2025年中考数学总复习《二次函数中菱形的存在性问题》专项检测卷附答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《二次函数中菱形的存在性问题》专项检测卷附答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C，(1)求此抛物线的解析式；(2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段的长．②连接、，求的面积最大时点P的坐标；(3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．2．如图，抛物线交直线于坐标轴上两点，交轴于另一点，连接．

(1)求抛物线的解析式；(2)点为线段上一点，过点作直线，交轴于点．连接，求面积的最大值；(3)若在直线上存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，求点的坐标．3．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，二次函数的图象经过，两点，并与轴交于点点是线段上一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点和点，连接．(1)求这个二次函数的解析式．(2)①求、的值（用含的代数式表示）．②当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值．(3)点是平面内一点，是否存在以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．5．如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点C到的距离米，，点D，E在抛物线一部分上，以所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米．

(1)求此抛物线对应的函数表达式．(2)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，设边长度为m米，试求内接矩形的面积S．（用含m的式子表示）；(3)若已知矩形广告牌的价格为80元/米2，广告牌其余部分的价格为160元/米2，试求完成菱形广告牌所需的最低费用．6．如图，直线．与抛物线交于，两点．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标；(3)若点在抛物线上，交直线于点，点在坐标平面内，当以为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．7．如图，经过，两点的抛物线与y轴交于点C．

(1)求抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；(2)若线段上有一动点M（不与B，C重合），过点M作轴交抛物线于点N．①当线段的长度最大时，求此时点M的坐标；②是否存在一点M，使得四边形为菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知如图：抛物线交轴于点、点，交轴于点，点、点关于轴对称．

(1)求抛物线解析式．(2)点是抛物线上对称轴右侧一点，连接，面积最大时，求出最大面积和此时点的坐标．(3)点在对称轴上，点是第一象限内一点，以点、、、为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标．9．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线过点．

(1)求抛物线的解析式；(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，直线的解析式为．(1)求抛物线的解析式；(2)已知k为正数，当时，y的最大值和最小值分别为m，n，且，求k的值；(3)点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，，，．(1)点C的坐标为______；抛物线的函数表达式为______；(2)点D是上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标；(3)设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线与轴交于A、两点（点A在点左边），与轴交于点．直线经过、两点，点是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当抛物线上的点的在下方运动时，求面积的最大值．(3)连接，把沿着轴翻折，使点落在的位置，四边形能否构成菱形，若能，求出点的坐标，如不能，请说明理由；14．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；(3)若点是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积；(3)在平面内是否存在一点，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．(1)(2)①；②(3)存在，点M的坐标为或或．【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，菱形的性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．（1）利用待定系数法，将点和点代入抛物线解析式，求出、的值，即可求解；（2）①先确定直线解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线于点D，可用含m的式子表示出P和D的坐标，即可求解；②用含m的代数式表示出的面积，得到S关于m的二次函数，即可求解；（3）先求出抛物线的对称轴，进而得到点的坐标，过点作轴于点，得到，，根据菱形的性质，分两种情况讨论：①当为菱形的对角线时，；②当为菱形的边时，，即可得出点M的坐标．【详解】（1）解：抛物线经过点和点，，解得，抛物线解析式为；（2）解：如图：①在抛物线中，令，则，即，设直线的解析式为，将将点、代入得：，解得：，直线的解析式为：，设，则，故用含m的代数式表示线段的长为；②，点是直线下方的抛物线上一动点，，当时，S有最大值，此时，，故的面积最大时点P的坐标为；（3）解：存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下：，抛物线的对称轴为直线，当时，，，过点作轴于点，则，，，，以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，①当为菱形的对角线时，此时点与点重合，，；②当为菱形的边时，此时，，，故使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为或或．2．(1)(2)(3)或【分析】（1）根据直线，求出，，再代入二次函数解析式即可．（2）根据二次函数解析式，得到，从而得出，再根据直线，设，将代入得，得出，则，从而得出，得出面积最大值．（3）根据菱形的性质进行分类讨论，①，根据，得出，求出的值从而求解；②，，，得出，求出的值从而求解．【详解】（1）直线于坐标轴上两点，，，抛物线的图象过两点，代入得，，解得，抛物线的解析式为：；（2）如图，抛物线的解析式为：，当时，，解得：，，，，直线，设，点为线段上一点，设，代入得，，，，，，当时，有最大值．

（3）存在，理由如下：，，，以点为顶点的四边形为菱形，①，，，，，点为线段上一点，，直线，以点为顶点的四边形为菱形，，，②，，，，当时，与点重合，不符合题意，舍去，当时，，直线，以点为顶点的四边形为菱形，，，综上所述：的坐标为或

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、面积最值、平面直角坐标系中两点之间的距离等相关知识点，知晓两直线平行，斜率相等是解决本题的关键．3．(1)；(2)①，；②或；(3)存在，点的坐标为或或．【分析】（1）利用直线求出点、的坐标，代入二次函数，利用待定系数法求解；（2）由点，可得点，点，利用两点的距离公式即可求解；分情况讨论当时，当时，利用相似三角形的性质即可求解；（3）当以，，，为顶点的四边形为菱形时，讨论画出所有的情况，再利用菱形的四边相等，求解对应的值，从而得到点的坐标．【详解】（1）解：将代入一次函数得：，点坐标，将代入一次函数得：，点坐标，将点、代入抛物线得，，解得，抛物线．（2）解：设点，点，点，，，，；，，，将代入抛物线，解得，，点坐标，，轴，，当时，，即，解得，当时，，即，解得，综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或．（3）解：存在，以，，，为顶点的四边形为菱形时，需满足以下三种情况：由可得，点，，，∴，，，当时，，解得，舍去，此时点的坐标为；当时，，解得或舍去，此时点的坐标为；当时，，解得舍去，，舍去，此时点的坐标为；综合上述，存在，点的坐标为或或．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数上点的坐标特点，二次函数上点的坐标特点，菱形的性质，三角形相似的性质，本题的解题关键是分情况讨论，做到不重不漏．4．(1)(2)周长的最大值，此时点(3)以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或【分析】（1）把、代入计算即可；（2）延长交轴于，可得，进而得到，，求出的最大值即可；（3）先求出平移后的解析式，再设出M，N的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可．【详解】（1）把、代入得，，解得，∴抛物线的表达式为；（2）延长交轴于，

∵过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，∴，，∴，∴，∴，∴当最大时周长的最大∵抛物线的表达式为，∴，∴直线解析式为，设，则∴，∴当时最大，此时∵周长为，∴周长的最大值为，此时，即周长的最大值，此时点；（3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线，∴设，∵，∴，，，当为对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形∴与互相平分，且∴，解得∵中点坐标为，中点坐标为，∴，解得，此时；当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形∴与互相平分，且∴，解得∵中点坐标为，中点坐标为，∴，解得，此时或；同理，当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形∴和互相平分，且，此方程无解；综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．5．(1)(2)(3)元【分析】（1）过点D作轴于点M，作轴于点N，在中，轴，，勾股定理得出的长，进而得出，根据得出点C的坐标，进而利用待定系数法求出函数解析式；（2）待定系数法求出直线的解析式，直线的解析式，设矩形中，米，则，代入和，得，由轴对称得，得出，根据的长度列得，求出，得到，再根据求出函数解析式；（3）根据（1）可得，求出菱形的面积，再求出总费用W与m的函数关系式，利用函数的性质解答即可．【详解】（1）解：如图，过点D作轴于点M，作轴于点N，

∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，在中，轴，，∴，，∴，∵，∴，设抛物线对应的函数表达式为，将，代入得，解得，∴抛物线的函数表达式为；（2）设直线的解析式为，将代入，得，解得，∴直线的解析式为；设直线的解析式为，将点，代入得，解得，∴直线的解析式为；设矩形中，米，则，代入和，得，∴，由轴对称得，∵轴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，解得，∴，∴内接矩形的面积；

（3）由（2）得，内接矩形的面积，由（1）可得，∴菱形的面积，∴总费用，∴当时，W最小，最小值为，∴完成菱形广告牌所需的最低费用为元．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，矩形的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．6．(1)(2)点的坐标为或或或；(3)点的坐标为或或或；【分析】（1）将、代入二次函数解析式，利用待定系数法即可解答；（2）根据题意分当点在直线上方时和点在的下方两种情况即可解答；（3）设点根据菱形的性质分情况讨论即可解答．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点，∴，∴解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：设点的坐标为，如图1，当点在直线上方时，过点作轴，垂足为，连接，

∴点，∵，，∴，，∴，∴，∴点在直线上，∵点在抛物线上，∴点是直线与抛物线的交点，∴，解得：，，∴点的坐标或；设直线的解析式为：，则，解得：，∴，∴直线是直线向上平移2个单位得到的，∴将直线向下平移2个单位，得到直线，与抛物线的交点与点组成的三角形的面积也为3，即：当点在直线下方时，为直线与抛物线的交点，

∴，解得：，；∴点的坐标为或综上，点的坐标为或或或．（3）解：由（2）知：直线为，设直线与轴的交点为，

当时，，∴直线与轴的交点为：，∴，∴，设点，则：点，∵以为顶点的四边形是菱形，当为边，则：，即：点的横坐标为：2，点在点上方时：①如图，当时，

∵，∴，∴，∴，∴，∴轴，∵，∴点，∴，∴点；②当时，如图，过点作，则：，

∵，∴，又，∴，解得：(舍)，，∴，∴；当点在点下方时：如图：

同上②法可得：，解得：(舍)，，∴，∴；当为对角线时，如图，则：，∴轴，即点的纵坐标为3，设相交与点，

∵，∴，∴，∴，即：，解得：或（舍去）；∴，∴；综上所述，点的坐标为或或或．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.7．(1)抛物线对应的函数表达式为，点C的坐标为(2)①点M的坐标为；②不存在点M使得四边形为菱形．理由见解析【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）①先求出直线对应的函数表达式，可点M的坐标为，则点，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解；②假设存在点M使得四边形是菱形，则，可得，从而得到点N的坐标为，进而得到，即可．【详解】（1）解：将点，代入，得，解得，∴抛物线对应的函数表达式为．当时，，即点C的坐标为．（2）解：①设直线对应的函数表达式为，将点代入，得，解得，∴直线对应的函数表达式为．设点M的坐标为，则点，∴．∵，∴当时，取得最大值，此时点M的坐标为．②不存在．理由：假设存在点M使得四边形是菱形，则，∴，解得，∴点N的坐标为．∵，∴不存在点M使得四边形为菱形．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，线段最值问题，菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．(1)(2)当点的坐标为时，面积最大为．(3)，．【分析】（1）由已知条件，设抛物线解析式为：，将点代入得：，求出的值，最终得到抛物线解析式；（2）根据题意，点是抛物线上对称轴右侧一点，设，，连接，，设过，的直线解析式为，求出直线的解析式为：，设与轴交于点，则，分两种情况，点在轴上方时，，求出最大面积，此时的点坐标；点在轴下方时，，即便时，，从而得到当点的坐标为时，面积最大为．（3）由题意知，点、、、为顶点的四边形是菱形，分两种情况讨论：当点在轴下方，利用菱形的性质，可以证明，求出；当点在轴上方，同理可证，求出．【详解】（1）解：抛物线交x轴于点、点，设抛物线解析式为：将点代入得：，抛物线解析式为：即．（2）点与点关于y轴对称，对称轴为，点是抛物线上对称轴右侧一点，设，，连接，，设过，的直线解析式为，，即，，，即过，的直线解析式为，设与轴交于点，则，如图，点在轴上方，

则，，当时，有最大值，此时点的坐标为；如图，点在轴下方，

则，，此时，当时，面积取值较大，即便时，，故当点的坐标为时，面积最大为．（3）由题意知：点在对称轴上，点是第一象限内一点，在，，若以点、、、为顶点的四边形是菱形，则，如图，当点在轴下方，过点，作，过点作轴平行线，过点作轴平行线，交于点,交轴于点，对称轴交轴于点，

则，在中，，四边形为矩形，，由四边形是菱形知，，且，，，，,，，；如图，当点在轴上方，同理，在中，，作，过点作轴平行线，过点作轴平行线，交于点，

可证，，,由四边形为矩形，，，综上或．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的最值问题，三角形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定及性质，利用二次函数的图像与性质，掌握菱形的性质，分类讨论所有情况，是解答本题的关键．9．(1)；(2)或或或；(3)存在，，或，或，或或【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案；（2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可；（3）抛物线的对称轴为直线，设，，求出，，，分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线．【详解】（1）解：（1）∵，两点在抛物线上，∴解得，，∴抛物线的解析式为：；（2）令，∴，由为等腰三角形，如图甲，

当以点为顶点时，，点与原点重合，∴；当以点为顶点时，，是等腰中线，∴，∴；当以点为顶点时，∴点D的纵坐标为或，∴综上所述，点D的坐标为或或或．（3）存在，理由如下：抛物线的对称轴为：直线，设，，∵，则，，，∵以为顶点的四边形是菱形，∴分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，当以为对角线时，则，如图1，

∴，解得：，∴或∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，即与的中点重合，当时，∴，解得：，∴当时，∴，解得：，∴以为对角线时，则，如图2，

∴，解得：，∴，∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，即与中点重合，∴，解得：，∴；当以为对角线时，则，如图3，

∴，解得：，∴，∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，即与的中点重合，∴，解得：∴，综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为：，或，或，或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键．10．(1)(2)的最大面积为，(3)存在，或或，，见解析【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；（2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；（3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．【详解】（1）解：将点代入解析式得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）设直线的解析式为，将点B、C代入得：，解得：，∴直线的解析式为，∵，∴，设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：

∴，∴，∴，∴当时，的最大面积为，，∴（3）存在，或或，，证明如下：∵，∵抛物线的解析式为，∴对称轴为：，设点，若为菱形的边长，菱形，则，即，解得：，，∵，∴，∴，；若为菱形的边长，菱形，则，即，解得：，，∵，∴，∴，；综上可得：或或，．【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．11．(1)(2)4(3)存在，或或或或【分析】（1）求出点A和点C坐标，从点A和点B坐标将抛物线的解析式设为交点式，将点C坐标代入，进一步求得结果；（2）先求出n的值，进而求得m的值，进而求得点k的值；（3）只需满足三角形为等腰三角形即可．设点Q的坐标，进而表示出，及，进而根据，及，进一步求得结果．【详解】（1）解：当时，，∴点，当时，，∴，∴点，∴设，将点代入得，，∴，∴；（2）∵抛物线的对称轴为直线：，∵，∴，∴当时，∴当时，，∵，∴，当时，，∴，（舍去），∴，∴；（3）设点，∵，，∴，，，①当时，，∴，∴，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，，综上所述：或或或或．【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，等腰三角形的判定和性质，点的坐标平移特征等知识，解决问题的关键是正确分类，准确计算．12．(1)，(2)(3)存在：，，【分析】（1）证明，得到，求出，从而得到点坐标，再用待定系数法，求出函数解析式即可；（2）待定系数法求出直线的解析式，设，分别表示出的坐标，进而得到，利用，列式计算即可；（3）分是边和是对角线两种情况，进行讨论求解．【详解】（1）解：由题意，，，，∵，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，分别把，，代入，得解得，∴；故答案为：，；（2）解：设直线函数关系式为，代入，得，，解得，∴，设，则：，∴，，由题意，解得，或（舍去），将代入得；∴；（3）解：存在，理由如下：当以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，是等腰三角形．由题意，，，对称轴为：，在中，由勾股定理得：，①当是边时：当时，点A到直线l的距离是：，∴此时点M不存在．当时，如图，此时菱形为：，过点E作于点H，，，在中，由勾股定理得，，∴或，∴；当点时：由得：，即：，解得：，同理可得：，故点；同理可得：；②当为对角线时，此时，即，此时菱形为，即，设，则：，解得，∴，即点在轴上，则：，解得：，，∴；综上：，，．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．13．(1)(2)的面积最大值为4(3)四边形能构成菱形，点的坐标为或【分析】（1）先求出点，坐标，再代入抛物线解析式中，即可得出结论；（2）过点作轴交于点，设，则，则，，再求解即可；（3）由翻折得，点、关于轴对称，可得垂直平分，当垂直平分时，四边形能构成菱形，则点的纵坐标为，代入求出的值，即可求解【详解】（1）解：对于直线，令，则，，令，则，，，将点，坐标代入抛物线中，得，，抛物线的解析式为；（2）解：过点作轴交于点，设，则，，，当时，的值最大，最大值为4；（3）解：如图，由翻折得，点、关于轴对称，垂直平分，当垂直平分时，四边形能构成菱形，点的纵坐标为，当时，，，四边形能构成菱形，点的坐标为或【点睛】本题是二次函数综合题，考查一次函数的应用、翻折变换，菱形的判定