导数的概念教学案例

导数的概念(函数的变化率)教学案例

教学过程:

教内容师生活动设计意图

学

环

节

复【回顾1】教材53页例1学生相互针对新概

习交流探讨瞬念创设相应的

【回顾2］已知函数f(x)=-

引时速度和和学生熟悉的问

4.9x2+6.5x+10

入切线的斜率题情景，让学

提的图象，求曲线上点P(xo,y())处的切线斜两个具体问生从概念的现

出率.题，解决方法实原型，体验、

问上有什么共感受直观背景

【思考】对瞬时速度和切线的斜率两个

题同之处.和概念间的关

具体问题，

系，为学生主

解决方法上有什么共同之处？

动建构新知提

供自然的生长

点.

①归纳共性揭示本质

研

类究本思

求解问题求解方法

对质想

象

比

探平

物均

索体求平极

运求时求位求瞬时速速

物体在to时

动间移均限

的瞬时速度度

规增量增量速度思

度1.Ah

形律AtAhv=hm——的

eo4

想

H=4

极

h⑺

成具

体限

概例割

子

线

念求割极

曲线上

曲求横求纵求切线的斜

P(xo,yO)

线坐标坐标线的限

点处斜率率

增量增量

y=f切线的斜斜率思

(X)Z=lim包的

Ax4y2。At

率包想

Ax

极

限

—-函函数在

般数x=xo

?•9•?*?■?•9•

情y=处的变化

形fix)率

【师生活动】将学生分成若干学习小组,以表格为载体为师生、生生互

动搭起积极交流的探究平台.教师巡视，鼓励学生参与，对个别学有困

难的小组加以指导.探究后，共同归纳得出：两个问题的解决在方法、

本质、思想上都有相同之处.一个是“位移改变量与时间改变量之比”的极

限，一个是“纵坐标改变量与横坐标改变量之比”的极限.如果舍去它们的

具体含义,都可以概括为求平均变化率的极限.

【设计意图】给学生创设探究的平台，分析瞬时速度和切线的斜率两个

具体问题，讨论解决这两个问题的方法、本质、思想上有什么共同之处,

引导学生分析、观察、归纳，打通揭示事物本质的思维通道.

教内容师生活动设计意

学图

环

引导学生利用求瞬用

②类比迁移形成概念

类时速度的方法和思想类具体至U

【思考】考虑求一般函数y=f(x)

比探究，猜想得出函数在抽象，特

比在点x0到与+Ar之间的平均变化

点所处的变化率布包

4r->0/|y殊到一

率的极限问题，也就是怎样计算函

探般的思

二11m7(%+&)-。(/)，并

数在点与处的变化率？zk->0JL¥

维方式，

索对猜想的合理性进行分

利用瞬

析后，引出

时速度

形定义1：(函数在一点处可

引出导数定义后，回归问题情进行类

导及其导数)

成景，反思概念的“原型”解释“切线比迁移，

的斜率”、“物体的瞬时速度”的本自然引

概

质.出函数

念在一点

处可导

和导数

的概念.

由

具体到

抽象再

回至U具

体的过

程，感知

上升到

了理性，

强化了

对概念

的理解.

引

③剖析概念加深理解

组织学生阅读“导数”

类导学生

【探讨1]怎样判断函数在一点定义，抓住定义中的关键

以数学

比是否可导？词“可导，，与“导数”交流

语言(文

探讨，然后通过师生互动

探判断函数y=/(x)在点/处是否可字语言、

挖掘这些概念之间的深

导符号语

索层含义.

转化4判断极限言、图

形语言)

是否

形-zlx

的理解、

存在

成把握、运

【探讨2】导数是什么？用为切

概

分析导数的本质后，同入点去

描述角度本质

念时简单提及导数产生的揭示概

文字语言瞬时变化率

时代背景.念的内

符号语言lim—

4r->04V涵与外

图形语言（切线斜率）

延，提高

学生数

学阅读

和自主

学习的

能力.

让学

生感受

数学文

化的熏

陶，了解

导数的

文化价

值、科学

价值和

应用价

值.

教学内容师生活动设计意图

环

节

【探讨3］求导数的方法是什让学生类比瞬时用定义法

类么？速度的问题，根据导数求导数是本课

定义归纳出求函数的重点之一.有

比

y=/(A)在点与处导数了可导这个逻

探的方法步骤：辑基础，导数成

(1)求函数的增量；为可导的自然

索

(2)求平均变化率；结果，求导数的

形(3)取极限，得导数.方法则是对导

数概念的理解

成

与应用.让学生

【例1】求函数丫=好在点x=l处

概积极主动参与，

的导数.

进行有意义的

念

建构，有利于重

学生动手解答，老

点知识的掌握.

师强调符号语言的规

范使用，对诸如(4)2忘

写括号的现象加以纠

本题是教材

正.

上的一道例题.

在学生建立起

导数概念，明确

用定义求导数

的方法之后，进

行强化训练，渗

透算法思想，加

深对导数概念

的理解，强化对

重点知识的巩

固.

利用例1继续设问，函数师生互动，共同通过层层

引在X=1处可导，那么x=-l,探讨归纳函数在开区展开的探讨，激

申x=2,x=3这些点也可导吗？间（4,份的每一点可导，活学生知识思

拓从而引申拓展出定义2：（函数每一点就有确定的唯维的“最近发展

展在开区间（4,份内可导）一的导数.这样在开区区”，引导学生

间侬⑼为构成一个特主动将新问题

【探讨11函数在开区间内

发殊的映射，这里的映射与原认知结构

可导，那么对于每一个确定的

展是数集到数集的映射，中函数的相关

值，都有唯一确定的导数值与

概就是函数，我们把这个知识相联系，自

之相对应，这样在开区间内存

念新函数叫做了（幻在开然引入导函数

在一个映射吗？

区间（。力）内的导函数。概念，从而完成

它的定义域是从函数在一点

【探讨2】存在的这个映射

可导-函数在

是否构成一个新的函数呢？若

开区间内可导

能，新函数的定义域和对应法-函数在开区

则分别是什么呢？间内的导函数

的两次拓展.

教学内容师生活动设计意图

环

节

开区间（〃,力，对应法则

【探讨3］怎样求新函

是对开区间内每一点求

数的解析式？

导.运用函数思想，只要

把求一点处的导数所替

探讨后引出定义3：（函换成X,就可以求出导

数y=/（x）在开区间（。涉）内的函数的解析式.

引

导函数）本例

|||共两个小

分学习小组让学

【例2】已知y二七，求问，第⑴小

拓生动脑思考，动手“操

（1）y；（2）外=2.问是教材上

作”，相互交流。书面总

展的一道例

结出两小问的区别与联

题，第（2）小

系，选出代表作品用投

问是补充

影仪全班交流.完善后，

题.两问都

发屏幕显示形成共识：

是求导数，

【区别】

展（1）函数/（X）在但它们有本

点X。处的导数，是在点质上的区

概

X。处的变化率，是一个别！学生容

念常数；易产生混

（2）函数的淆.通过此

导数是对开区间内任意题让学生辨

点X而言，是/（X）在开清“函数

区间内任意点1的变化/3）在一点

率，是一个函数.处的导数''、

【联系】一般而“函数/（X）

言，y=7（x）在"0处的导在开区间内

数就是导函数（。）在的导数”与

x=x。处的函数值，表示“导数”三者

为川口而，这也是求的关系.

/（%）的一种方法.

教学内容设计意图

环节

练习：设计练习1,巩固

练1.已知丁二小—21+1,求y,yr\.x=2.求导方法；设计

习2.设函数段)在祀处可导，练习2,通过适当

反则］皿/(/+小)一/(/一小)等于的变式训练，揭示

zk->0Jx

馈概念的内涵，提高

A./(x0)B.OC.2f(xo)D.-2f(xo)

学生的模式识别

3.已知一个物体运动的位移S(m)与时

巩的能力，培养学生

间t(s)

固思维的深刻性和

满足关系S(t)=-2t2+5t

概(1)求物体第5秒和第6秒的瞬时速度；灵活性；设计练习

念(2)求物体在t时刻的瞬时速度；3,体验实际应用，

春福当额?时刻运动的加速度，并判断物

展示概念的外延，

让学生认识到数

学来源于生活并

应用于生活.通过

练习，反馈学生对

知识技能的掌握

情况，以便及时调

节教学，更好的达

成教学目标.

)，=/。)在％处可导及其导数引导学生从知识、

小1

①知识层前：y=/(x)在开口间(a,〃)内可导方法、思想和应用

结

"y=f(x)在开区间(。,。)内的导数四个层面进行小

整

②方法层面:用定义求导数的三个步:骤结，理清知识结

理

③思想层面:极限思想、函数思想、类比思构，提炼数学方法

形想、转化思不和领悟数学思想，

成④应用层面：举出生活中与导数有关的实例培养应用意识.

系(涉及变化率问题的问题可以考虑用导数解

统决).

必做题：1.教材跑P56习题3-11,2弹性的分层作业，

分2.已知13)=2,尸⑶=-2,则lim2x-3/(x)的值照顾到各种层次

13x-3

层为的学生.补充的必

作(A)0(B)-4(C)8(D)做3,为下节课研

业不存在究导数的几何意

3.已知曲线C是函数〃幻=2雄+1的图象义打下伏笔.可导

(1)求点A(l,3)处的切线的斜率与连续的关系，设

深(2)求函数在x=l处的导数计成选作题，既不

化选做题：1.有条件的同学上网查阅有关微积影响主体知识建

概分产生的时代背景和历史意义的资料并交流构,又能使学有余

念讨论.力的学生得到进

2.函数/(%)=园在x=0处是否可导？一步的发展.利用

3.函数受九工)在x=xo处可导是它在x=xo处连续网络，便于学生开

的展自主学习，拓展

A.充分不必要条件B.必要不充分条学习方式和平台.

件

C.充要条D.既不充分也不

必要条件

个人教学设计模板:

个人教学设计

课题名称：正视发展挑战

工作单

姓名

位

教材版

年级学科九部编

本

一、教学内容分析（简要说明课题来源、学习内容、知识结构图以及学习内容

的重要性）

本课所依据的课程标准的相应部分一是“课程目标”，具体对应的内容

标准是：“体会生态环境与人类生存的关系，爱护环境，形成勤俭节约、珍惜

资源的意识”；“掌握爱护环境的基本方法，形成爱护环境的能力”；“理解人

类生存与生态环境的相互依存关系，认识当今人类所面临的生态环境问题及其

根源，掌握环境保护的基础知识:

本课所依据的课程标准的相应部分二是“成长中的我”中的“自尊自强

具体对应的内容标准是：“认识生命形态的多样性，理解人类生命离不开大自

然的哺育。”

本课所依据的课程标准的相应部分三是“我与国家和社会”中的“认识国

情，爱我中华”与“法律与秩序:具体对应的内容标准是：“知道我国的人口、

资源、环境等状况，了解计划生育、保护环境、合理利用资源的政策，形成可

持续发展意识”；

二、教学目标（从学段课程标准中找到要求，并细化为本节课的具体要求，目

标要明晰、具体、可操作，并说明本课题的重难点）

1.了解我国人口和资源环境的现状及特点，认识人口和资源环境问题对我

国经济和社会发展的影响，明确我国面临严峻的人口、资源和环境问题；

2.收集整理我国人口、资源、环境方面的材料，提高自己的认识，积极宣

传计划生育基本国策，以实际行动保护资源环境；

3.体会人口和环境问题对于人类发展的影响，理解计划生育和保护环境的

必要性和重要性，树立计划生育和保护资源环境的观念；

三、学习者特征分析（学生对预备知识的掌握了解情况，学生在新课的学习方

法的掌握情况，如何设计预习）

到了初中阶段，随着学生年龄的增长和认知水平的提高，要把握人口、资

源、环境国情和相关政策，课程与现实生活都对学生提出了更高的要求。（义

务教育思想品德课程标准（2011年版》有更明确的规定，要求学生增强环境保

护意识，形成可持续发展意识，自觉履行保护环境的义务。中学生应了解和学

习党和国家有关生态文明建设的路线、方针、政策，知道关于生态文明建设的

理论观点，比如，“婴像保护眼睛一一样保护生态环境”“绿水青山就是金山银

山”“永续发展”“绿色道路”“美丽中国”等相关内容。

青少年是祖国的未来和民族的希望，其整体索质决定着国家未来的发展方

向。中学生处于人生的特殊阶段，处于生态文明价值观形成的关键期，他们在

人口、资源和环境等方面的认知水平和行为选择能力，需要正确引领并促使其

转化为建设美丽中国的积极力量。当前，因为家庭教育、学校教育和社会宣传

等方面存在真空、缺失或者不力的地方，部分学生在日常生活、研学旅行、参

观访问等活动中，还存在着浪费资源、破坏环境等生态意识淡薄的行为。加大

对中学生资源环境国情教育和生态意识培育的力度，增强青少年对环境的忧患

意识，引导学生持续关注生态文明建设，促进人与自然和谐共生，是建设美丽

中国、实现中华民族永续发展不可或缺的重要一环，也是促进中学生全面发

展和核心素养培育的内在要求。

四、教学过程（设计本课的学习环节，明确各环节的子目标，画出流程图）

导入新课一一新课探究一一课堂小结一一随堂训练

五、教学策略选择与信息技术融合的设计（针对学习流程，设计教与学的方式

的变革，配置学习资源和数字化工具，设计信息技术融合点）

教师活动预设学生活动设计意图

近年来，尽管生态

环境状况明显好转，但

要达到“污染物排放总

量大幅减少，生态环境

质量总体改善”的目标，

大气、水、土壤治理……思考：“还有一场场硬

还有一场场硬仗要打，仗要打”给我们什么警一、导入新课

中央环保督察、“水十示？

条”"土十条”、史上最

严环保法……在已有举

措基础上，2018年新亮

相的环保税、新扩围的

水资源税试点、新修订

的水污染防治法等措

施，向世界展现中国坚

决打赢污染防治攻坚战

的决心和信心，无疑将

成为今年全国两会关注

的焦点。

教师总结：我国还

面临着严峻的资源环境

形势，要直面发展挑战，

采取切实措施解决问

题。

这节课我们就一起

来探讨环保问题。

（一）我国人口的基本

目标导学一：发展特点

中的人口问题1.阅读教材第75—76

2.问题：3.教师页”探究与分享

二、新课讲授

总结：我国是世界上人阅读材料，分圻数据，

口最多的国家，这是我从国民受教育程度看，你

国社会主义初级阶段的认为我国人口文化素质的

重要国情。人口基数大，基本状况如何？对我国经

人口素质偏低，是我国济社会有何影响？

人口现状的基本特点。（二）人口问题始终是

我国人口状况还呈现出我国面临的全局性、长期

增速趋缓、出生率低、性、战略性问题

老龄化加剧、男女性别思考：对人口问题的

比失衡、城乡分布不均严峻性，你是怎么认识

衡、“独生子女”社会问的？

题凸显等一系列新的特

八占、、OO

1.材料呈现：研究

表明，中国城镇化进程

的加速推进，带来人类

历史上最大规模的人口

迁移，人口过度集中于

东南沿海等经济发达地

区，给流入地的资源、

环境、住房、交通、劳

动力成本等带来了一系

列挑战一一“交通拥堵”

"停车难”"房价飞涨”

（三）计划生育基本国

“入园入托难”“垃圾围

策必须长期坚持

城”等“大城市病”日

益严重，也给流出地带

问题：这样做有利于

来了人才流失、空巢家落实什么基本国策？对这

庭、留守家庭等社会问一国策你有什么认旗？

题。

23.师生共同总结:

(1)人口问题已经成为

一个日益严峻的全球性

问题，成为人类社会面

临的重大挑战之一。人

口问题加重了资源和环

境的压力，也带来了严

重的社会问题。(2)人口

问题始终是我国面临的

全局性、长期性、战略

性问题。在未来相当长

时期内，我国人口众多

的基本国情不会根本改

变，人口对经济社会发

展的压力不会根本改

变，人口与资源环境的

紧张关系不会根本改

变。计划生育基本国策

必须长期坚持。

1.材料展示：为鼓

励市民按政策生育，解

决“生得起、生得好”

的问题，湖北省襄阳市

政府办下发通知，将围

绕孕前、孕期、分娩到

分娩后全生育过程，为

符合国家生育政策的孕

产妇提供七项免费基本

医疗保健服务，全面实

施基本生育服务免费制

度。

3.师生共同总结：

(1)实行计划生育，就是

要控制人口数量，提高

人口素质。我国实行计

划生育以来累计少生四

亿多人，有效地缓解了

人口对资源、环境的压

力，有力地促进了经济

发展与社会进步。计划

生育基本国策必须长期

坚持。（2）生育要有计

划，但计划并非一成不

变，而要随着人口和经

济社会发展形势的变化

不断完善。

结合教材第80页

“拓展空间”内容，制

作向社区居民宣传土壤

了解作业三、作业布置

保护重要意义的手抄报

一份，并互相交流。

通过这节课的学

习，我们对我国的人口

问题、资源问题和环境

问题有了大致的了解，

知道了我国面临严峻的

四、课堂总结

形势，人口问题始终是互动、查漏补缺

我国面临的全局性、长

期性、战略性问题，在

未来相当长时期内不会

改变。知道了我国资源

环境面临严重危机，资

源问题严重影响经济的

可持续发展，使经济发

展的空间和后劲也会越

来越小。知道了环境恶

化加剧自然灾害的发

生，严重破坏生态平衡，

威胁着人民的生命安全

和身体健康。明确了坚

持绿色发展，走生产发

展、生活富裕、生态良

好的文明发展道路，是

我国的必然选择。

六、教学板书（本节课的教学板书）

,发展中的］J我国实行计划生育的原因］

［人口问题厂

4我国实行计划生育的意义〕

［展力弋

式资源环境问题的表现）

资源环

面临危机4我国的资源现状及其影响'

M我国的环境现状及其危害'

1J

个人教学设计模板:

个人教学设计

课题名称：正视发展挑战

工作单

姓名

位

教材版

年级学科九部编

本

一、教学内容分析（简要说明课题来源、学习内容、知识结构图以及学习内容

的重要性）

本课所依据的课程标准的相应部分一是“课程目标”，具体对应的内容

标准是：“体会生态环境与人类生存的关系，爱护环境，形成勤俭节约、珍惜

资源的意识”；“掌握爱护环境的基本方法，形成爱护环境的能力”；“理解人

类生存与生态环境的相互依存关系，认识当今人类所面临的生态环境问题及其

根源，掌握环境保护的基础知识:

本课所依据的课程标准的相应部分二是“成长中的我”中的“自尊自强

具体对应的内容标准是：“认识生命形态的多样性，理解人类生命离不开大自

然的哺育。”

本课所依据的课程标准的相应部分三是“我与国家和社会”中的“认识国

情，爱我中华”与“法律与秩序:具体对应的内容标准是：“知道我国的人口、

资源、环境等状况，了解计划生育、保护环境、合理利用资源的政策，形成可

持续发展意识”；

二、教学目标（从学段课程标准中找到要求，并细化为本节课的具体要求，目

标要明晰、具体、可操作，并说明本课题的重难点）

4.了解我国人口和资源环境的现状及特点，认识人口和资源环境问题对我

国经济和社会发展的影响，明确我国面临严峻的人口、资源和环境问题;

5.收集整理我国人口、资源、环境方面的材料，提高自己的认识，积极宣

传计划生育基本国策，以实际行动保护资源环境；

6.体会人口和环境问题对于人类发展的影响，理解计划生育和保护环境的

必要性和重要性，树立计划生育和保护资源环境的观念；

三、学习者特征分析（学生对预备知识的掌握了解情况，学生在新课的学习方

法的掌握情况，如何设计预习）

到了初中阶段，随着学生年龄的增长和认知水平的提高，要把握人口、资

源、环境国情和相关政策，课程与现实生活都对学生提出了更高的要求。（义

务教育思想品德课程标准（2011年版》有更明确的规定，要求学生增强环境保

护意识，形成可持续发展意识，自觉履行保护环境的义务。中学生应了解和学

习党和国家有关生态文明建设的路线、方针、政策，知道关于生态文明建设的

理论观点，比如，“婴像保护眼睛一一样保护生态环境”“绿水青山就是金山银

山”“永续发展”“绿色道路”“美丽中国”等相关内容。

青少年是祖国的未来和民族的希望，其整体索质决定着国家未来的发展方

向。中学生处于人生的特殊阶段，处于生态文明价值观形成的关键期，他们在

人口、资源和环境等方面的认知水平和行为选择能力，需要正确引领并促使其

转化为建设美丽中国的积极力量。当前，因为家庭教育、学校教育和社会宣传

等方面存在真空、缺失或者不力的地方，部分学生在日常生活、研学旅行、参

观访问等活动中，还存在着浪费资源、破坏环境等生态意识淡薄的行为。加大

对中学生资源环境国情教育和生态意识培育的力度，增强青少年对环境的忧患

意识，引导学生持续关注生态文明建设，促进人与自然和谐共生，是建设美丽

中国、实现中华民族永续发展不可或缺的重要一环，也是促进中学生全面发

展和核心素养培育的内在要求。

四、教学过程（设计本课的学习环节，明确各环节的子目标，画出流程图）

导入新课一一新课探究一一课堂小结一一随堂训练

五、教学策略选择与信息技术融合的设计（针对学习流程，设计教与学的方式

的变革，配置学习资源和数字化工具，设计信息技术融合点）

教师活动预设学生活动设计意图

近年来，尽管生态

环境状况明显好转，但

要达到“污染物排放总

量大幅减少，生态环境

质量总体改善”的目标，

大气、水、土壤治理……思考：“还有一场场硬

还有一场场硬仗要打，仗要打”给我们什么警一、导入新课

中央环保督察、“水十示？

条”"土十条”、史上最

严环保法……在已有举

措基础上，2018年新亮

相的环保税、新扩围的

水资源税试点、新修订

的水污染防治法等措

施，向世界展现中国坚

决打赢污染防治攻坚战

的决心和信心，无疑将

成