《分层随机抽样》教案、导学案、课后作业

《9.L2分层随机抽样》教案

【教材分析】

本节是在学习了简单随机抽样的基础上，结合随机抽样特点和适用范围，针

对总体的复杂性，为提高样本的代表性，有学习掌握分层抽样这种随机抽样的必

要性；为下节“用样本估计总体”的学习打下了基础.因此本节内容具有承前启

后的作用，地位重要.

【教学目标与核心素养】

课程目标

1.理解分层抽样的基本思想和适用情形.

2.掌握分层抽样的实施步骤.

3.了解两种抽样方法的区别和联系.

数学学科素养

1.数学抽象：分层抽样的相关概念；

2.数据分析：分层抽样的应用；

3.数学运算：分层抽样中各层样本容量的计算.

【教学重点和难点】

重点；正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本.

难点：选择合适的抽样方法解决现实生活中的抽样问题.

【教学过程】

一、情景导入

由上一节知道，简单随机抽样抽取样本会出现极端现象，那么有没有一种抽

取方式可以规避这种情况？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本181T84页，思考并完成以下问题

1、什么情况下适用分层抽样？分层抽样的步骤是？

2、简单随机抽样和分层抽样有什么区别与联系？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.定义

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各

层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样

方法叫分层抽样.

2.适用范围

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层抽样.

3.分层抽样的步骤

（1）根据已掌握的信息，将总体分成若干部分.

（2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算出抽样比k=£.

（3）根据抽样比k计算出各层中应抽取的个体数：£・M（其中N为第i层

Ni

所包含的个体总数）.

（4）按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为

n的样本.

探究：计算各层所抽取个体的个数时，若川・彳的值不是整数怎么办，分层

抽样公平吗？

答案为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比?若A；•/I勺值不是

整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余的个体.分层抽样中，

每个个体被抽到的可能性是相等的，与层数、分层无关.

4.两种抽样方法的区别和联系

类别共同点各自特点相互联系适用范围

简单抽样过程中各个个体被

从总体中逐个最基本的抽总体容量较

随机抽到的机会相等，且都

抽取样方法少

抽样是不放回抽取

抽样过程中各个个体被将总体分成儿每层抽样时总体由差异

分层

抽到的机会相等，且都部分，每一部采用简单随明显的若干

抽样

是不放回抽取分按比例抽取机抽样部分组成

四、典例分析、举一反三

题型一分层抽样的概念

例1为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部

分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情

况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽

样方法是()

A.简单随机抽样B.按性别分层抽样

C.按学段分层抽样D.无法确定

【答案】C

【解析】由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，所以

排除A项；由于该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,

可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异不大，不能按照性别进行

分层抽样，所以排除B,D项.

解题技巧(分层抽样的依据)

(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况.

(2)样本能更充分地反映总体的情况.

(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等.

跟踪训练一

1.下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()

A.从10名同学中抽取3人参加座谈会

B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280

户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容

量为100户的样本

C.从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间

D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

1.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用

分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取

70人，则口为()

A.100B.150

C.200D.250

【答案】A.

【解析】n=(3500+1500)X703500=：00.故选A项.

题型三分层抽样的应用

例3一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的

有280人，50岁以上的有95人，为了了解与身体状况有关的某项指标，要从所

有职工中抽取100名职工作为样本，若职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽

取？

【答案】见解析

【解析】用分层抽样来抽取样本，步骤是：

(1)分层.按年龄洛500名职工分成三层：不到35岁的职工，35岁至49岁

的职工，50岁以上的职工.

(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为探=?，则在不到35岁的职工中抽

□UUD

125x4=25(70；在35岁至49岁的职工中抽280X：=56(人)；在50岁以上的

职工中抽95X2=19(人).

0

(3)在各层分别按种签法或随机数法抽取样本.

(4)综合每层抽样，组成样本.

解题技巧(分层抽样注意事项)

(1)分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似.在实际

操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用.

(2)在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这

就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容

量之比.

跟踪训练三

1.在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现要抽

取一个容量为30的样本，请说明抽样过程.

【答案】见解析.

【解析】先将产品按等级分成三层；第一层，一等品20个；第二层，二等

品30个；第三层，三等品50个.然后确定每一层抽取的个体数，因为抽样比为

丽=汴，所以应在第一层中抽取产品20Xm=6（个），在第二层中抽取产品

33

30X行=9（个），在第三层中抽取产品50X击=15（个）.分别给这些产品编号并

贴上标签，用抽签法或随机数表法在各层中抽取，得到一等品6个，一等品9

个，三等品15个，这样就通过分层抽样得到了一个容量为30的样本.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

9.1.2分层随机抽样

1.定义例1例2例3

2.适用范围

3.步骤

4.两种抽样的区别与联系

七、作业

课本184页练习，188页习题9.1的5、7题.

【教学反思】

本班学生对本章节的基本知识、基本技能掌握情况良好，具体表现在：概念

比较清晰，基础扎实，掌握情况总体不错。大部分学生掌握了一定的解题技巧,

具有一定的分析问题、解决问题的能力。但也存在着以下缺失：书写不认真，数

字抄错，提取有效信息的能力有待加强。

《9.L2分层随机抽样》导学案

【学习目标】

知识目标

1.理解分层抽样的基本思想和适用情形.

2.掌握分层抽样的实施步骤.

3.了解两种抽样方法的区别和联系.

核心素养

1.数学抽象：分层抽样的相关概念；

2.数据分析：分层抽样的应用；

工数学运算：分层抽样中各层样本容量的计算.

【学习重点】：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本.

【学习难点】：选择合适的抽样方法解决现实生活中的抽样问题.

【学习过程】

一、预习导入

阅读课本181T84页，填写。

1.定义

一般地,在抽样时，将总体分成的层，然后按照,

从各层抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本,

这种抽样方法叫分层抽样.

2.适用范围

当总体是由的几个部分组成时，往往采用分层抽样.

3.分层抽样的步骤

（1）根据已掌握的信息，将总体分成若干部分.

（2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算出抽样比

（3）根据抽样比k计算出各层中应抽取的个体数：（其中N

为第i层所包含的个体总数）.

（4）按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为

n的样本.

探究：计算各层所抽取个体的个数时，若此・彳的值不是整数怎么办，分层

抽样公平吗？

4.两种抽样方法的区别和联

类别共同点各自特点相互联系适用范围

简单

从总体中逐个最基本的抽

随机

抽取样方法

抽样

将总体分成几每层抽样时

分层

部分,每一部采用

抽样

分按比例抽取

小试牛刀

1.判断下列命题是否正确.（正确的打“J”，错误的打“义”）

（1）在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的人小.（）

（2）分层抽样有时也需要剔除若干个个体，对这些个体来说是不公平

的.（）

（3）从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层抽样.（）

2.某政府机关在编人员共100人,其中副处级以上干部10人,一般干部

70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽

取20人，用下列哪种方法最合适（）

A.抽签法B.简单随机抽样法

C.分层抽样法D.随机数法

3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，

用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为〃的样本，已知从高中生中抽取

70人，则〃为（）

A.100B.150

C.200D.250

4.一个班共有54人，其中男同学、女同学比为5：4,若抽取9人参加教

改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为,每个女同学被抽取的可能

性为________.

【自主探究】

题型一分层抽样的概念

例1为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部

分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情

况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽

样方法是（）

A.简单随机抽样B.按性别分层抽样

C.按学段分层抽样D.无法确定

跟踪训练一

1.下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（）

A.从10名同学中抽取3人参加座谈会

B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280

户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容

量为100户的样本

C.从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间

D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

题型二分层抽样中各层样本容量的计算

例2某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3000件，根据分层抽样的

结果，该企业统计员制作了如下的统订表.

产品类别ABC

产品数量/件X1300y

样本容量m130n

由于不小心，表格中A,C产品的有关数据丢失，统计员记得A产品的样本

容量比C产品的样本容量多10.根据以上信息、，可得C产品的数量是件.

跟踪训练二

L某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用

分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取

70人，则口为（）

A.100B.150

C.200D.250

题型三分层抽样的应用

例3一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的

有280人，50岁以上的有95人，为了了解与身体状况有关的某项指标，要从所

有职工中抽取100名职工作为样本，若职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽

取？

跟踪训练三

1.在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现要抽

取一个容量为30的样本，请说明抽样过程.

【达标检测】

1.某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，

低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100

户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女运动员，要从中选出3人调查学

习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）

A.①用简单随机抽样法，②用分层随机抽样法

B.①用简单随机抽样法，②用简单随机抽样法

C.①用分层随机油样法，②用简单随机抽样法

D.①用分层随机抽样法，②用分层随机抽样法

2.某校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）：

篮球组美术组象棋组

高二9060X

高三302040

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参

加这三个兴趣小组的学生中抽取60人，结果篮球组被抽出24人，则I的值为

（）

A.30B.60C.80D.100

3.某中学初中部共有120名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如

图所示，则该校女教师的人数为（）

A.128B.144C.174D.167

4.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3,现按年级月分

层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15,则抽取的样不容

量为.

5.下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？

（1）从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；

（2）某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员

24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的

样本.

答案

小试牛刀

1.⑴X(2)X(3)X

2.C.

3.A.

4.

66

自主探究

例1【答案】C

【解析】由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，所以

排除A项；由于该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，

可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异不大，不能按照性别进行

分层抽样，所以排除B,D项.

跟踪训练一

1.【答案】B.

【解析】A项中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C

项和D项中总体所含个体无差异，不适合用分层抽样；B项中总体所含个体差异

明显，适合用分层抽样.

例2【答案】800.

【解析】因为夕产品的数量为八则力产品的数量为y=3000-1300-y

=1700-y,又。产品的样本容量为刀，则/产品的样本容量为加=10+〃，由分

层抽样的定义可知:：釐1『=齐解得y=80°・

跟踪训练二

1.【答案】A.

【解析】n=(3500+1500)X703500=100.故选A项.

例3【答案】见解析

【解析】用分层抽样来抽取样本，步骤是：

(1)分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工，35岁至49岁

的职工，50岁以上的职工.

(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为燃则在不到35岁的职工中抽

5005

125x1=25(人)；在35岁至49岁的职工中抽280X：=56(人)；在50岁以上的

55

职工中抽95X1=19(A).

(3)在各层分别按油签法或随机数法抽取样本.

（4）综合每层抽样，组成样本.

跟踪训练三

1.【答案】见解析.

【解析】先将产品按等级分成三层；第一层，一等品20个；第二层，二等

品30个；第三层，三等品50个.然后确定每一层抽取的个体数，因为抽样比为

3033

而=75,所以应在第一层中抽取产品20义m=6（个），在第二层中抽取产品

30义m=9（个），在第三层中抽取产品50X历=15（个）.分别给这些产品编号并

贴上标签，用抽签法或随机数表法在各层中抽取，得到一等品6个，二等品9

个，三等品15个，这样就通过分层抽样得到了一个容量为30的样本.

当堂检测

1-3.CBB

4.55

5.【答案】（1）油签法（2）分层随机抽样

【解析】

题号判断原因分析

(1)抽签法总体容量较小，宜用抽签法

由于学校各类人员对这一问题的看法可能

(2)分层随机抽样

差异较大，用分层随机抽样

《9.1.2分层随机抽样》课后作业

基础巩固

1.从某地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，该地区小

学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量

差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A.抽签法B.按性别分层随机抽样C.按学段

分层随机抽样D.随机数法

2.某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职

工45人，一般职员90人,现采用分层抽样抽取容量为30的样本,则抽取的高

级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）

A.5、10、15B.3、9、18C.3、10、17D.5、9、16

3.某学院4B、C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学

的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专

业有380名学生，8专业有420名学生，则在该学院的。专业应抽取的学生人数

为（）

A.30B.40C.50D.60

4.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作

样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取（）

5.某房地产公司为了解小区业主对户型结构一一平层与复式结构的满意度,

采取分层随机抽样方式对华润中央公园小区的业主进行问卷调查.20位已购买

平层户型的业主满意度平均分为8,30位已购买复式户型的业主满意度平均分为

9,用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为（）

A.8.4B.8.5C.8.6D.8.7

6.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150

个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量

为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有10个特大型销售点，要从中抽取

7个销售点调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①②这

两项调查宜采用的抽样方法分别为.

7.甲、乙两套设各生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽

取一个容量为80的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设

备生产的产品总数为件.

8.选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.

（1）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个；

（2）有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10

个.

能力提升

9.某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6:5,为了解学生的视

力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为巳的样本，若样本中男生

比女生多12人，则九=（）

A.990B.1320C.1430D.1560

10.我国占代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题.“今

有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，

发役四百八十七人.则西乡遣人”.

11.某公司总体由1000人组成，按收入情况分成两层，第一层（高收入层）

20人，第二层（低收入层）980人.从第一层随机抽取2人，调查上月收入得12000

元和16000元；从第二层随机抽取8人，上月收入分别为2200元、2300元、1800

元、3200元、4000元、3400元、2800元及3600元.如何来估计这月1000人的

月收入？

素养达成

12.某单位2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、

生产各部门中，如下表所示：

人数管理技术开发营销生产共计

老年40404080200

中年80120160240600

青年401602807201200

小计16032048010402000

（1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？

（2）若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样

抽选出席人？

（3）若要抽20人调查对北京9月3日阅兵情况的了解，则应怎样抽样？

《9.1.2分层随机抽样》课后作业答案解析

基础巩固

1.从某地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，该地区小

学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量

差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A.抽签法B.按性别分层随机抽样C.按学段

分层随机抽样D.随机数法

【答案】C

【解析】•.・小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异学段

对统计结果影响较大

••・同一学段男女生肺活量差异不大性别对统计结果无明显影响

最合理的抽样方法是按学段分层随机抽样

故选：C

2.某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职

工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高

级职称、中级职称、一般职员的人数分别为

A.5、10、15B.3、9、18C.3、10、17D.5、9、16

【答案】B

【解析】高级职称应抽取15x岩30二3；中级职称应抽取45x高30二9；一股职

员应抽取90x志30=18.

3.某学院4、B、C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学

的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专

业有380名学生，8专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生人数

为（）

A.30B.40C.50D.60

【答案】B

【解析】C专业的学生有1200-380-420=400

由分层抽样原理，应抽取120x费=40名

故选8

4.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作

样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取（）

50岁以上

40岁以下

40-50岁

A.10人B.15人C.20人D.25人

【答案】C

【解析】由年龄分布情况图可得40岁以下年龄段应抽取40X50%=20人.

故选：C.

5.某房地产公司为了解小区业主对户型结构一一平层与复式结构的满意度,

采取分层随机抽样方式对华润中央公园小区的业主进行问卷调查.20位已购买

平层户型的业主满意度平均分为8,30位已购买复式户型的业主满意度平均分为

9,用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为（）

A.8.4B.8.5C.8.6D.8.7

【答案】C

【解析】估计小区业主对户型结构满意度的平均分为

W=------

故选：C.

6.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150

个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量

为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有10个特大型销售点，要从中抽取

7个销售点调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①②这

两项调查宜采用的抽样方法分别为.

【答案】分层随机抽样、简单随机抽样

【解析】由调查①可知个体差异明显，故宜月分层随机抽样；调查②中个体

较少，且个体没有明显差异，故宜用简单随机抽样.

故答案为：分层随机抽样、简单随机抽样

7.甲、乙两套设各生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽

取一个容量为80的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设

备生产的产品总数为件.

【答案】1800

【解析】由题共有产品4800名，抽取样本为80,则抽取的概率为；

on1

再由50件产品由甲设备生产，则乙设备生产有30件，则乙设

480060

备在总体中有；30x60=1800.

8.选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.

（1）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个；

（2）有30个篮球，具中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10

个.

【答案】（1）抽签法.见解析（2）分层随机油样.见解析

【解析】（1）总体容量较小，用抽签法.

①将30个篮球编号，编号为00,01,…，29；

②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签；

③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；

④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；

⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本.

（2）总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层随机抽样.

3021

①确定抽取个数.因为记=3,所以甲厂生产的篮球应抽取了=7（个），乙

9

厂生产的篮球应抽取：=3（个）：

②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球

便组成了我们要抽取的样本.

能力提升

9.某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6:5,为了解学生的视

力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为卷的样本，若样本中男生

比女生多12人，贝必=()

A.990B.1320C.1430D.1560

【答案】B

【解析】依题意可得信-4x^=12,解得n=132。，故选：Bo

10.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题.