构造等腰三角形的常用方法 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

构造等腰三角形的常用方法方法点拨构造等腰三角形的关键是在一个三角形内构建边、角的等量关系，常用方法：1.利用平行线构造等腰三角形：利用平行线可轻易找到相等的角，再利用“等角对等边”即可构造等腰三角形.2.利用“三线合一”构造等腰三角形：作角平分线的垂线，与已知角构建等腰三角形；在线段的垂直平分线上找一点，与已知线段构建等腰三角形.此种方法关键在于构建垂直关系.3.运用倍角关系构造等腰三角形：通过作平行线、角平分线等方式，将倍角关系转化为一个三角形内的等角关系.4.截长补短构造等腰三角形：在已知线段上取点来构建相等线段，据此即可构造等腰三角形.类型1利用平行线构造等腰三角形1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于点F.求证：DF=EF.类型2利用“三线合一”构造等腰三角形2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE⊥BE，交BD的延长线于点E.求证：BD=2AE.类型3运用倍角关系构造等腰三角形3.如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠BDE=∠C,BE⊥DE,垂足为E，DE与AB相交于点F，DG∥AC交AB于点H，交BE的延长线于点G.求证：△BDG是等腰三角形.类型4截长补短构造等腰三角形4.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点B作BF⊥AD于点F，延长BF交AC于点E.（1）求证：△ABE为等腰三角形；（2）已知AC=14，BD=5，求AB的长．类型5构造等腰三角形的综合5.如图，E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，已知AE∥BC，BF=AE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若AF=4，求CE的长．6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，AC=20cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的路线运动，速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A的路线运动，速度为2cm/s，它们同时出发，设出发的时间为ts．(1)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？(2)当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？答案类型1利用平行线构造等腰三角形1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于点F.求证：DF=EF.解：如图，过点D作DG∥AC交BC于点G，∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵DG∥AC,∴∠ACB=∠DGB，∠DGC=∠BCE.∴∠ACB=∠DGB=∠B.∴DG=DB.∵BD=CE,∴DG=EC.且∠DGF=∠ECF，∠DFG=∠EFC.∴△DFG≌△EFC(AAS).∴DF=EF． 答图类型2利用“三线合一”构造等腰三角形2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE⊥BE，交BD的延长线于点E.求证：BD=2AE.解：如图，延长AE，BC相交于点F，∵∠AED=∠ACB=90°，∠EDA=∠CDB，∴∠FAC=∠DBC.在△AFC与△BDC中，∠FAC=∠DBC,AC=BC,∠FCA=∠DCB,∴△AFC≌△BDC(ASA).∴AF=BD.∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE.在△ABE与△FBE中，∠ABE=∠FBE,BE=BE, 答图∠AEB=∠FEB,∴△ABE≌△FBE(ASA).∴AE=EF.∴BD=AF=2AE.类型3运用倍角关系构造等腰三角形3.如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠BDE=∠C,BE⊥DE,垂足为E，DE与AB相交于点F，DG∥AC交AB于点H，交BE的延长线于点G.求证：△BDG是等腰三角形.证明：∵DG∥AC，∴∠BDG=∠C.∵∠BDE=∠C，∴∠BDE=∠BDG，即∠GDE=∠BDE.∵BE⊥DE，∴∠BED=∠GED=90°.∴∠G=∠GBD.∴△BDG是等腰三角形.类型4截长补短构造等腰三角形4.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点B作BF⊥AD于点F，延长BF交AC于点E.（1）求证：△ABE为等腰三角形；（2）已知AC=14，BD=5，求AB的长．(1)证明：∵BE⊥AD，∴∠AFE=∠AFB=90°.又∵AD平分∠BAC，∴∠EAF=∠BAF.在△AEF和△ABF中，∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°,∴∠AEF=∠ABF.∴△ABE为等腰三角形；(2)解：如图，连接DE，在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD，∴△ABD≌△AED(SAS).∴BD=ED，∠ABD=∠AED.又∵∠ABC=2∠C，∴∠AED=2∠C. 答图在△CED中，∠AED=∠C+∠EDC，∴∠C=∠EDC.∴EC=ED=BD．∴AB=AE=AC-CE=AC-BD=14-5=9．类型5构造等腰三角形的综合5.如图，E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，已知AE∥BC，BF=AE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若AF=4，求CE的长．(1)证明：∵AE∥BC，∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠ACB.∵E为△ABC的外角平分线上的一点，∴∠DAE=∠EAC.∴∠B=∠ACB.∴△ABC是等腰三角形；(2)解：∵∠B=∠ACB，∴AB=CA.在△ABF和△CAE中，AB=CA,∠B=∠EAC，BF=AE，∴△ABF≌△CAE(SAS).∴AF=CE=4.6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，AC=20cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的路线运动，速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A的路线运动，速度为2cm/s，它们同时出发，设出发的时间为ts．(1)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？(2)当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？解：(1)由题意可知AP=tcm，BQ=2tcm，∵AB=16cm，∴BP=AB-AP=(16-t)cm.∵∠B=90°，∴当△PQB为等腰三角形时，有BP=BQ，即16-t=2t，解得t=.∴出发s后△PQB是等腰三角形；(2)①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时，CQ=BQ，如图1所示，则∠C=∠CBQ.∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°.∴∠A=∠ABQ