3.1.2 椭圆的几何性质（课件）-【中职专用】高二数学课堂（高教版2023修订版拓展模块一上册）

第3章圆锥曲线3.1.2椭圆的几何性质高教社数学拓展模块一（修订版）（上册）目录ONTENTSC情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业在基础模块，我们利用圆的标准方程得到了圆的性质，是否可以利用椭圆的标准方程来研究椭圆的性质呢？(x-a)2+(y-b)2=r2.方程称为以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程.情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

1.范围这说明，椭圆位于四条直线x=-a，x=a，y=-b，y=b所围成的矩形框内，如图所示．

情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业2.对称性

在椭圆的标准方程中，将y换成-y，方程不变．这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于x轴的对称点

P1(x,-y)也在椭圆上．因此,椭圆关于x轴对称．同理，将x换成-x，方程不变.这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于y轴的对称点P2(-x,y)也在椭圆上．因此，椭圆关于y轴对称．

进一步，将x换成-x，同时y换成-y，方程不变．这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于原点的对称点P3(-x,-y)也在椭圆上．因此，椭圆关于原点对称．

综上所述，椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称，也关于坐标原点对称．x轴与y轴都称为椭圆的对称轴，坐标原点称为椭圆的对称中心(简称中心)．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业3.顶点

情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业3.顶点椭圆与它的对称轴的四个交点A1、A2、B1、B2，称为椭圆的顶点．线段A1A2和B1B2分别称为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b．a和b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长．显然，椭圆的焦点在它的长轴上．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业3.顶点值得注意的是，由于a、b、c满足关系式b²+c²=a²，故长度分别为a、b、c的三条线段构成一个直角三角形．观察上图，可知|OB1|=|OB2|=b，|OF1|=|OF2|=c，|B2F1|=|B2F2|=a，故有|OB2|²+|OF2|²=|B2F2|²．

因此，Rt△F2OB2(或Rt△F1OB1)直观地反映了椭圆的标准方程中a、b、c三者之间的关系．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业4.离心率

同样，可以得到椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴及离心率等基本性质．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业为什么油罐车的储油罐、洒水车的储水箱一般设计为椭圆的形状？

可以降低分散液体对罐壁的压力，在装载相同体积下，同强度，椭圆型设计上可以缩小壁厚，减少材料。同时，也提高行车平衡能力，而且也便于清洗。如果是方型，就没办法把低下的油放干净，而且行车时油对壁的冲击很大.情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业例1.求椭圆16x²+25y²=400的长轴长、短轴长、离心率焦点和顶点的坐标．

情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

解:（1）因为椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以，点M、N就是椭圆的顶点,并且长半轴长a=4,短半轴长b=3．由于椭圆的长轴在x轴上，故其焦点在x轴上．于是，所求椭圆的标准方程为

情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业温馨提示

求椭圆的标准方程时,如果椭圆的交点位置不明确,应分别就焦点在x轴和y轴上两种情形进行讨论．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业

分析

由于椭圆具有对称性，一般只需先画出椭圆在第一象限内的图形,然后利用对称性，画出全部图形．

以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点，得到椭圆在第一象限内的图形．然后利用椭圆的对称性，画出全部图形．

在[0,5]内，选取几个整数作为x的值，计算出对应的y值，列表．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业温馨提示（1）由a²=25，得a=5，则得到椭圆的两个顶点A1(-5,0)、A2(5,0)；

（2）由b²=9，得b=3，则得到椭圆的另外两个顶点B1(0,-3)、B2(0,3)；

（3）依据椭圆的图形特征，用光滑的曲线连接四个点，则椭圆的大致图像就画好了．我们可以利用椭圆的顶点和对称性画出大致图像．具体步骤如下：情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业1.求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业情境导入探索新知典例剖析巩固练习归纳总结布置作业情境导入探索