高职单招函数的单调性与最值必背基础知识点

高职单招函数的单调性与最值必背基础知识点1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.利用定义证明函数f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差；③变形(通常是因式分解、通分、配方)；④判断符号(即判断f(x1)－f(x2)的符号)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定区间D上的单调性)．3.单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．4.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)彐x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)彐x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值5.函数的值域(1)函数f(x)的值域是__函数值y__的集合，记为{y|y＝f(x)，x∈A}，其中A为f(x)的定义域．(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为__R__．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域为当a＜0时，值域为．(4)反比例函数的值域为(-∞,0)∪(0，+∞)．(5)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的值域为__(0，+∞)__．(6)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的值域为__R__．(7)正、余弦函数y＝sinx，y＝cosx的值域为__[－1，1]__；正切函数y＝tanx的值域为__R__．6.∀x1，x2∈D且或⇔f在区间D上单调递增(减)．7.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．8.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与yf(x)，的单调性相反．9.复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u=φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u=φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u=φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．10.函数值域的常见求法：(1)分离常数法形如ac≠0)的函数的值域经常使用“分离常数法”求解．(2)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．(3)换元法二次函数求值域．对于换元法求值域，一定要注意新元的范围对值域的影响．(4)有界性法形如sinα=f(y)，x2＝g(y)，ax＝h(y)等，由|sinα|≤1，x2≥0，ax＞0可解出y的范围，从而求出其值域．(5)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(6)基本不等式法利用基本不等式：a＋b≥20，b＞0)．用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”．(7)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小=f(b)，y最大＝f(a)．③形如的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y的单调减区间为(0，·]，单调增区间为[·,+∞)．一般地，把函数叫做对勾函数，其图象的转折点为(-\lk，2√k)，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．(8)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．11.谨防3种失误(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．12.比较函数值大小的解题思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．13.解函数不等式的解题思路：先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)<h(x))．14.利用单