2025年中考数学专题复习：已知角度关系求动点坐标（含解析）

已知角度关系求动点坐标一阶方法突破练1.如图，抛物线y=x²−4x+3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC，已知点D是抛物线上对称轴右侧一动点，连接CD，若∠BCD=∠ABC,求点D的坐标.2.如图，已知抛物线y=−x²+5x−4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是x轴上方抛物线上一动点，连接BC，BP，当∠PBA=13.如图,在平面直角坐标系中,点A(-1,0),B(4,0),C(0,2),点P在直线l:x=32上，若二阶设问进阶练例如图，已知抛物线y=−3(1)已知点G是抛物线上一点，连接CG，若∠GCB=∠ABC,求点G的坐标；(2)已知R是y轴上一点，连接AR，若AR平分∠OAC,,求点R的坐标；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得∠AQC+∠CAB=90°?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.综合强化练1.如图，抛物线y=ax²+bx+2a≠0与x轴交于点.A(1)求抛物线的解析式及tan∠CBO的值；(2)当点F到直线BC的距离为22(3)(角度和为定值)过点F作FE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，若∠FCD+∠ACO=45°,求点F的坐标.作图区答题区2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=17x(1)求抛物线的解析式；(2)连接OA，点C为线段OA上任意一点(与点O，A不重合)，过点C作.MN‖x轴，与y轴交于点M，与抛物线的交点靠近y轴的记为点N，若MC=MN,，求点C的横坐标；(3)(角度倍数关系)过点A作.AD‖x轴，与抛物线的另一个交点为点D，与y轴交于点E，取OA中点P，点Q为直线AD上一动点，且点Q与点A不重合，当∠OPQ=3∠AQP时，请直接写出线段AQ的长.作图区答题区3.在平面直角坐标系中，抛物线y=12x(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点M为线段BC上的一点，设点M的横坐标为t，过点M作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两条平行线相交于点N，将△MCN沿MC翻折得到△MCN(3)(同一三角形中角度倍数关系)如图②，点D是直线BC下方的抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E,当△CDE中的某个角恰好为2∠ABC时，请求出点D的横坐标.作图区答题区考向2已知角度关系求动点坐标一阶方法突破练1.解：∵抛物线与y轴交于点C，∴当x=0时,y=3,∴C点坐标为(0,3),∵y=x²−4x+3,∴抛物线的对称轴为直线x=2,如解图,∵∠BCD=∠ABC,∴CD∥AB,∴点D与点C关于抛物线的对称轴直线x=2对称，∵C(0,3),∴D(4,3).2.解:如解图,过点P作PH⊥x轴于点H,令x=0,得y=-4,令y=0,解得x=1或x=4,∴B(4,0),C(0,-4),∴OB=OC,∴∠ABC=45°(根据已知条件找特殊角).∵点P位于x轴上方，且∠PBA=∴∠PBA=∠ABC=45°(由角度倍数关系计算角的度数求解)，又∵∠PHB=90°,∴PH=BH,设PH=BH=t,则(OH=4-t,∴P(4-t,t),把P(4-t,t)代入y=−x²+5x−4,得t=−解得t=0(此时与点B重合,舍去)或t=2,∴P(2,2).∵B(4,0),∴BP所在直线的解析式为y=-x+4.3.解:∵A(-1,0),B(4,0),C(0,2),∴AC=∵AC²+BC²=AB²,∴∠ACB=90°∵直线l:x=32∴线段AB的中点坐标为((32∴l与x轴的交点即为AB的中点，如解图，以AB为直径画圆，l与AB交点即为圆心，记为点D(构造辅助圆);∵∠ACB=90°,∴点C在⊙D上,∴∠CAB+∠CBA=90°,∵∠APC+∠OAC=90°,∴∠CBA=∠CPA,∴点P是直线l与⊙D的交点.∴DP=AD=∴点P的坐标为3252二阶设问进阶练例解：(1)∵抛物线的解析式为y=−39x2∴抛物线的对称轴为直线x=3,C(0,33),①当点G在线段BC上方时，如解图①，∵∠GCB=∠ABC,∴CG∥AB,∴点G与点C关于抛物线的对称轴直线x=3对称.∴G(6,33);②当点G在直线BC的下方时，如解图②，设CG交x轴于点T,令y=0,即−解得x₁=−3,x₂=9,∴A(-3,0),B(9,0).∵在Rt△BOC中,tan∴∠CBA=30°.∵∠GCB=∠ABC,∴∠TCB=∠CBA=30°.∵∠OCB=60°,∴∠OCT=30°,在Rt△COT中,(OT=CO⋅∴点T的坐标为(3,0),即点T与点E重合,设直线CT的解析式为y=k₁x+t₁将点C(0,33),T(3,0)代入,得t1=33∴直线CT的解析式为y=−联立y=−解得x1=0y此时点G的坐标为(15,-123),综上所述，点G的坐标为(6，33)或(15,-123);(2)如解图③,过点R作RD⊥AC于点D,设点R的坐标为(0,r),∵AR平分∠OAC,RO⊥AO,RD⊥AC,∴DR=RO,∠CDR=∠AOC=90°.∵∠RCD=∠ACO,∴△CDR∽△COA,∴又∵点A(-3,0),C(0,33),∴OA=3,OC=33,在Rt△AOC中,由勾股定理得AC=OA∴33−r∴点R的坐标为(0,3);(3)存在.∵OC=33,OA=3,∴∠ACO=30°,由(1)得∠BCO=60°,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°.要使得∠AQC+∠CAB=90°,只需∠AQC=∠ABC,∴如解图④,点Q为以AB为直径的圆与抛物线对称轴的交点，∵AB=12,∴EQ=∴点Q的坐标为(3,6)或(3,-6).三阶综合强化练1.解:(1)∵抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于点A(-1,0),B(2,0),∴将A，B两点坐标代入，得a−b+2=0解得a=−1∴抛物线的解析式为y=−x²+x+2,∴C(0,2),∴OB=2,OC=2,∴在Rt△COB中,tan(2)【思路点拨】看到2，可想到等腰直角三角形，恰巧图中△OBC是等腰直角三角形，且.BC=22,可作OD⊥BC于点D,得到(如解图①,当点F在直线BC下方时,过点O作OD⊥BC于点D.∵OB=2,OC=2,∴△OBC是等腰直角三角形，∴OD=取OD的中点G，过点G作BC的平行线l₁，交y轴于点H，与抛物线的交点即为点F，∵B(2,0),C(0,2),∴直线BC的解析式为y=-x+2,∵直线l则直线l₁的解析式为y=-x+1,联立y=−解得x∴点F的坐标为(1+2,−2)或联立y=−解得x=1∴点F的坐标为(1,2),综上所述，点F的坐标为1+2−2或(1−(3)【思路点拨】分点F在x轴上方和下方两种情况，可通过构造相似三角形得到线段的比例关系，得到直线CF与x轴交点的坐标，进而得到CF的解析式，与抛物线联立求得点F的坐标.当点F在x轴的上方时，如解图②，延长CF交x轴于点N,∵OB=OC=2,∴∠BCO=∠OBC=45°,∵∠FCD+∠ACO=45°,∠OBC=∠BCF+∠CNO=45°,∴∠ACO=∠CNB,又∵∠AOC=∠CON=90°,∴△AOC∽△CON,∴∴ON=4,∴点N的坐标为(4,0),∵C(0,2),∴直线CN的解析式为y=−12x+2,令−∴点F的坐标为(3当点F在x轴下方时，如解图③，设CF与x轴交于点H,∵∠FCD+∠ACO=45°,∠OCB=45°,∴∠ACO=∠FCO,又∵CO⊥AH,∴△AHC是等腰三角形,∴OH=OA=1,∴H(1,0),∴直线CH的解析式为y=-2x+2,令−2x+2=−x²+x+2,解得x=0(舍去)或x=3,∴点F的坐标为(3,-4),综上所述，点F的坐标为322.解:(1)将点A(-7,24),点B(0,10)代入抛物线y=1得17×−7∴抛物线解析式为y=(2)【思路点拨】设出C点坐标,由MC=MN,则C、N两点关于y轴对称，表示出点N的坐标，代入抛物线解析式，即可求得点N的横坐标.如解图①，设线段OA所在直线的解析式为y=kx(k≠0),将点A(-7,24)代入,得-7k=24,解得k=−∴线段OA所在直线的解析式为y=−∵点C在线段OA上，且与点O，A不重合，∴设C∵MC=MN且MN∥x轴,∴N−m∵点N在抛物线y=1∴解得m=−31±∵点C在线段OA上,∴-7<m<0,∴m=∴点C的横坐标为−31+(3)【思路点拨】利用勾股定理求出OA长，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到等腰△APE，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而得到角度之间的3倍关系.AQ的长为392或11【解法提示】在Rt△AEO中,OA=AE2+EO2=25,∴AP=PE=OP=252,如解图②，构造等腰△EPQ，使EQ=EP,设∠EPQ=∠EQP=x,则∠EAP=∠AEP=2∠PQA=2x,又∵∠OPQ是△APQ的外角,∴∠OPQ=∠QAP+∠AQP=2x+x=3x,即∠OPQ=3∠AQP,此时AQ=AE+EQ=7+3.解:(1)∵直线BC的解析式为y=1又∵B，C两点在抛物线上，∴将B，C两点坐标代入y=得12×16+4b+c=0c=−2∴抛物线的解析式为y=(2)【思路点拨】点N'落在AB上,根据∠CN'M=90°，可构造“一线三垂直”模型，由折叠的性质可以得出ON'的长，再根据等角代换得到角相等，得到△ON'C∽△QMN',由线段比例关系求得t的值.当点N'落在AB上时,如解图①,设直线NM与x轴交于点Q，∵点M在线段BC上,且点M的横坐标为t，∴点M的纵坐标为12t−2,∵C(0,-2),∴OC=2,∴由折叠的性质得CN'∴O∵∠CN'M=∠CNM=90°,∴∠CN'O+∠MN'Q=90°,∵∠CN'O+∠N'CO=90°,∴∠MN'Q=∠N'CO,又∵∠CON'=∠N'QM,∴O解得t=52(3)【思路点拨】已知∠DEC=90°,故分∠ECD=2∠ABC和∠CDE=2∠ABC两种情况讨论,利用三角函数表示三角形三边的比例关系，通过设点坐标，表示出线段长，列方程求解点D的横坐标.如解图,过点C作x轴的平行线,过点D作DR⊥y轴，垂足为R，DR的延长线交直线BC于点G，设点Dx12分两种情况讨论：如解图②,当∠ECD=2∠ABC时,∵AB∥DG,∴∠ABC=∠BGD,则∠ECD=2∠BGD,∵∠ECD是△DCG的外角,∴∠ECD=∠CDR+∠G.∴∠CDR=∠G=∠ABC,∴tan∠CDR=tan∴点D的横坐标为2；如解图③,当∠CDE=2∠A