生活中的数学建模

第2讲生活中数学建模

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【本讲介绍】

数学建模无处不在。在我们生活中处处能够看到数学模型影子，本讲介绍发生在我们身边几个数学建模案例：人行走时步长多大最省力？雨中行走怎样使淋雨量最小？道路越多越通畅吗？有奖销售时抽奖策略问题，“非诚勿扰”女生最正确选择,网络文章流行度预测,招聘时稳定匹配等。

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行走步长问题

问题

人在匀速行走时步长多大最省劲？

设人体重为M

，腿重为m

，腿长为l

，速度为v

（固定），单位时间步数为n

，步长为x

（v

=n

x

）。第3页第4页

考虑人行走时所消耗能量两个部分：一部分抬高人体重心，转化为势能，另一部分转化为两腿转动动能（全身运动平动能是常数，与步长无关，故不考虑）。

下面分别计算之。

1.重心升高所需能量

记一步中重心升高为δ

，则第5页

第6页

于是，单位时间重心升高所需做功为

2.腿运动所需能量

将人行走时腿运动视为均匀直杆（腿）绕腰部转动，则在单位时间内所需动能为

第7页其中转动惯量

，角速度

,故所以人行走时单位时间所做功为第8页

令解得为检验此结果合理性，带入详细数值，假定

M/m=4，

l=1

米,

g=9.8米/秒2

,v=1.5米/秒计算得到

n=5.4步/秒

x

=0.28米结果与实际情形差异太大!

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有些人将腿转动改为脚直线运动，且将腿质量全部算在脚上，这么得到结果大约是每秒３步，是否合理？

建模小结：本问题关键点在于腿部运动合理描述，模型改进方向来自于对结果细致分析。第10页雨中行走问题

问题

考虑人在雨中沿一直线行走，雨速已知，问人行走速度多大才能使淋雨量最小？单位时间淋雨量最小：雨从头顶上落下。

但这么做要付出时间代价，值不值就要看详细降雨量情况与风情况而定了。

淋雨量＝单位时间淋雨量×淋雨时间

跑得越快淋雨量越小？第11页

设人行走速度(U,0,0)(U>0)，雨速(Vx,Vy,Vz)，行走距离为S，将人视为长方体，前、侧、顶面积之比为1:L:T。第12页单位时间淋雨量为

C·{|U-Vx|,|0-Vy|,|0-Vz|}·{1,L,T}＝C（|U-Vx|+|Vy|·L+|Vz|·T）＝C（|U-Vx|+A）(其中A=|Vy|·L+|Vz|·T)总淋雨量为

R(U)=S/U·C·(|U-Vx|+A)为简便计，考虑R(U)=S/U·(|U-Vx|+A)

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所以，雨中行走问题抽象成数学问题：

已知S,Vx,A,求U为何值时R(U)达最小值？

下面分几个情况讨论。

（1）Vx<0时（即风从迎面吹来）

R(U)=S/U·(U+|Vx|+A)=S+S·(|Vx|+A)/U此时R(U)关于U递减，走得越快越好。

第14页（2）Vx>0时（即风从后面吹来）第15页

结论当

A<Vx

时，取U=Vx

，其它情况下，U

应尽可能大。

建模小结：决定淋雨量大小有两个原因：淋雨时间及单位时间淋雨量,忽略后者将造成错误结论。第16页道路越多越通畅吗？第17页布雷斯悖论(Braess'sparadox)第18页

数学家研究结论：假如一个交通网络上每一条路通行时间都与这条路上车子数量成线性关系，这个交通网络就一定存在一个纳什均衡点。它可能造成全体不利情况发生，即出现布雷斯悖论现象。

真实案例1：德国,斯图加特市,1969年。

真实案例2：美国，纽约，1990年世界地球日。

真实案例3：韩国，清溪川。第19页

某人可取得一笔奖金x

,x由他在区间[0,1]

中任意地抽取。假如他满意，能够领取x

奖金而不再抽取；假如他不满意，能够放弃这个x

而重新抽取。这个抽取过程可重复

3次,第三次抽取后不得放弃。问他应该采取何种策略以期取得最多奖金？有奖销售抽奖策略第20页

设该抽奖人采取策略为：其中X1

,X2,X3

均为在[0,1]上均匀分布随机变量。该人目标为取得奖金H期望达最大值。

第21页计算期望：令则H=g(X1,X2,X3),依据期望计算公式有第22页

以下我们换一个方法计算赢利期望。★条件期望方法第一次抽奖获奖期望为第二次抽奖获奖期望为

第23页

第三次抽奖获奖期望为

所以第24页

令

解得：

a=5/8,b=1/2

最大期望奖金为：

最优停顿问题，比如“不可召回秘书招聘问题”。第25页《非诚勿扰》女生”最优选择”总共面试n人，不选择前k人，从第k+1人起，一旦有比前面更优异男生，则选择。策略

怎样确定K，使选到最中意男生概率最大？

对于某个固定k，能选到最正确男生总概率为：第26页

1/e

大约等于37%，即k/n＝37%——37%法则！

按此策略，找到最中意男生概率也是37%！用x

来表示k/n

值，而且假设n

充分大，则上述公式能够近似表示为积分形式：

建模小结：生活中处处有数学建模身影。第27页【问题】“怎样在一篇文章被发出前就判断它会否流行”ThePulseofNewsinSocialMedia:ForecastingPopularity【基本思绪】确定文章内容关键原因。统计这些关键原因取不一样值时对文章流行度影响，并将各取值赋以不一样分值。利用统计方法建立并优化“内容关键原因”对“流行度”影响程度数值模型。利用模型预测某篇文章在推特上流行度。网络文章流行度预测第28页4个判断关键要素：1、信息类别第29页2、客观程度用软件判断样本标题及摘要客观程度，并为其设定分值0或者1。3、提及人物和地名4、新闻起源第30页预测模型：其中：T—流行度（t-density）S—信息起源t-density

分值C—信息类别t-density

分值Ent

max—文中提及人名或地名中最大t-density值结论：来自可靠信息源、提及名人而且谈论流行话题建模启示：对建立评价类模型含有经典意义。第31页假设在一个n男n女联谊会上配对跳舞，每个人都按自己喜好程度对全部异性排一个次序，没有并列，比如：【问题】是否存在一个稳定配对？

假如存在，是否唯一？怎样求？稳定匹配问题及算法ABCDwxxyxzwxywyzzyzwwxyzDBDCCACBADBABCAD第32页

稳定匹配（Stablematching）：每个人当前配对对象恰好是他（她）在当前现实中最优选择。

不稳定匹配：存在这么一个男生和一个女生，他们都认为对方比自己当前配对对象更优。ABCDwxxyxzwxywyzzyzwwxyzDBDCCACBADBABCAD{(A,w),(B,x),(C,y),(D,z)}×

{(A,z),(B,x),(C,w),(D,y)}√第33页罗伊德·沙普利(LloydShapley)美国著名数学家和经济学家年因在稳定配对和市场设计方面贡献获诺贝尔经济学奖1923年6月2日~第34页

Gale-Shapley算法：

第一轮：每位男生向各自最中意女生发出邀请，然后每个女生在向其发出邀请男生中选择自己最中意；

第二轮，还未配正确男生向其第二喜欢女生（不论该女生是否已配对）发出邀请，然后每个女生在向其发出邀请男生以及上一轮已选择男生中选择一个最中意；

第三轮，……

第35页第一轮：(A,w)(B,x)(C,x)(D,y),x拒绝C第二轮：(A,w)(B,x)(C,w)(D,y),w拒绝A第三轮：(A,x)(B,x)(C,w)(D,y),x拒绝A第四轮：(A,y)(B,x)(C,w)(D,y),y拒绝A第五轮：(A,z)(B,x)(C,w)(D,y)

ABCDwxxyxzwxywyzzyzwwxyzDBDCCACBADBABCAD第36页几个问题：1、算法是否能在有限步结束？

是。因为每一个男生最多发出n次邀请，必定能够邀请到女生，所以算法在有限轮后会结束。2、选择先后对双方是否有区分？

是。对先选一方有利。3、稳定配对是否唯一？

未必。见上面例子。4、算法得到配对是否稳定？

是。ABCDwxwyxyyxyzzwzwxzwxyzAABDBCA