2025年中考数学专题复习：利用“将军饮马”解决线段最值问题（含解析）

利用“将军饮马”解决线段最值问题方法突破练1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，B−32,在x轴上找一点P，使.2.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),B(2,4),在直线x=3上找一点P，使得|PA−PB|的值最大，求|PA−PB|的最大值.3.如图，在平面直角坐标系中，A−20,B13,4.如图，已知直线y=−x+4与y轴、x轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).点D,E分别是线段OB,AB上的动点,求△CDE周长的最小值.5.如图，在平面直角坐标系中，A−3设问进阶练例如图，抛物线y=−x²+4x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，顶点为点D，点C关于直线l的对称点为点E.(1)如图①，若点P是y轴上一动点，当.BP+PE取得最小值时，求点P的坐标；(2)如图②,连接CD,点Q是x轴上一动点,连接CQ,DQ,求△CDQ周长的最小值；(3)如图③，若点M为y轴上一动点，点N为x轴上一动点，求四边形DENM周长的最小值.综合强化练1.如图，抛物线y=ax²+bx+3a≠0与x轴交于A,B(3,0)两点(点A在点B的左侧),且.AB=4,(1)求抛物线的解析式；(2)求证:BC⊥CD;(3)若点M为OB上一动点，点N为DB上一动点，是否存在点M，N使得△CMN的周长最小?若存在，请求出点M，N的坐标及.△CMN周长的最小值；若不存在，请说明理由.作图区答题区

2.如图①,抛物线y=ax2+bx−(1)求抛物线的解析式；(2)如图②,连接AC,BC,点M为△ABC内一点，连接MA，MC，分别以AM，AC为边，在它们的上方作等边△AME,等边△ACF,连接EF,求证:EF=CM;(3)在直线BC上是否存在一点P，使得PA+PD的值最小?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.作图区答题区考向3利用“将军饮马”解决线段最值问题一阶方法突破练1.解：作图，确定线段和最小时动点的位置，如解图，作点A关于x轴的对称点A',连接BA'交x轴于点P,点P即为所求,连接AP.∵点A与点A'关于x轴对称,∴AP=A'P,∴PA+PB=P此时PA+PB的值最小.利用直线解析式求坐标.∵A(2,1),∴A'(2,-1).∵B(-3,2),∴直线BA'的解析式为y=−35x+15.∴当PA+PB取得最小值时，点P的坐标为((132.解：作图，确定线段差最大时动点的位置.如解图，连接AB并延长与直线x=3交于点P，点P即为所求，此时|PA-PB|的值最大,最大值为AB的长，利用勾股定理求线段的长.∵A(1,1),B(2,4),∴AB=∴|PA-PB|的最大值为103.解：如解图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B,交直线l于点C',连接A'C,则AC+BC=A'∵点A与点A'关于直线l:y=x对称,A(-2,0),∴A'(0,-2).∵B(1,3),∴直线A'B的解析式为y=5x-2.联立y=5x−2y=x,解得∴当AC+BC取得最小值时，点C的坐标为14.解:如解图,作点C关于AB,OB的对称点C',C",连接AC',C'E,C"D,C'C",C'C"分别交AB,OB于点E',D',则CE=C'E,CD=C"D,△CDE的周长为CE+CD+DE=∴当C',E,D,C''四点共线时,△CDE的周长取得最小值,此时点E与点E'重合,点D与点D'重合,∴△CDE周长的最小值即为C'C"的长.∵直线y=-x+4,点C(0,1),∴AO=4,OC=1,∠OAB=45°,∴AC=3,∵点C关于AB的对称点为点C',∴∠C'AB=45°,AC'=AC=3,∴∠CA∵点C关于OB的对称点为点C",∴CC"=2,∴AC"=5,∴在Rt△C'AC"中,C∴△CDE周长的最小值为345.解：如解图，分别作点A关于x轴的对称点E、点B关于y轴的对称点F，连接EF交x轴于点D'，交y轴于点C',连接AD',BC'.在x轴,y轴上分别任取一点D,C,连接AD,BC,CD,则AD'=D'E,BC'=C'F,∴AB+BC+CD+AD≥AB+BC'+C∵A(-3,-1),B(-1,-3),∴E(-3,1),F(1,-3),∴AB=2∴AB+EF=6∴四边形ABCD周长的最小值为62.二阶设问进阶练例解：(1)如解图①，作点E关于y轴的对称点E'，连接E'B与y轴交于点P,此时BP+PE取得最小值,为BE'的长,根据题意,令x=0,则y=2,∴C(0,2),令y=0,解得x=2+6或∴B∵抛物线的对称轴为直线x=−4∴E(4,2),∴E'(-4,2),∴直线BE'的解析式为y=−6+615∴当BP+PE取得最小值时,点P的坐标为(0,6+4【一题多解】如解图②，作点B关于y轴的对称点B',连接B'E与y轴交于点P,此时BP+PE取得最小值,为B'E的长,根据题意,令x=0,则y=2,∴C(0,2),令y=0,解得.x=2+6或x=2−6,∴B2+60,∵抛物线的对称轴为直线x=−42×−1=2,点C与点E关于抛物线对称轴对称,∴E(4,2),∵点B与点B'关于y轴对称,(2)∵CD长为定值,∴当CQ+DQ的值最小时,△CDQ的周长最小.如解图③，作点C关于x轴的对称点C'，连接C'D交x轴于点Q,连接CQ,此时CQ+DQ的值最小,为C'D的长,过点D作DF⊥y轴于点F.由抛物线解析式可知顶点D(2，6)，∴CF=4,DF=2,∴CD=C∵点C与点C'关于x轴对称,∴CQ=C'Q.∴CQ+DQ=∵C(0,2),∴C'(0,-2),∴C'F=8.∴∴△CDQ周长的最小值为2【一题多解】∵CD长为定值,∴当CQ+DQ的值最小时，△CDQ的周长最小.如解图④，作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点Q,连接DQ,此时,CQ+DQ的值最小,为CD'的长,过点C作CH⊥DD'于点H，由抛物线解析式可知顶点D(2,6),∴D'(2,-6),∴CH=2,HD'=8,∴CD'=CH2(3)由(1)(2)知,D(2,6),E(4,2),如解图⑤，作点E关于x轴的对称点E'，作点D关于y轴的对称点D',连接D'E'交y轴于点M',交x轴于N',连接DM',EN',则DM'=D'M',EN'=E'N',∴D'(-2,6),E'(4,-2),∵四边形DENM的周长=DM+MN+NE+DE≥D∴当点M在M',点N在N'时四边形DENM的周长取得最小值,最小值为D'∵D2−4∴四边形DENM周长的最小值为10+2三阶综合强化练1.(1)解:∵抛物线y=ax²+bx+3a≠0∴将A，B两点的坐标代入抛物线的解析式，得a−b+3=09a+3b+3=0,解得∴抛物线的解析式为y=−x²+2x+3;(2)证明：由(1)得抛物线的解析式为y=−x²+2x+3,∴抛物线的对称轴为直线x=−∴抛物线顶点D的坐标为(1,4),∴CD=BC=BD=∴CD²+BC²=BD²,△BCD为直角三角形，∴∠BCD=90°,∴BC⊥CD;(3)解:存在.如解图，作点C关于x轴的对称点C'，点C关于BD的对称点C",CC"交BD于点E,连接C'C",分别交OB,BD于点M,N,此时△CMN周长最小,最小值为CN+MN+MC=C由(2)得C(0,3),D(1,4),∵B(3,0),∴直线BD的解析式为y=-2x+6①,∴直线CC"的解析式为y=联立①②,得−2x+6=解得x=∴E∵点C与点C'关于x轴对称,∴C联立①③得,-2x+6=3x-3,解得x=95综上所述,当M(1,0),,N⁽9515,)时,此时△CMN的周长最小，最小值为2.(1)解:∵抛物线y=a∴令x=0,解得y=−∵OA=3OC,∴OA=3,∴A(-3,0),∵B(1,0),∴将A，B两点的坐标代入抛物线解析式，得9a−3b−3=0a+b−∴抛物线的解析式为y=(2)证明:∵△AME和△ACF为等边三角形,∴AE=AM,AF=AC,∠EAM=∠FAC=60°,∴∠EAM-∠FAM=∠FAC-∠FAM,∴∠EAF=∠MAC,∴△AEF≌△AMC,∴EF=CM;(3)解:存在.如解图，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'D，与直线BC交于点P,点P即为所求,连接PA,此时PA+