拔尖专题训练：平行四边形最值问题一2024-2025学年人教版数学八年级下册

武汉市七一中学数学拔尖专题：平行四边形最值问题一如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE=CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为(

)

A.8B.42C.43D.2.如图，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为(

)

A.6 B.22 C.23.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为AB的中点，连接DE，F为EC上一动点，P为DF的中点，连接PB，则PB长的最小值是(

)

A.2 B.4 C.2 D.4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E，F分别是AD，BC的中点，点P，Q在EF上，且满足PQ=2，则四边形APQB的周长的最小值为(

)

A.10 B.12 C.14 D.165.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，E是AB边的中点，P是AC上的一个动点．若PB+PE的最小值是3，则AB的值为(

)．

A.2 B.3 C.236.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，动点E.F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为(

)

A.3 B.32 C.27.如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+A.2 B.2 C.22 D.8.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=25

A.①②③④ B.①④ C.①②④ D.①③④9.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B4,3，点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边▵ADE，连接OE，则OE的最小值为(

)

A.1 B.1.5 C.2 D.2.410.正方形ABCD，BEFG如图放置，AB=6，AG，CE相交于点P，Q为AD边上一点，且DQ:AQ=1:2，则PQ的最大值为(

)

A.32+3 B.32+武汉市七一中学数学拔尖专题：平行四边形最值问题一解析1.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE=CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为(

)

A.8

B.42

C.4【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．

连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE=AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．

【解答】

解：连接AE，如图1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°．

又BE=CF，

∴△ABE≌△BCF(SAS)．

∴AE=BF．

所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．

作点A关于BC的对称点H点，如图2，

连接BH，则A、B、H三点共线，

连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．

根据对称性可知AE=HE，

所以AE+DE=DH．

在Rt△ADH中，DH=AH2+AD2=82+2.如图，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为(

)

A.6 B.22 C.2【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，构建全等三角形是解答此题的关键．

过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，求出AH，AC，证明△BFD≌△CKD(AAS)，推出BF=CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，当直线l⊥AC时，AE+BF取最大值．

【解答】

解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，

在Rt△AHB中，

∵∠ABC=60°，AB=2，

∴BH=1，AH=3，

在Rt△AHC中，∠ACB=45°，

∴AC=AH2+CH2=(3)2+(3)2=6，

∵点D为BC中点，

∴BD=CD，

在△BFD与△CKD中，

∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD，

∴△BFD≌△CKD(AAS)，

∴BF=CK，

延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，

∴四边形CNEK为矩形，

3.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为AB的中点，连接DE，F为EC上一动点，P为DF的中点，连接PB，则PB长的最小值是(

)

A.2 B.4 C.2 D.【答案】C

【解析】略4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E，F分别是AD，BC的中点，点P，Q在EF上，且满足PQ=2，则四边形APQB的周长的最小值为(

)

A.10 B.12 C.14 D.16【答案】B

【解析】略5.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，E是AB边的中点，P是AC上的一个动点．若PB+PE的最小值是3，则AB的值为(

)．

A.2 B.3 C.23【答案】A

【解析】略6.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，动点E.F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为(

)A.3 B.32 C.2【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．

连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而求出AG的最大值．

【解答】

解：连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，

如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90∘，OA=OC，AB/​/CD，

∴在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=(3)2+12=2，

∴OA=OC=12AC=1，

∵AB/​/CD，

∴∠EAO=∠FCO，

在△AOE与△COF中，

AE=CF∠EAO=∠FCOOA=OC

∴△AOE≌△COF(SAS)，

∴∠AOE=∠COF，

∴E，O，F共线，

∵AG⊥EF，H是OB中点，

∴在7.如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则dA.2 B.2 C.22 D.【答案】C

【解析】【分析】

此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．

连接AE，那么△ADE≌△CDG(SAS)，得出AE=CG，所以d1+d2+d3就是AE+EF+FC，所以恒大于AC，故当A，E，F，C四点共线时有最小值，最后求解，即可求出答案．

【解答】

解：如图，连接AE，

∵四边形DEFG是正方形，

∴∠EDG=90°，EF=DE=DG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADC=90°，

∴∠ADE=∠CDG，

在△ADE和△CDG中，

AD=CD∠ADE=∠CDGED=GD,

∴△ADE≌△CDG(SAS)，

∴AE=CG，

∴d1+d2+d3=EF+CF+AE，

∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d38.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2其中正确的结论是(

)

A.①②③④ B.①④ C.①②④ D.①③④【答案】D

【解析】【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；由菱形的性质可得∠ECH=∠FCH，由点C落在AD上的一点H处，∠ECD不一定等于30°，可判断②；当点H与点A重合时，BF有最小值，由勾股定理可求BF的最小值，若CD与AD重合时，BF有最大值，由正方形的性质可求BF的最大值，可判断③；如图，过点H作HM⊥BC于M，由勾股定理可求EF的长，可判断④；即可求解．【详解】解：∵HE//CF，∴∠HEF=∠EFC，∵∠EFC=∠HFE，∴∠HEF=∠HFE，∴HE=HF，∵FC=FH，∴HE=CF，∵EH//CF，∴四边形CFHE是平行四边形，∵CF=FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确；∵四边形CFHE是菱形，∴∠ECH=∠FCH，若EC平分∠DCH，∴∠ECD=∠ECH，∴∠ECD=∠ECH=∠FCH=30°，∵点C落在AD上的一点H处，∴∠ECD不一定等于30°∴EC不一定平分∠DCH，故②错误；当点H与点A重合时，BF有最小值，设BF=x，则AF=FC=8−x，在Rt△ABF中，AB即42解得x=3，∴BF=3，若CD落在AD上时，BF有最大值，∴四边形CDHF是正方形，∴CF=4，∴BF最大值为4，∴3≤BF≤4，故③正确；如图，过点F作FM⊥BC于M，∴四边形HMFB是矩形，∴AB=MF=4，AM=BF=3，∵四边形AFCE是菱形，∴AE=AF=5，∴ME=2，∴EF=ME故选：D．9.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B4,3，点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边▵ADE，连接OE，则OE的最小值为(

)

A.1 B.1.5 C.2 D.2.4【答案】B

【解析】【分析】以OA为边在OA右侧作等边▵AGO，连接EG并延长交y轴于点M，过点O作OH⊥GM于点H，利用全等三角形的性质证明∠AOD=∠AGE=90∘，所以∠AGM=90∘，推出点E在过定点G且与AG垂直的直线上运动，即点E在直线【详解】解：如图，以OA为边在OA右侧作等边▵AGO，∴∠OAG=60连接EG并延长交y轴于点M，过点O作OH⊥GM于点H，在矩形ABCO中，∵B4,3∴OA=BC=3，AB=OC=4，∴OA=OG=AG=3，∵▵ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60∴∠OAG=∠DAE=60∵∠OAD=∠OAG−∠DAG，∠GAE=∠DAE−∠DAG，∴∠OAD=∠GAE，在△ADO和▵AEG中，AD=AE∴▵ADO≌▵AEGSAS∴∠AOD=∠AGE=90∴∠AGM=90∴点E在过定点G且与AG垂直的直线上运动，即点E在直线MG上运动，∵▵AGO是等边三角形，∴∠AGO=60∴∠OGH=90∵OH⊥GM，∴OH=1当点E与H不重合时，OE>OH，当点E与H重合时，OE=OH，综上所述：OE≥OH，∴OE的最小值为1.5，故选：B．

本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，30∘10.正方形ABCD，BEFG如图放置，AB=6，AG，CE相交于点P，Q为AD边上一点，且DQ:AQ=1:2，则PQ的最大值为(

)

A.32+3 B.32+【答案】B

【解析】如图，连接AC，取AC的中点O，连接OQ