重庆市合川中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

合川中学高2026届高二（下）第一次月考数学试题（全卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.2.抛物线在点处的切线的斜率为（）A B. C. D.13.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A.为的极小值点 B.为的极大值C.在区间上，是增函数 D.在区间上，是减函数4.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的极小值为 B.的极大值为C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减5.用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（）A.120个 B.72个 C.60个 D.48个6.函数的单调递增区间是（）A.， B. C. D.7.函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分.9.已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.10.现安排高二年级，，三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（）A.所有可能的方法有种B.若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有种C.若同学必须去工厂甲，则不同的安排方法有种D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有种11.关于函数，下列判断正确的是（）A.函数的图像在点处的切线方程为B.是函数的一个极值点C.当时，D.当时，不等式解集为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.已知函数的极大值为，则实数_______.13.用长为铁丝围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问：当长方体的长为_________m时，该长方体的体积最大值为________m3.14.已知函数，若关于的方程有个不同实根，则实数取值范围为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求过点且与曲线相切的直线的切点坐标.16.已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.（1）求函数的解析表达式；（2）求函数的极值.17.已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若函数在上不具有单调性，求实数的取值范围.18.消毒液已成为生活必需品，日常的消费需求巨大．某商店销售一款酒精消毒液，每件的成本为元，销售人员经调查发现，该款消毒液的日销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式．（1）求该款消毒液日利润与销售价格间的函数关系式；（2）求当该款消毒液每件售价为多少元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，并求出日最大利润．19.设函数，.（1）当时，判断函数的单调性；（2）若函数在定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围；（3）设两个不同的极值点为，证明：.

合川中学高2026届高二（下）第一次月考数学试题（全卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据导数运算公式和复合函数的求导法则计算即得.【详解】对A，，故A错误；对B，，故B错误；对C，令，则，故C正确；对D，为常数，所以，故D错误.故选：C2.抛物线在点处的切线的斜率为（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】求出导函数，令求出即为切线的斜率.【详解】令，得，得故选：D3.已知函数导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A.为的极小值点 B.为的极大值C.在区间上，是增函数 D.在区间上，是减函数【答案】B【解析】【分析】根据导函数的图象，分析出函数的单调性及单调区间，再逐项分析即可.【详解】由导函数的图象可知，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以为的极大值点，故A、D错误；当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以为的极大值点，即为的极大值，故B正确，函数在单调递减，在上单调递增，所以C错误.故选：B4.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的极小值为 B.的极大值为C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减【答案】B【解析】【分析】求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调区间，进而求出函数的极值.【详解】因为，所以，令，得或；令，得；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，所以在处有极大值，极大值为；在处有极小值，极小值为.故选：B.5.用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（）A.120个 B.72个 C.60个 D.48个【答案】D【解析】【分析】根据分步乘法原理，先安排个位数字，再安排余下的4个位置.【详解】根据题意，先安排个位数字，在3和5中选一个共有种，再安排余下的4个位置，有种，所以组成无重复数字的五位数，不同的奇数共有种.故选：D.6.函数的单调递增区间是（）A.， B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导，结合函数的定义域解不等式即可.【详解】因为（），所以（），由.所以函数的单调增区间是.故选：B7.函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求函数的导数，根据切线和直线平行建立在定义域上有解，利用参数分离法进行求解即可.【详解】因，故存在切点，使得，所以有解，由于，，所以（当且仅当取等号），即.故选：D．8.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得：存在，使得，转化成：存在，使得，求出，问题得解．【详解】因为，所以存在，使得，可转成：存在，使得，即：存在，使得，即：，又所以故选B【点睛】本题主要考查了导数的运算公式及计算能力，考查了转化能力及函数的最值求法，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分.9.已知在处取得极大值3，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据原函数极值点即为导函数零点可得，即可知，再根据极大值为3可解得或；易知当时，在处取得极小值，与题意不符，当时，函数在处取得极大值，符合题意，可得，，即，即可判断出结论.【详解】由题意可得，且是函数极大值点，即，可得，又极大值为3，所以，解得或；当时，，此时，时，，时，所以函数在上单调递减，在上单调递增；此时函数在处取得极小值，与题意不符，即舍去；当时，，此时，时，，时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减；此时函数在处取得极大值，符合题意，所以，，即，所以A正确，B错误；此时，所以，，即C错误，D正确.故选：AD10.现安排高二年级，，三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确是（）A.所有可能的方法有种B.若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有种C.若同学必须去工厂甲，则不同的安排方法有种D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有种【答案】BD【解析】【分析】由特殊元素（特殊位置）优先考虑的原则，再按乘法原理依次判断得解.【详解】A.三位同学依次选择都有4种方法，根据乘法原理有种方法；B.所有选法是64种，甲工厂没有同学去有种故甲工厂必须有同学去有种，C.同学必须去工厂甲，另外两名同学到工厂各有4种方法，故有种；D.三名同学所选工厂各不相同，不同的安排方法有种.故选:BD.11.关于函数，下列判断正确的是（）A.函数的图像在点处的切线方程为B.是函数的一个极值点C.当时，D.当时，不等式的解集为【答案】ACD【解析】【分析】先对函数求导，得到，求出函数的图像在点处的切线方程，即判断A；根据时，恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出时，的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，，所以，因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故A正确；当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；当时，，由得；由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；因此，即；故C正确；当时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；由可得，解得：，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.已知函数的极大值为，则实数_______.【答案】【解析】【分析】由函数解析式求导，根据导数与函数单调性的关系，可得其单调区间，结合极值的定义，可得答案.【详解】由，求导可得，令，解得或，当或时，，当时，，所以在与上单调递减，在上单调递增，故函数的极大值在处取得，即.故答案为：.13.用长为的铁丝围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问：当长方体的长为_________m时，该长方体的体积最大值为________m3.【答案】①2②.3【解析】【分析】设长方体的宽为，体积为，则，利用导数求出的最大值即可求解.【详解】设长方体的宽为，则长方体的长为，故长方体的高为，则，解得，设长方体的体积为，所以，则，令，解得，令，解得，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值为3，此时长为．故答案为：2；314.已知函数，若关于的方程有个不同实根，则实数取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围.【详解】当时，，，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，当时，，，当时，，当时，f'x=3-3x故在上单调递减，在上单调递增，且，画出的图象如下：要想关于的方程有个不同实根，则要函数与有个不同的交点即可，显然当时，符合题意，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求过点且与曲线相切的直线的切点坐标.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切点的坐标.【小问1详解】因为，求导得，故，因此，曲线在点处的切线方程为，即.【小问2详解】设切点坐标为，则曲线在点处的切线的斜率为，故所求切线方程为，将点的坐标代入切线方程得，整理可得，即，解得或，故所求切点的坐标为或.16.已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.（1）求函数的解析表达式；（2）求函数极值.【答案】（1）（2）极大值为，极小值为【解析】【分析】（1）求导，由求得的值，得解；（2）利用导数判断单调性，求出极值.【小问1详解】根据题意，，则，解得，.【小问2详解】由（1），令，解得或，令，解得，所以当或时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得极大值，极大值为，当时，取得极小值，极小值为.17.已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若函数在上不具有单调性，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，由函数单调性以及最值的关系即可得解；（2）由导数求出函数单调区间，结合题意即可列不等式求解.【小问1详解】当时，，定义域为，所以，当时，，单调递减；当时，；当时，，单调递增，所以当时，取到最小值为.【小问2详解】因为，所以，令，得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，又在上不具有单调性，所以，即，所以实数的取值范围为.18.消毒液已成为生活必需品，日常的消费需求巨大．某商店销售一款酒精消毒液，每件的成本为元，销售人员经调查发现，该款消毒液的日销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式．（1）求该款消毒液的日利润与销售价格间的函数关系式；（2）求当该款消毒液每件售价为多少元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，并求出日最大利润．【答案】（1）（2）当该款消毒液每件售价为元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，最大利润为元.【解析】【分析】（1）由可整理得到结果；（2）利用导数可求得函数单调性，验证和的情况即可求得最大利润.【小问1详解】由题意知：，即.【小问2详解】由（1）得：，令，解得：（舍），，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，又，当时，；当时，；当该款消毒液每件售价为元时，每日销售该款消毒液所获得的利润最大，最大利润为元.19.设函数，.（1）当时，判断函数的单调性；（2）若函数在定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围；（3）设的两个不同的极值点为，证明：.【