-2≤04.定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(2-x)=0,且f(x)在[1,+∞)上单调递增,设则5.已知函数f(x)=3x3-sinx+x,则满足f(x)+f(4-3x)<0的x的取值范围是A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(2,+∞)D.(-∞,2)6.过抛物线x=2y2的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交抛物线的准线于点C.→→→A.B.1C.D.2025年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)第1页(共4页)7.有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件,加工的次品率分别为6%,5%,3%,加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%,40%,30%.任取一个零件,如果取到的零件是次品,则它是甲车床加工的概率为8.已知向量a,b满足+b=8,则2a+b的取值范围是二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.下列说法正确的是A.一组数5,7,9,11,3,13,15的第60百分位数是11∗C.一组数据(xi,yi)(1≤i≤15,i∈N)的线性回归方程为=3x+2,若x=2,则y=8∗D.某学校要从12名候选人(其中7名男生,5名女生)中,随机选取5名候选人组成学生会,记选取的男生人数为X,则X服从超几何分布10.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与C的右支交于A,B两点,则A.直线与C恰有两个公共点B.双曲线C的离心率为C.当∠F1AF2=60°时,△AF1F2的面积为D.当直线AB的斜率为k1,过线段AB的中点和原点的直线的斜率为k2时,11.设函数F(x)的导函数为f(x),即F′(x)=f(x).当f(x)≥0,函数f(x)在区间[a,b]上的图像连续不断时,直线x=a,x=b,y=0和曲线y=f(x)所围成的区域的面积为且则C.存在实数a>1,使得成等比数列D.直线x=0,x=π,y=0和曲线y=sinx所围成的区域的面积为22025年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)第2页(共4页)三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)12.(3x+1)n的展开式中,各二项式系数的和与各项系数的和之比为1:128,则n的值为.14.已知正六棱锥的高为3,它的外接球的表面积是.若在此正六棱锥内放一个正方体,使正方体可以在该正六棱锥内任意转动,则正方体的棱长的最大值为.四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知向量a=(sinx,3cosx),b=(sinx,sinx),设函数f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;当时求实数t的取值范围.16.(15分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面AA1C1C⊥平面ABC,AB=AC=2,BC=22,∠ACC1=60°,A1C⊥BC1,P为线段AA1上一点,且(1)证明:A1C⊥平面ABC1;(2)是否存在实数λ,使得点C到平面BPC1的距离为若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.2025年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)第3页(共4页)17.(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2a3=45,S3=15.数列{bn}满足2bn-bn+1-15=0,b1=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:数列{bn-15}是等比数列;(3)求数列的前n项和Tn.18.(17分)已知椭圆的离心率为且过点(0,1).(1)求C的方程;(2)过C的右焦点F的直线交☉O:x2+y2=a2于A,B两点,线段AB的垂直平分线交C于M,N两点.(i)证明:四边形AMBN的面积为定值,并求出该定值;(ii)若直线AB的斜率存在且不为0,设线段AB的中点为E,记△AEN,△BEM的面积分别为S1,S2.当S1<S2时,求的最小值.(1)求f(x)的极值;(2)当0<x<1时,证明:f(x)>g(x);(3)当F(x)=(bex-1-x)(1+lnx-bx)恰有四个零点x1,x2,x3,x4(0<x1<x2<x3<x4)时,证明:x1x4=x2x3.2025年邵阳市高三第二次联考试题卷(数学)第4页(共4页)2025年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准数学一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案DBDACCCA8.A解析:取为线段F1F2的中点,记则∴点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,∴长半轴的长为4,短半轴的长为,故选A.二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 答案ACDBCBD11.BD解析:对于选项为常数,A错;对于选项为常数,设则g(t)在(1,+∞)上单调递减,所以g(t)<g(1)=0.∴B正确;对于选项要使成等比数列,2025年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第1页(共6页)则ln2(a+1)=lna·ln(a+2).a+1a·loga+1(a+2)<1,loga+1a<loga+2(a+1).∴①不成立,∴C错误.对于选项为常数.三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)解析:设外接球的半径为R,则S球设正六棱锥的底面边长为即正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为2.∴正六棱锥的底面积侧面面积∴正六棱锥的体积设正六棱锥的内切球的半径为r,设正方体的棱长为∴正方体的棱长的最大值为2025年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第2页(共6页)四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)解分∴函数f(x)的最小正周期…………………5分 ∴f(x)的单调递减区间为分∴结合y=sinx的图像,当时分2-t≤0,解得0≤t≤.∴实数t的取值范围为…………13分16.(15分)(1)证明:∵AB=AC=2,BC=22,∴AB2+AC2=BC2,故AB⊥AC.……2分又∵面AA1C1C⊥面ABC,面AA1C1C∩面ABC=AC,AB⊂面ABC,………………………4分∵A1C⊂面AA1C1C,∴AB⊥A1C,又A1C⊥BC1,AB,BC1⊂面ABC1,BC1∩AB=B,∴A1C⊥面ABC1.……6分(2)∵A1C⊥面ABC1,∴A1C⊥AC1,∴四边形AA1C1C为菱形,取A1C1的中点为E,连接AE,∵∠ACC1=60°,∴△AA1C1为等边三角形.∴AE⊥A1C1.又AC∥A1C1,∴AE⊥AC.又AB⊥平面AA1C1C,∴AB⊥AE.∴如图所示,以点A为坐标原点,分别以AB,AC,AE所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz.……7分则A(0,0,0,),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,-1,3),→C1(0,1,3),AP=(0,-λ,3λ),→→→→BP=BA+AP=(-2,-λ,3λ),BC1=(-2,1,3),→BC=(-2,2,0).……9分设n=(x,y,z)为面BPC1的一个法向量,2025年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第3页(共6页)令x=λ,则………11分设d为点C到面BPC1的距离,故存在或满足题意.……………………15分17.(15分)解:(1)∵{an}是等差数列,∴S3=3a2=15,∴a2=5.又∵a2a3=45,∴a3=9.∴等差数列{an}的公差d=a3-a2=4,2+(n-2)d=4n-3.………………4分(2)∵2bn-bn+1-15=0,∴bn+1-15=2(bn-15又为常数.∴{bn-15}是首项为1,公比为2的等比数列.…………8分(3)由(2)得bn-15=2n-1,………………10分记分23+…+cn……………………15分18.(17分)∴C的方程为…………………3分(2)(i)证明:四边形AMBN的面积当直线AB与x轴重合时,此时AB=23…………………5分2025年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第4页(共6页)由圆的性质知直线MN过坐标原点O,由椭圆的对称性知OM当直线AB与x轴不重合时,设直线AB方程为x=ty+2.∵MN⊥AB,则直线MN的方程为y=-tx,联立椭分222综上所述,四边形AMBN的面积为定值23.…………9分 易知·EM,又AE=BE,………………11分∵直线AB的斜率存在且不为0,2025年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第5页(共6页)S1故的最小值为7-43 S219.(17分)解:(1)由题知,……………1分令f′(x)=0,则x=1.当x>1时