四川省资阳市2024年中考数学试卷含真题解析

四川省资阳市2024年中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．3的相反数为（）A．﹣3 B． C． D．3【答案】A【解析】【解答】解：3的相反数为-3.故答案为：A.【分析】求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号，由此可求出已知数的相反数.2．下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5 B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5 D．a5÷a2＝a3【答案】D【解析】【解答】解：A、a3+a2不能合并同类项，故A错误，不符合题意；

B、a3-a2不能合并同类项，故B错误，不符合题意；

C、（a2）3=a6，故C错误，不符合题意；

D、a5÷a2＝a3，故D正确，符合题意；故答案为：D.【分析】只有同类项才能合并，可对A、B作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对C作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对D作出判断.3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．长方体 B．棱锥 C．圆锥 D．球体【答案】A【解析】【解答】解：∵此几何体的主视图和左视图是大小相等的矩形，俯视图是正方形，

∴这个几何体是长方体.故答案为：A.【分析】主视图，左视图，俯视图是分别从几何体的正面，左面，上面看，所得的平面图形，观察已知几何体的三视图的性质，可得到原几何体的名称.4．6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（）A．5，4 B．6，5 C．6，7 D．7，7【答案】C【解析】【解答】解：从小到大排列为：4，4，5，7，7，7，

∵处于最中间的两个数是5和7，

∴这组数据的中位数是，

∴这组数据的中位数是6；

∵7出现了3次，是这组数据中出现次数最多的数，

∴这组数据的众数是7；故答案为：C.【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；若一组数据有n个数，按大小顺序排列后，当n是奇数时，第个数是中位数；若n是偶数时，第个数和第+1个数的平均数是中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可求解.5．在平面直角坐标系中，将点（﹣2，1）沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（）A．（﹣2，0） B．（﹣2，2） C．（﹣3，1） D．（﹣1，1）【答案】B【解析】【解答】解：将点（﹣2，1）沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（-2，1+1）即（-2，2）.故答案为：B.【分析】在平面直角坐标系中，点A（a，b），若将点A向上或向下平移m个单位，再向右或向左平移n个单位，则平移后的点的坐标为A1（a±n，b±m），据此可求出平移的点的坐标.6．如图，AB∥CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D＝50°，则∠A的度数为（）A．130° B．140° C．150° D．160°【答案】B【解析】【解答】解：∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°，

∴∠C=90°-∠D=90°-50°=40°，

∵AB∥CD，

∴∠A+∠C=180°，

∴∠A=180°-40°=140°.故答案为：B.【分析】利用垂直的定义可证∠CED=90°，再利用直角三角形的两锐角互余可求出∠C的度数，然后利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠A的度数.7．已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】【解答】解：设此多边形的边数为n，根据题意得

60°n=360°，

解之：n=6，

∴此多边形是6边形.故答案为：C.【分析】设此多边形的边数为n，利用任意多边形的外角和为360°及这个多边形的每个外角都等于60°，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.8．若m，则整数m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【解答】解：∵，，

∴即，

∴整数m=3.故答案为：B.【分析】利用估算无理数的大小，可知，据此可得到m的值.9．第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：∵如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，

∴EF=HE，AH=BE，

∵EF：AH＝1：3，

∴HE：AH=1：3，

∴BE：AE=3：4，

设BE=3x，则AE=4x，

在Rt△ABE中，

，

∴.故答案为：C.【分析】利用正方形的性质和全等三角形的性质可证得EF=HE，AH=BE，再利用已知条件：EF：AH＝1：3，可推出BE：AE=3：4，设BE=3x，则AE=4x，在Rt△ABE中，利用勾股定理可表示出AB的长；然后利用正弦的定义可求出sin∠ABE的值.10．已知二次函数yx2+bx与yx2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论：①b＝2；②PB＝PC；③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5．其中，所有正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【解答】解：∵二次函数yx2+bx与yx2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，

∴，

解之：b=2，故①正确；

∵，

∴两抛物线的形状相同，大小相等，

∴两函数解析式为，，

∴两抛物线的顶点坐标分别为（2，2）和（2，-2），

∴两个顶点关于x轴对称，

∴两个函数图象关于x轴对称，

如图，

∵点P为线段OA的中点，

∴这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象关于点P成中心对称图形，

∴PB=PC，故②正确；

如图，当点B和点C为两抛物线的顶点时

，∵两抛物线的顶点坐标分别为（2，2）和（2，-2），且两抛物线关于x轴对称，

∴OA垂直平分BC，

∴OB=OC，AB=AC，

∵点P为OA的中点，

∴BC垂直平分OA，

∴OB=AB，OC=AC，

∴OB=AB=OC=AC，

∴四边形ABOC是菱形，

∵两抛物线的顶点坐标分别为（2，2）和（2，-2），点A（4，0）

∴BP=OP=AP=2，

∴△OBP和△APB是等腰直角三角形，

∴∠OBP=∠ABP=45°，

∴∠ABO=∠OBP+∠ABP=45°+45°=90°，

∴四边形ABOC是正方形，故③正确；

作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'交y轴于点Q，连接BQ，

∴BQ=B'Q，

∵△BCQ的周长为BQ+BC+CQ，

∴△BCQ的周长为B'Q+CQ+BC≥CB'+BC，

∵BC是定值，

∴BQ+CQ的最小值就是B'C，

∴△BCQ的周长的最小值为CB'+BC；

∵点B的横坐标为1，

∴，

∴点B，

∴点B'

∵OP=OA=2，点B和点C关于点P对称，

∴点C的横坐标为3，

当x=3时，，

∴点C，

∴，

，

∴△BCQ的周长的最小值为，故④正确；

∴正确结论的个数为4个.

故答案为：D.【分析】将点A的坐标代入两个函数解析式的一个，可得到关于b的方程，解方程求出b的值，可对①作出判断；

将b的值代入函数解析式，可得到两函数解析式，可知两抛物线的形状相同，大小相等，同时可求出两个抛物线的顶点坐标，利用函数解析式及顶点坐标可知两个函数图象关于x轴对称，由点P为线段OA的中点，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象关于点P成中心对称图形，可知点B，C关于点P对称，可证得PB=PC，可对②作出判断；

由两抛物线的顶点坐标分别为（2，2）和（2，-2），且两抛物线关于x轴对称，可证BC和OA互相垂直平分，利用垂直平分线的性质可推出OB=AB=OC=AC，即可得到四边形ABOC是菱形；再利用两抛物线的顶点坐标及点A的坐标，可证得BP=OP=AP=2，由此可推出△OBP和△APB是等腰直角三角形，据此可得到∠ABO=90°，然后利用有一个角是直角的菱形是正方形，可对③作出判断；

作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'交y轴于点Q，连接BQ，利用轴对称的应用-最短距离问题可知△BCQ的周长的最小值为CB'+BC；利用点B的横坐标，可得到点B和点B'的坐标，再利用对称性可得到点C的横坐标，再求出点C的纵坐标，可得到点C的坐标；然后利用平面直角坐标系中，两点之间的距离公式，分别求出BC，B'C的值，即可得到△BCQ周长的最小值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则ab＝．【答案】2【解析】【解答】解：∵（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，

∴a-1=0且b-2=0，

解之：a=1且b=2，

∴ab=1×2=2.故答案为：2.【分析】利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a、b的值，然后代入求出ab的值.12．2024年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长5%左右，城镇新增就业1200万人以上……将数“1200万”用科学记数法表示为．【答案】1.2×107【解析】【解答】解：∵1万=104，

∴1200万=1.2×107.故答案为：1.2×107.【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值大于10的数，因此n=整数数位-1（注意：1万=104）.13．一个不透明的袋中装有6个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则m＝．【答案】9【解析】【解答】解：∵一个不透明的袋中装有6个白球和m个红球，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，

∴

解之：m=9.故答案为：9.【分析】由题意可知有6个白球，球的总个数为（6+m）个，再根据从袋中随机取出一个球是白球的概率为，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.14．小王前往距家2000米的公司参会，先以v0（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以v0（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有分钟．【答案】5【解析】【解答】解：由题意可知步行的速度v0=800÷10=80米/分，

∴2000÷80=25分钟，

∴若小王全程以v0（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始的时间为14+16-25=5分钟.故答案为：5.【分析】利用函数图象可知步行800米用时10分钟，可求出步行的速度v0，再利用路程÷速度等于时间，可求出步行2000米用的时间，然后利用图象及再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，列式计算即可求解.15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为．【答案】【解析】【解答】解：连接AF，EF，过点F作FH⊥AB于点H，∵以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，

∴AD=AE=AF=2，

∵再以AB为直径作半圆，与交于点F，

∴AE=BE=2，AE=EF，

∴AF=AE=EF=2，

∴△AEF是等边三角形，

∴∠FAE=∠AEF=60°，AH=1，

∴FH=AH·tan∠FAE=AH·tan60°=

∴S扇形FAE=，

S弓形AF=，

∴S阴影部分=S半圆AB-S扇形FAE-S弓形AF=

故答案为：.【分析】连接AF，EF，过点F作FH⊥AB于点H，利用已知条件可证AF=AE=EF=2，可得到△AEF是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得∠FAE=∠AEF=60°，AH=1，利用解直角三角形求出FH的长；再利用扇形的面积公式及三角形的面积公式可求出扇形FAE，弓形AF的面积；然后根据S阴影部分=S半圆AB-S扇形FAE-S弓形AF，代入计算可求出结果.16．在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4．若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是．【答案】2＜AB＜8【解析】【解答】解：如图，∵△ABC是锐角三角形，

当∠ABC=90°时，

∴∠ACB=90°-∠A=90°-60°=30°，

∴；

当∠ACB'=90°时，

∴∠B'=90°-∠A=90°-60°=30°，

∴AB'=2AC=2×4=8，

∴若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是2＜AB＜8.

故答案为：2＜AB＜8.【分析】利用锐角三角的定义，分情况讨论：当∠ABC=90°时，利用直角三角形的两锐角互余可求出∠ACB的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长；当∠ACB'=90°时，利用直角三角形的两锐角互余可求出∠B'的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB'的值，从而可得到边AB长的取值范围.三、解答题（本大题共8个小题、共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．先化简，再求值：（1），其中x＝3．【答案】解：当时，原式.【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分子分母分解因式，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将x的值代入化简后的代数式进行计算.18．我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：（1）本次共抽取了▲名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．【答案】（1）400

解：∴D等级的人数为：400﹣120﹣160﹣80＝40（名），补全条形统计图如下：（2）2000×＝800（人），答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800人；（3）画树状图如下：，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中的结果有8种，∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．【解析】【解答】解：（1）本次抽取的学生人数为：80÷20%＝400（名）

故答案为：400.

【分析】（1）观察两统计图，用C等级的人数÷C等级的人数所占的百分比，列式计算可求出本次抽取的学生人数；再利用条形统计图求出D等级的人数；然后补全条形统计图.

（2）利用该校学生的总人数×竞赛成绩为B等级的学生人数所占的百分比，列式计算即可.

（3）由题意可知，此事件是抽取不放回，列出树状图，再根据树状图可得到所有等可能的结果数和甲、乙两人中恰好有1人被选中的情况数，然后利用概率公式进行计算.19．2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？【答案】（1）设出A，B两款纪念品的进货单价分别为x，y．则，解得，答：A，B两款纪念品的进货单价分别为80元和60元．（2）设购买m件B种纪念品，（70﹣m）件A种纪念品，根据题意，得60m+80（70﹣m）≤5000，解得m≥30，答：至少应购买B款纪念品30个．【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：3×A款的进货单价-2×B款的进货单价=120；1×A款的进货单价+2×B款的进货单价=200；再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解，最后作答即可.

（2）此题的等量关系为：购进A款的数量+购进B款的数量=70；购进这两款纪念品共70个：总费用≤5000；设购买m件B种纪念品，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的最小整数解即可.20．如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y的图象相交于A（m，4），B（4，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若点C（t，t）在一次函数的图象上，直线CO与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线CD在图中的一个特征．【答案】（1）解：两点在反比例函数图象上，，在一次函数的图象上，，解得，一次函数解析式为；（2）由题意可知，直线CD的解析式为，联立得，解得，点，直线CD与直线AB互相垂直.【解析】【分析】（1）根据点A、B都在反比例函数图象上，分别将点A、B的坐标代入反比例函数解析式，可求出m、n的值，可得到点A、B的坐标；再将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组可求出k、b的值，可得到一次函数解析式.（2）利用点C的坐标（横纵坐标都相等），可求出直线CO的函数解析式，将直线CO的函数解析式和反比例函数解析式联立方程组，求出方程组的解，可得到点D的坐标；再观察直线CD和直线AB两函数解析式的k的值，可得到直线CD和直线AB的位置关系.21．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在⊙O外，延长DC，AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，DG＝DC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE＝8，求DF的长．【答案】（1）证明：连接OC，∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∵∠DGC＝∠AGF，∴∠DCG＝∠AGF，∵DF⊥AB，∴∠AFG＝90°，∴∠A+∠AGF＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCG+∠ACO＝90°，∴∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：由(1)知，，∵OC＝6，CE＝8，∵OA＝6，点F为线段OA的中点，∴EF＝13，∵∠DFE＝∠OCE＝90°，∠E＝∠E，∴△OCE∽△DFE，【解析】【分析】（1）连接OC，利用等边对等角及对顶角的性质可推出∠DCG＝∠AGF，利用垂直的定义可证得∠AFG=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可推出∠A+∠AGF＝90°；再利用等腰三角形的性质可推出∠DCG+∠ACO＝90°，即可证得OC⊥DE，利用切线的判定定理可证得结论.

（2）利用切线的性质可知∠OCE=90°，利用勾股定理求出OE的长，同时利用线段中点的定义可求出OF的长，根据EF=OF+OE可求出EF的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，证得△OCE∽△DFE，利用相似三角形的对应边成比例可求出DF的长.22．如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．（1）求B，C两处的距离；（2）该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）【答案】（1）由题意得，∠ACB＝∠ABC＝30°，∴AB＝AC＝海里，过A作AH⊥BC于H，如图：

∴∠AHC＝∠AHB＝90°，CH＝BH，∴CH＝BH＝AB＝×＝8（海里），∴BC＝16海里，答：B，C两处的距离为16海里；（2）解：过D作DG⊥BC于G，在Rt中，，在Rt中，，，，(海里)，(海里)，(海里)，渔政船的航行时间为(小时).【解析】【分析】（1）利用已知条件：灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，C处在灯塔A的北偏东30°方向及平行线的性质可证得∠ACB＝∠ABC＝30°，利用等角对等边可求出AC的长；过A作AH⊥BC于H，利用垂直的定义和等腰三角形三线合一的性质可证得∠AHC＝∠AHB＝90°，CH＝BH，利用解直角三角形求出CH、BH的长，即可得到BC的长.（2）过D作DG⊥BC的延长线于G，在Rt△BDG和Rt△CDG中，利用解直角三角形分别表示出BG、CG的长，根据BC=BG-CG，代入可得到关于DG的方程，解方程求出DG的长，从而可求出BG的长；然后利用勾股定理求出BD的长，即可求出渔政船的航行时间.23．（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若∠BAD＝∠C，则AB2＝BD•BC，请证明；（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D为边BC的中点，CA＝CD＝2，点E在AB上，连接AD，DE．若∠AED＝∠CAD，求BE的长；（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE＝4，DG＝6，求FG的长．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴，∴AB2＝BD•BC；（2）解：过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，则∠AFC＝∠AGD＝90°，

∴CF∥DG，∠BAC＝60°，为BC的中点，∴△BDG∽△BCF，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠AED＝∠CAD，∴∠AED＝∠CDA，∴∠AED+∠BED＝∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠BED＝∠BDA，∵∠DBE＝∠ABD，∴△BED∽△BDA，∴，即，解得：；（3）解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∴，AD＝AB＝BC＝5，AD∥BC，∵∠ABC＝2∠EBF，∴∠ABD＝∠CBD＝∠EBF，∴∠EBF﹣∠DBF＝∠CBD﹣∠DBF，即∠DBE＝∠CBF，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠G，∴∠DBE＝∠G，∵∠DEB＝∠BEG，∴△BED∽△GEB，∴，∵DG＝6，∴EG＝DE+6，∴，

解得：DE＝2，负值舍去，∴EG＝2+6＝8，∴AE＝AD﹣DE＝3，∵AE2+BE2＝32+42＝52＝AB2，∴△ABE为直角三角形，∠AEB＝90°，∴∠BEG＝180°﹣90°＝90°，∴在Rt△BEG中根据勾股定理得：，∴，∵AD∥BC，∴△DFG∽△CFB，∴即，解得：．【解析】【分析】（1）图形中隐含公共角∠ABD＝∠CBA，再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABD∽△CBA，利用相似三角形的对应边成比例，可证得结论.（2）过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，可推出CF∥DG，∠BAC=60°，利用解直角三角形求出CF，AF的长；利用线段中点的定义可求出BD的长，由DG∥CF，可证得△BDG∽△BCF，利用相似三角形的性质可求出DG的长，利用勾股定理求出BG的长，即可得到BF、AB的长；再利用两组对应角分别相等的两三角形相似去证明△BED∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例可求出BE的长.

（3）连接BD，利用菱形的性质可证，AD＝AB＝BC＝5，AD∥BC，结合已知可推出∠DBE＝∠CBF，利用平行线的性质可推出∠DBE＝∠G，利用两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△BED∽△GEB，利用相似三角形的性质可求出DE的长，可得到EG、AE的长，再根据勾股定理的逆定理可证得∠AEB=∠BEG=90°，在Rt△BEG中利用勾股定理求出BG的长，据此可表示出BF的长；再由AD∥BC，可推出△DFG∽△CFB，利用相似三角形的性质可求出FG的长.24．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B（4，0），BC＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值；（3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE＝2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解：∵B（4，0），∴OB＝4，把，代入函数解析式得：解得：，（2）解：∵B（4，0），C（0，4），∴设直线BC的解析式为：y＝kx+4（k≠0），把B（4，0）代入，得：k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，设，则，，，，，当时，的最大值为；（3）解：令，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴A（﹣2，0），∵C（0，4），点E为AC的中点，∴E（﹣1，2），

连接CF，如图：

∵FE⊥AC，∴AF＝CF，∴∠AFE