山西省2024年中考数学试卷附真题解析

山西省2024年中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵零上150℃记作+150℃，则零下记作-100℃.故答案为：C.【分析】本题考查具有相反意义的量，具有相反意义的量包含两层含义：（1）具有相反意义；（2）具有数量，明确零上为正，则零下为负，可得答案。2．1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：A选项中图形是中心对称图形，BC是轴对称图形，D既不是轴对称也不是中心对称图形.故答案为：A.【分析】本题考查中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义可得答案。3．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A：2m+n不能合并，原选项错误，不合题意；

B：，原选项错误，不合题意；C：，原选项错误，不合题意；

D：，原选项正确，符合题意；

故答案为：D.【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘除法则，积的乘方，幂的乘方等知识是解题关键。根据法则对选项逐一判断，可得答案。4．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：

的左视图为故答案为：C.【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据左视图看到的图形，上方为矩形，下方为倒梯形，逐一区分实线和虚线，可得答案。5．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，由题知：∠2+α=90°，α=25°

∴∠2=65°

由题知：∠1=∠2，

∴∠1=65°

由题知：∠1+β=180°，

∴β=180°-∠1=115°

故答案为：C.【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质与直角三角形的性质是解题关键。由∠2+α=90°，∠1=∠2，∠1+β=180°，可得β。6．已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵正比例函数y=3x

∴k=3＞0，y随x的增大而增大

∴，则故答案为：B.【分析】本题考查正比例函数的增减性，k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小，据此可得答案。7．如图，已知，以AB为直径的交BC于点，与AC相切于点，连接OD．若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：∵AC与相切于点A

∴∠BAC=90°

∵∠AOD=80°，

∴∠B=∠AOD=40°

∴∠C=90°-∠B=50°故答案为：D.【分析】本题考查圆的切线性质，同弧所对圆周角与圆心角的数量关系，直角三角形等知识，熟悉圆的切线，圆周角，圆心角的数量关系是解题关键。由切线得∠BAC=90°；由∠AOD=90°，得∠B=40°，可得∠C=50°.8．一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球的所有情况如下表：

第一次摸出一个球后，不放回，再从中随机摸出一个球的情况共有6种，其中两次摸到的球恰好有一个红球的情况有4种，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是故答案为：B.【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法求概率是解题关键。求出摸到的两个球的所有情况，再找出两个摸到的球恰好有一个红球的情况，根据概率公式求解即可。9．生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为（）尾长6810体长45.560.575.5A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：∵某种蛇其体长是尾长的一次函数，设该一次函数解析式是y=kx+b（k≠0）

由表格可知，该一次函数过点（6，45.5），（10，60.5），代入得：

解得：k=7.5，b=0.5

则y与x之间的关系式为y=7.5x+0.5故答案为：A.【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，掌握该方法，准确计算是解题关键。由表格任选两个点坐标，代入y=kx+b（k≠0）可得答案。10．在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（）A．互相垂直平分 B．互相平分且相等C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等【答案】A【解析】【解答】解：如图所示，AC=BD，∵点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点

∴EF为的中位线，HG为的中位线，EH为的中位线，GF为的中位线，

∴EFAC，FGDB，HGAC，EHDB，

∴EF=HG=FG=EH

∴四边形EFGH为菱形

∴EG与FH互相垂直且平分

故答案为：A.【分析】本题考查菱形的判定与性质，三角形的中位线，熟悉菱形的判定与性质是解题关键。由点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点得EFAC，FGDB，HGAC，EHDB，可得EF=HG=FG=EH，证四边形EFGH为菱形，可得答案。二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．比较大小：2（填“>”“<”或“=”）【答案】【解析】【解答】解：∵6＞4，

∴；故答案为：＞.【分析】比较被开方数：被开方数越大，其算术平方根的值越大，即可得出答案.12．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点处，且．若，则BC的长为（结果保留根号）。【答案】【解析】【解答】解：∵四边形MQPN是正方形

∴∠P=∠N=90°∵AB∥PN

∴∠P+∠ABP=180°

∴∠ABP=90°

∴四边形ABPN为矩形

∴AB=NP-2cm

∵

∴BC=cm

故答案为：.【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，黄金分割比，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质是解题关键。由正方形MQPN得∠P=∠N=90°，由AB∥PN可得∠ABP=90°，证矩形ABPN，结合可得BC.13．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度．【答案】4【解析】【解答】解：∵机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．

设该反比例函数为y=（v≠0）

由题知，该函数过点（60，6）

∴v=my=60×6=360

∴y=

∴m=90kg时，v==4m/s故答案为：4.【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，由题意，列出y=（v≠0），代入点坐标可得解析式y=，求解当m=90时，可得v值.14．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）。通过测量得到扇形AOB的圆心角为，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为【答案】【解析】【解答】解：∵OA=OB=1，点C，D分别为OA，OB的中点

∴OC=OD=OA=

∴S花窗=S扇形AOB-S∆COD=

∴花窗的面积为m2.

故答案为：.

【分析】本题考查扇形面积，三角形面积，熟练掌握扇形面积公式（，n为扇形圆心角度数，r为扇形半径）是关键。由中点和OA=OB=1得OC=OD=，，则S花窗=S扇形AOB-S∆COD=.15．如图，在中，AC为对角线，于点，点是AE延长线上一点，且，线段AB，CF的延长线交于点．若，则BG的长为．【答案】【解析】【解答】解：如图所示，过G作GH⊥BC交CB延长线于点H，

∵AE⊥BC，AB=，tan∠ABC=2

∴AE=2，BE=1，EC=3，

∵∵∠ACF=∠CAF

∴AF=CF

设EF=a，则CF=AF=AE+EF=2+a

在Rt△CEF中，

，即，

∴EF=a=，

又∵∠GBH=∠ABC，

∴tan∠GBH=tan∠ABC=2，

设BH=b，则GH=2b，此时BG=b，

又∵，即，解得b=，∴CF=.

故答案为：.【分析】根据已知条件可知四边形均为定形，故方法多样，只需一一根据题干条件求得线段长度逐步往目标线段靠拢求解即可；即：根据平行四边形的两边及一内角正确值先求得分线段BE和CE长，利用等角构造等腰利用勾股定理直接设元EF即可求得EF长，故此时直角△CEF为定三角形，即∠BCG也为定角，结合∠CBG为定角，BC为定长，过点G构造直角三角形，解定三角形即可.三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）解：原式=-10（2）解：原式．【解析】【分析】(1)先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可；

(2)先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可.17．为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个?【答案】解：设可购买这种型号的水基灭火器个；根据题意，得．解，得．因为为整数，且取最大值，所以．答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．【解析】【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据购买个数的关系，购买总价列不等式，注意实际情况，未知数是整数，可得答案。设可购买这种型号的水基灭火器个，．求解可得答案。18．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛。各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：平均数（分）中位数（分）众数（分）方差优秀率甲组7.625a74.4837.5%乙组7.6257b0.73c请认真阅读上述信息，回答下列问题：（1）填空：，，；（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．【答案】（1）7.5；7；25%（2）解：①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，所以从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；②虽然甲、乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为4.48，高于乙组成绩的方差0.73，所以从方差的角度看，乙组成绩更整齐；【解析】【解答】（1）解：甲组8人的成绩按从小到大的顺序排列如下：3，7，7，7，8，9，10，10，处于中间位置的两个数是7和8，=7.5，则中位数是7.5，a=7.5；

乙组8人的成绩中，7出现了5次，出现的次数最多，则众数为7，b=7；乙组中9分及以上共有2人，则优秀率==25％，则c=25％.

【分析】本题考查复式条形统计图，中位数，众数，方差，平均数及其意义，熟练掌握其的计算和意义是解题关键。（1）根据中位数的定义，可得a；根据众数的定义，可得b；乙组优秀人数2人，计算优秀率，可得c；（2）结合优秀率的意义，方差的意义，可得答案。19．当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．【答案】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克．根据题意，得解，得答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组，正确求解是解题关键。设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克．根据题意，得求解即可。20．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如下图，点是纪念碑顶部一点，AB的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；

数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：，）．【答案】解：延长CD交AB于点．由题意得，四边形CMBH为矩形．．在Rt中，，在Rt中，，．设．．解，得.1．（米）．答：点到地面的距离AB的长约为27米．【解析】【分析】本题考查解直角三角形，找出线段的数量关系，根据锐角三角函数的定义，结合等量关系，列出方程，求解即可。延长CD交AB于点．由题意得，四边形CMBH为矩形．．解Rt得解Rt得．设．则EH=x+9；得，得.1得AB27米.21．阅读与思考下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组研究对象：等边半正多边形研究思路：类比三角形、四边形，按“概念性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究．研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明研究内容：【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的黄形（正方形除外）就是等边半正四边形．类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形……【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么，且．性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为：▲°.对角线：……任务：（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容；.（2）如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想与的数量关系，并说明理由；（3）如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.【答案】（1）240（2）解：．理由如下：连接BD，FD．六边形ABCDEF是等边半正六边形，．．在与中，．（3）解：如图，六边形ABCDEF即为所求.【解析】【解答】（1）解：六边形内角和=（6-2）×180°=720°

根据等边半六边形的定义，可得，

∴∠A+∠B=∠C+∠D+∠E+∠F=×720°=240°

则等边半正六边形相邻两个内角的和为240°；

故答案为：240.

【分析】本题考查探究型题型，掌握多边形内角和计算，三角形全等的判定与性质，三角形外接圆性质是解题关键。（1）计算六边形内角和720°，由等边半六边形的定义得，可得∠A+∠B=∠C+∠D+∠E+∠F=240°；（2）连接BD，FD．由等边半六边形的性质证再证．可得∠BAD=∠FAD；（3）根据三角形外接圆的性质，可得答案。22．综合与实践问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．方案设计：如图米，AB的垂直平分线与抛物线交于点，与AB交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：第一步：在线段OP上确定点，使．用篱笆沿线段AC，BC分隔出区域，种植串串红；第二步：在线段CP上取点（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用䈑笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米蓠笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为轴，OP所在直线为轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题：（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系．所在直线是AB的垂直平分线，且，．点的坐标为．点的坐标为．点是抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为．点在抛物线上，．解，得．抛物线的函数表达式为．（2）解：点D，E在抛物线上，设点的坐标为．，交轴于点，．在Rt中，，．．根据题意，得，．解，得（不符合题意，舍去），．答：DE的长为4米，CF的长为2米.（3）解：．【解析】【解答】（3）解：如图所示：矩形HGPK中，点K在直线AC上，点P与点K关于y轴对称

直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（-3，0），点C（0，3）代入得直线AC解析式：y=x+3

设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）

∴KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6

∴矩形HGPK的周长=2（KP+HK）=2（-2k-k2-k+6）=-2k2-6k+12=-2（k+）2+

∴k=-，矩形周长最大值为.

【分析】本题考查二次函数的综合应用，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，结合题目，建立合适的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的性质，求函数解析式是解题关键。（1）由平面直角坐标系得点B（3，0）顶点P（0，9），可得抛物线解析式．；（2）设点的坐标为．结合抛物线对称性得DE=2m，计算OC=3．得CF=-m2+6．结合得m=2，可得DE，CF；（3）求出直线AC解析式：y=x+3设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）得KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6，则矩形HGPK周长=2（KP+HK）=-2（k+）2+，可得k=-，矩形周长最大值为.23．综合与探究问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点作于点，过点作于点．（1）猜想证明：判断四边形AECF的形状，并说明理由；（2）深入探究：将图1中的绕点逆时针旋转，得到，点E，B的对应点分别为点G，H.①如图2，当线段AH经过点时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由；②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点．若，直接写出四边形AMNQ的面积.【答案】（1）解：四边形AECF为矩形．理由如下：，．四边形ABCD为菱形，．．四边形AECF为矩形.（2）解：①CH=MD.理由如下：∵四边形ABCD为菱形，．旋转得到，