离散型随机变量的均值教案

离散型随机变量的均值教案一、教学目标1.知识与技能目标理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值。掌握离散型随机变量均值的性质，并能运用这些性质解决相关问题。能根据离散型随机变量的分布列求出其均值，并能解释其实际意义。2.过程与方法目标通过实例分析，让学生经历离散型随机变量均值概念的形成过程，培养学生的归纳总结能力。在解决问题的过程中，引导学生运用类比、归纳等数学思想方法，提高学生的逻辑思维能力。通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过数学探究活动，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。在小组合作学习中，培养学生的团队合作意识和交流能力。通过对实际问题的分析和解决，让学生感受数学的应用价值，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点离散型随机变量均值的概念和计算方法。离散型随机变量均值的性质及其应用。2.教学难点对离散型随机变量均值概念的理解以及其实际意义的解释。运用离散型随机变量均值的性质解决复杂的实际问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解离散型随机变量均值的概念、计算方法和性质，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生对实际问题进行讨论，引导学生积极思考，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.案例分析法：通过实际案例分析，让学生体会离散型随机变量均值在实际生活中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。4.多媒体辅助教学法：利用多媒体展示教学内容，使抽象的知识形象化，提高教学效果。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）通过播放一段关于彩票中奖的视频，引出本节课的主题。视频中展示了彩票中奖的各种情况，以及中奖者的喜悦和未中奖者的失望。然后提出问题："从概率的角度来看，购买彩票是否是一种值得投资的行为？"引导学生思考概率与收益之间的关系，从而引入离散型随机变量均值的概念。

（二）讲解新课（25分钟）1.离散型随机变量均值的概念给出一个简单的离散型随机变量的例子：某射手射击所得环数X的分布列为

|X|4|5|6|7|8|9|10|||||||||||P|0.02|0.04|0.06|0.09|0.28|0.29|0.22|

让学生观察这个分布列，思考如何从这个分布列中得到一个能反映射手射击水平的数值。引导学生分析，射手射击的平均环数可以通过每个环数乘以其对应的概率，然后求和得到。定义离散型随机变量均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列为

|X|x1|x2|...|xn||||||||P|p1|p2|...|pn|

则称$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。2.离散型随机变量均值的计算方法结合上述射手射击环数的例子，详细讲解均值的计算过程：$E(X)=4×0.02+5×0.04+6×0.06+7×0.09+8×0.28+9×0.29+10×0.22$$=0.08+0.2+0.36+0.63+2.24+2.61+2.2$$=8.32$让学生计算一个简单的离散型随机变量的均值，例如：已知离散型随机变量Y的分布列为

|Y|1|2|3|||||||P|0.3|0.5|0.2|

求$E(Y)$。通过学生的计算，及时反馈学生对均值计算方法的掌握情况，进行针对性的指导。3.离散型随机变量均值的性质给出性质1：若$Y=aX+b$，其中a，b为常数，则$E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b$。证明性质1：设X的分布列为

|X|x1|x2|...|xn||||||||P|p1|p2|...|pn|

因为$Y=aX+b$，所以Y的分布列为

|Y|ax1+b|ax2+b|...|axn+b||||||||P|p1|p2|...|pn|

则$E(Y)=(ax_1+b)p_1+(ax_2+b)p_2+\cdots+(ax_n+b)p_n$$=a(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)+b(p_1+p_2+\cdots+p_n)$$=aE(X)+b$给出性质2：若$X_1,X_2$是两个相互独立的离散型随机变量，则$E(X_1X_2)=E(X_1)E(X_2)$。通过一个具体的例子来解释性质2：假设有两个相互独立的离散型随机变量$X_1$和$X_2$，$X_1$的分布列为

|X1|1|2||||||P|0.4|0.6|

$X_2$的分布列为

|X2|3|4||||||P|0.5|0.5|

先分别计算$E(X_1)$和$E(X_2)$：$E(X_1)=1×0.4+2×0.6=1.6$$E(X_2)=3×0.5+4×0.5=3.5$再计算$E(X_1X_2)$：$X_1X_2$的取值为$1×3=3$，$1×4=4$，$2×3=6$，$2×4=8$，其分布列为

|X1X2|3|4|6|8||||||||P|0.2|0.2|0.3|0.3|

则$E(X_1X_2)=3×0.2+4×0.2+6×0.3+8×0.3=5.6$而$E(X_1)E(X_2)=1.6×3.5=5.6$，验证了性质2。

（三）例题讲解（20分钟）例1：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分。已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次得分X的均值。解：根据离散型随机变量均值的定义，X的分布列为

|X|0|1||||||P|0.3|0.7|

则$E(X)=0×0.3+1×0.7=0.7$

例2：一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个球，求其中所含白球个数X的均值。解：X服从超几何分布，X可能的取值为0，1，2，3，4。$P(X=k)=\frac{C_5^kC_5^{4k}}{C_{10}^4}$，$k=0,1,2,3,4$$P(X=0)=\frac{C_5^0C_5^4}{C_{10}^4}=\frac{5}{210}$$P(X=1)=\frac{C_5^1C_5^3}{C_{10}^4}=\frac{50}{210}$$P(X=2)=\frac{C_5^2C_5^2}{C_{10}^4}=\frac{100}{210}$$P(X=3)=\frac{C_5^3C_5^1}{C_{10}^4}=\frac{50}{210}$$P(X=4)=\frac{C_5^4C_5^0}{C_{10}^4}=\frac{5}{210}$则$E(X)=0×\frac{5}{210}+1×\frac{50}{210}+2×\frac{100}{210}+3×\frac{50}{210}+4×\frac{5}{210}$$=\frac{0+50+200+150+20}{210}$$=2$

例3：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？解：设混合糖果的单价为X元/kg。先计算混合糖果中每种糖果的价格占总价格的比例：单价为18元/kg的糖果占比为$\frac{3}{3+2+1}=\frac{1}{2}$单价为24元/kg的糖果占比为$\frac{2}{3+2+1}=\frac{1}{3}$单价为36元/kg的糖果占比为$\frac{1}{3+2+1}=\frac{1}{6}$则$E(X)=18×\frac{1}{2}+24×\frac{1}{3}+36×\frac{1}{6}$$=9+8+6$$=23$（元/kg）所以混合糖果定价为23元/kg才合理。

通过这三道例题，让学生进一步掌握离散型随机变量均值的计算方法和应用，引导学生分析题目条件，找出解题思路，培养学生解决实际问题的能力。在讲解过程中，注重与学生的互动，及时解答学生的疑问。

（四）课堂练习（10分钟）1.已知离散型随机变量X的分布列为

|X|1|2|3|||||||P|0.2|0.3|0.5|

求$E(X)$。2.某射手射击一次所得环数X的分布列如下：

|X|6|7|8|9|10|||||||||P|0.1|0.4|0.3|0.1|0.1|

求此射手射击一次的平均环数。3.有一批数量很大的商品，其中次品率是10%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X，求$E(X)$。

让学生在课堂上独立完成这些练习，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行纠正。通过课堂练习，巩固所学知识，提高学生运用离散型随机变量均值解决问题的能力。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾离散型随机变量均值的概念、计算方法和性质。2.让学生分享本节课的学习收获和体会，如在计算均值时容易出现的错误、如何运用均值解决实际问题等。3.教师对学生的发言进行总结和补充，强调离散型随机变量均值在实际生活中的重要应用，鼓励学生在今后的学习和生活中继续关注数学知识与实际问题的联系，提高数学应用能力。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：教材课后习题第[X]题。2.拓展作业：收集生活中与离散型随机变量均值相关的实际问题，并尝试用所学知识进行分析和解决，写成一篇小短文。

通过布置作业，让学生进一步巩固课堂所学知识，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和自主学习能力。同时，拓展作业可以激发学生的学习兴趣，拓宽学生的视野。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对离散型随机变量均值的概念、计算方法和性质有了较为系统的理解和掌握。