《应用统计分析》课件-第3章 参数估计

第3章参数估计3.1参数估计概述3.2点估计3.3区间估计3.4样本容量的确定3.5Bootstrap区间估计3.6SPSS应用举例1第1节参数估计概述3.1.1基本思想3.1.2数据的适用范围23.1.1基本思想3统计推断的过程样本总体样本统计量如：样本均值、比例、方差总体均值、比例、方差等3.1.1基本思想4参数估计：在实际问题中，我们经常需要得知一些总体的总体均值、总体方差、总体比例等数量特征，如果我们已知总体中的所有数据值，就可以通过简单的统计描述得到该值。但是，往往会出现总体数据数量太多的情况，在这种情况下我们需要对总体数据进行抽样，通过总体中已有的某些样本统计量去估计总体参数。这样的估计方法称为参数估计。3.1.1基本思想5

3.1.2数据的适用范围6本章介绍的参数估计的方法主要有点估计法、区间估计法、Boostrap区间估计法三种。点估计法：矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法区间估计：对单总体的均值、比例、方差的分析和对双总体的均值差、比例差、方差比的研究Bootstrap：经验Bootstrap法和Bootstrap百分位法3.1.2数据的适用范围7与比例有关的估计问题针对定性数据与均值方差有关的问题则针对定量数据。除Boostrap区间估计外的其他方法均对总体是大样本还是小样本、服从正态分布有具体要求Boostrap区间估计则对数量与服从分布完全没有要求第2节点估计3.2.1矩估计法3.2.2顺序统计量法3.2.3最大似然法3.2.4最小二乘法3.2.5评价估计量的标准83.2点估计9矩估计法最小二乘法最大似然法顺序统计量法估计方法点估计区间估计3.2点估计10用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计无法给出估计值接近总体参数程度的信息虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量3.2.1矩估计法11当想要获得某总体的k阶矩的估计量(如总体均值:一阶矩;总体方差:二阶矩)时,可以使用矩估计法。矩估计法可以对定量数据中的定距数据与定比数据进行处理，且它的估计量与样本容量的大小、服从的分布无关。矩估计法是英国统计学家K.Pearson最早提出的，它的理论基础是辛钦大数定律，是基于“替换思想”建立起来的估计方法。矩估计法的思路为:用样本的k阶矩作为总体的hk阶矩的估计量,建立含待估计参数的方程，从而解出待估计参数。3.2.1矩估计法12记总体k阶原点矩为:样本k阶原点矩为:总体k阶中心距为:样本k阶中心距为:用上述相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就是矩估计法。3.2.1矩估计法矩估计法(例题分析)【例3.1】抽样调查某班10名同学“应用统计学”考试的成绩，调查结果如下表所示。请用矩估计法估计总体的均值和标准差。133.2.1矩估计法矩估计法(例题分析)143.2.1矩估计法矩估计法(例题分析)15因此，由矩估计法公式可得3.2.2顺序统计量法16当想要使用数据排列后某位置的特殊值作为估计量，则可以使用顺序统计量法。顺序统计量法可以对定量数据进行排序、分析处理，且估计量与该数据的样本容量大小、分布情况无关。顺序统计量估计是指用顺序统计量或其函数构造的估计，它的基本思想是:将总体中的某样本的数据按照从小到大的顺序排列后，选取重新排列后某个位置的值代表总体的未知参数值。3.2.2顺序统计量法17

3.2.2顺序统计量法18

3.2.2顺序统计量法19

中位数不受极端值的影响，且满足各变量与中位数的离差绝对值之和最小，即

3.2.2顺序统计量法20

3.2.2顺序统计量法顺序统计量法(例题分析)【例3.2】为了估计某批灯泡的平均寿命μ与灯泡寿命的标准差σ，随机抽取7个灯泡测得寿命数据为:1575,1503,1346,1630,1575,1453,1650h。试用顺序统计量估计法估计μ、σ。213.2.2顺序统计量法顺序统计量法(例题分析)22解：样本顺序统计量的观测值为:1364,1453,1530,1575,1575,1630,1650n=7为奇数，所以μ的顺序统计量估计值为中位数:=x4=1575x7=1650,x1=1364，所以σ的顺序统计量估计值为极差:R=x7–x1=2863.2.3最大似然法23当想要求一个样本集的相关概率密度函数的参数时，可以使用最大似然法。最大似然法可以对定量数据进行分析处理。由于涉及概率密度函数，估计量通常与数据服从的分布有关。当想要求一个样本集的相关概率密度函数的参数时，可以使用最大似然法。最大似然法可以对定量数据进行分析处理。由于涉及概率密度函数，估计量通常与数据服从的分布有关。3.2.3最大似然法24设总体的概率密度为f(x;θ)，其中θ为待估计参数。设X,X，…X。是总体的一个随机样本，由于样本内每个元素是相互独立的，因此有:其中,L(θ)称为样本的似然函数。3.2.3最大似然法25

3.2.3最大似然法最大似然法(例题分析)26【例3.3】设总体X的概率密度为：其中θ>-1，是未知参数，X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，是分别用矩估计和最大似然估计法求θ的估计值。3.2.3最大似然法最大似然法(例题分析)273.2.3最大似然法最大似然法(例题分析)28最大似然估计法：3.2.4最小二乘法29当希望求到与数据匹配的函数表达时，可以使用最小二乘法。最小二乘法可以对定量数据中的定距数据与定比数据进行处理，且它的估计量与样本容量的大小、服从的分布无关。最小二乘法可以是研究一组数据的特征，也可以研究两组数据的关系。“二乘”即平方的意思，“最小二乘法”即“平方和最小”法。最小二乘法估计是通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。找到匹配的函数后，则可求得未知的数据，且求得的数据与实际数据之间误差的平方和是最小的，如下图所示。3.2.4最小二乘法30最小二乘法图示3.2.5评价估计量的标准31P(

)BA无偏有偏无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数无偏性(unbiasedness)3.2.4最小二乘法最小二乘法(例题分析)32【例3.4】某班学生每周用于英语学习的时间x(单位:h)与数学成绩y(单位:分)之间的对应数据如表所示。如果y与x之间有线性关系，求回归直线方程3.2.4最小二乘法最小二乘法(例题分析)33解：列出下表并进行计算3.2.4最小二乘法最小二乘法(例题分析)34因此，所求的回归方程是3.2.5评价估计量的标准35有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效

有效性(efficiency)AB

的抽样分布

的抽样分布P(

)3.2.5评价估计量的标准36一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数一致性(consistency)AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)第3节区间估计3.3.1区间估计概述3.3.2单总体参数区间估计3.3.3双总体参数区间估计373.3.1区间估计概述38在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%3.3.1区间估计概述区间估计的图示

x95%的样本

-1.96

x

+1.96

x99%的样本

-2.58

x

+2.58

x90%的样本

-1.65

x

+1.65

x393.3.1区间估计概述置信水平(confidencelevel)将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平表示为(1-

为是总体参数未在区间内的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的

为0.01，0.05，0.10403.3.1区间估计概述置信区间(confidenceinterval)由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的413.3.1区间估计概述置信区间(95%的置信区间)重复构造出的20个置信区间

点估计值423.3.1区间估计概述影响区间宽度的因素总体数据的离散程度，用

来测度样本容量n，

置信水平(1-

)，影响z的大小433.3.2单总体参数区间估计单总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差443.3.2单总体参数区间估计总体均值的区间估计(大样本)1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(

２)

已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

30)2.使用正态分布统计量z总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为453.3.2单总体参数区间估计数据正态性的评估方法对数据画出频数分布的直方图或茎叶图若数据近似服从正态分布，则图形的形状与上面给出的正态曲线应该相似求出样本数据的四分位差Qd和标准差s，然后计算比值Qd/s

。若数据近似服从正态分布，则有

Qd/s

1.3绘制正态概率图463.3.2单总体参数区间估计正态概率图的绘制(normalprobabilityplots)

正态概率图可以在概率纸上绘制，也可以在普通纸上绘制。在普通纸上绘制正态概率图的步骤第1步：将样本观察值从小到大排列第2步：求出样本观察值的标准正态分数zi

。标准正态分数满足第3步：将zi作为纵轴，xi作为横轴，绘制图形，即为标准正态概率图473.3.2单总体参数区间估计正态概率图的绘制(例题分析)【例】一家电脑公司连续10天的销售额(单位：万元)分别为176，191，214,，220，205，192，201，190，183，185。绘制正态概率图，判断该组数据是否服从正态分布483.3.2单总体参数区间估计正态概率图的绘制(例题分析)电脑公司销售额的正态概率图

493.3.2单总体参数区间估计正态概率图的判断503.3.2单总体参数区间估计正态概率图的判断

短尾分布：如果尾部比正常的短，则点所形成的图形左边朝直线上方弯曲，右边朝直线下方弯曲——如果倾斜向右看，图形呈S型。表明数据比标准正态分布时候更加集中靠近均值。

长尾分布：如果尾部比正常的长，则点所形成的图形左边朝直线下方弯曲，右边朝直线上方弯曲——如果倾斜向右看，图形呈倒S型。表明数据比标准正态分布时候有更多偏离的数据。一个双峰分布也可能是这个形状。513.3.2单总体参数区间估计正态概率图的判断

右偏态分布：右偏态分布左边尾部短，右边尾部长。因此，点所形成的图形与直线相比向上弯曲，或者说呈U型。把正态分布左边截去，也会是这种形状。

左偏态分布：左偏态分布左边尾部长，右边尾部短。因此，点所形成的图形与直线相比向下弯曲。把正态分布右边截去，也会是这种形状。523.3.2单总体参数区间估计总体均值的区间估计(例题分析)【例3.5】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量（单位：g）如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3533.3.2单总体参数区间估计总体均值的区间估计(例题分析—正态性评估)食品重量的正态概率图543.3.2单总体参数区间估计总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(

，102)，n=25,1-

=95%，z

/2=1.96。根据样本数据计算得：。由于是正态总体，且方差已知。总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g统计函数—CONFIDENCE553.3.2单总体参数区间估计总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532563.3.2单总体参数区间估计总体均值的区间估计(例题分析)解：已知n=36,1-

=90%，z

/2=1.645。根据样本数据计算得：，总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁573.3.2单总体参数区间估计总体均值的区间估计(例题分析)【例3.6】从华南理工大学2020届本科毕业生中随机抽取30人的毕业薪酬（单位：元）如下：5858780082208540880080009200854075001100072008220830078007800860088009000875096009430102008100840085407500950085008350825080003.3.2单总体参数区间估计总体均值的区间估计(例题分析)

即华南理工大学2020届本科毕业生平均毕业薪酬的置信区间为8304.34~8793.66元593.3.2单总体参数区间估计总体均值的区间估计(小样本)1. 假定条件总体服从正态分布,但方差(

２)

未知小样本(n<30)2.使用t

分布统计量总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为603.3.2单总体参数区间估计t分布

t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z613.3.2单总体参数区间估计t分布(用Excel绘制t分布图)第1步：在工作表的第1列A2：A62输入一个等差数列，初始值为“-3”，步长为“0.1”，终值为“3”第2步：在单元格C1输入t分布的自由度(如“20”)第3步：在单元格B2输入公式“=TDIST(-A2,$C$1,1)”，并将其复制到B3：B32区域，在B33输入公式“=TDIST(A33,$C$1,1)”并将其复制到B34：B62区域第4步：在单元格C3输入公“=(B3-B2)*10”，并将其复制到C4

：C31区域，在单元格C32输入公式“=(B32-B33)*10”

并将其复制到C33：C61区域第5步：将A2：A62作为横坐标，C2：C62作为纵坐标，根据“图表向导”绘制折线图623.3.2单总体参数区间估计t分布(用Excel绘制t分布图)633.3.2单总体参数区间估计总体均值的区间估计(例题分析)【例3.7】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16只灯泡使用寿命的数据151015201480150014501480151015201480149015301510146014601470147064643.3.2单总体参数区间估计总体均值的区间估计(例题分析-正态性评估)灯泡寿命的正态概率图653.3.2单总体参数区间估计总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(

，2)，n=16,1-

=95%，t

/2=2.131

根据样本数据计算得：，

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8h～1503.2h663.3.2单总体参数区间估计总体比例的区间估计1. 假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量z3.总体比例

在1-

置信水平下的置信区间为673.3.2单总体参数区间估计总体比例的区间估计(例题分析)68【例3.8】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%3.3.2单总体参数区间估计总体方差的区间估计691. 估计一个总体的方差或标准差2. 假设总体服从正态分布3.总体方差

2

的点估计量为s2,且4.总体方差在1-

置信水平下的置信区间为3.3.2单总体参数区间估计总体方差的区间估计(图示)70

2

21-

2

总体方差1-

的置信区间自由度为n-1的

23.3.2单总体参数区间估计总体方差的区间估计(例题分析)71【例3.9】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间25袋食品的重量单位：g112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.33.3.2单总体参数区间估计总体方差的区间估计(例题分析)72解:已知n＝25，1-

＝95%,根据样本数据计算得

s2=93.21

2置信度为95%的置信区间为该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54g~13.43g3.3.2单总体参数区间估计单总体参数区间估计(小结)73待估参数均值比例方差大样本小样本大样本

2分布

2已知

2已知Z分布

2未知Z分布Z分布Z分布

2未知t分布3.3.2单总体参数区间估计未来观察值的预测区间估计74预测随机变量未来的观察值，并希望求出各某个未来观察值的取值范围，这个范围就是对某个未来观察值的预测区间估计预测误差的期望为，预测误差的方差为未来观察值经标准化后服从标准正态分布，当用样本方差s2代替总体方差2后，则服从t分布新观察值95%的预测区间为743.3.3双总体参数区间估计双总体参数区间估计7575总体参数符号表示样本统计量均值差比例差方差比3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(大样本)76761. 假定条件两个总体都服从正态分布，

1２，

2２已知若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n1

30和n2

30)两个样本是独立的随机样本2.使用正态分布统计量z3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(大样本)77771.

1２，

2２已知时，两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为

1２，

2２未知时，两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(例题分析)7878【例3.10】某地区教育管理部门想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表所示。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间

两个样本的有关数据中学1中学2n1=46n1=33S1=5.8S2=7.2English3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(例题分析)7979解:两个总体均值之差在1-

置信水平下的置信区间为两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为5.03分~10.97分3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(小样本:

12=

22

)80801. 假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：

1２=

2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)2.总体方差的合并估计量估计量

x1-x2的抽样标准差3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(小样本:

12=

22

)81两个样本均值之差的标准化两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(例题分析)82【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间(单位：min)如下表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5213.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(例题分析—正态性评估)83两种方法组装时间的正态概率图

3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(例题分析)84解:根据样本数据计算得合并估计量为两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.14min~7.26min3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(小样本:

12

22

)851. 假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：

1２

2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)2.使用统计量3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(小样本:

12

22

)86

两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为自由度3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(例题分析)87【例】沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，第二种方法随机安排8名工人，即n1=12，n2=8，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.2213.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(例题分析)88解:根据样本数据计算得自由度为两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.192min~9.058min3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(匹配大样本)89假定条件两个匹配的大样本(n1

30和n2

30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布两个总体均值之差

d=

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为对应差值的均值对应差值的标准差3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(匹配小样本)90假定条件两个匹配的小样本(n1<30和n2<30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布

两个总体均值之差

d=

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(例题分析)91【例】由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如右表。试建立两种试卷分数之差

d=

1-

295%的置信区间

10名学生两套试卷的得分学生编号试卷A试卷B差值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916STATISTICS3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(例题分析—正态性评估)92两套试卷分数之差的正态概率图3.3.3双总体参数区间估计两个总体均值之差的估计(例题分析)93解:根据样本数据计算得两种试卷所产生的分数之差的置信区间为6.33分~15.67分3.3.3双总体参数区间估计两个总体比例之差的区间估计941. 假定条件两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似两个样本是独立的2. 两个总体比例之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为3.3.3双总体参数区间估计两个总体比例之差的区间估计(例题分析)95【例3.11】在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目。试以90%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间123.3.3双总体参数区间估计两个总体比例之差的区间估计(例题分析)96解:已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，

1-

=95%，z/2=1.96

1-

2置信度为95%的置信区间为城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%~19.32%3.3.3双总体参数区间估计两个总体方差比的区间估计971. 比较两个总体的方差比用两个样本的方差比来判断如果S12/S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异总体方差比在1-

置信水平下的置信区间为3.3.3双总体参数区间估计两个总体方差比的区间估计(图示)98FF1-

F

总体方差比1-

的置信区间方差比置信区间示意图3.3.3双总体参数区间估计两个总体方差比的区间估计(例题分析)99【例3.12】为了研究男女学生在生活费支出(单位：元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果男学生：女学生：试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间3.3.3双总体参数区间估计两个总体方差比的区间估计(例题分析)100解:根据自由度

n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得F/2(24)=1.98，F1-/2(24)=1/1.98=0.505

12/22置信度为90%的置信区间为男女学生生活费支出方差比的置信区间为0.47~1.843.3.3双总体参数区间估计双总体参数区间估计(小结)101待估参数均值差比例差方差比独立大样本独立小样本匹配样本独立大样本

12、

22已知

12、

22未知Z分布Z分布

12、

22已知

12、

22未知Z分布

12=

22

12≠

22正态总体F分布Z分布t分布t分布t分布第4节样本容量的确定3.4.1估计单总体均值时样本容量的确定3.4.2估计单总体比例时样本容量的确定3.4.3估计双总体均值差时样本容量的确定3.4.4估计双总体比例差时样本容量的确定1023.4.1估计单总体均值时样本容量的确定103估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量n为样本容量n与总体方差

2、边际误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与边际误差的平方成反比与可靠性系数成正比样本容量的圆整法则：当计算出的样本容量不是整数时，将小数点后面的数值一律进位成整数，如24.68取25，24.32也取25等等其中：3.4.1估计总体均值时样本容量的确定104估计总体均值时样本容量的确定(例题分析)

【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？3.4.1估计总体均值时样本容量的确定105估计总体均值时样本容量的确定(例题分析)

解:已知

=2000，E=400,1-

=95%，z/2=1.96

应抽取的样本容量为即应抽取97人作为样本3.4.2估计单总体比例时样本容量的确定106估计总体比例时样本容量的确定根据比例区间估计公式可得样本容量n为

E的取值一般小于0.1

未知时，可取使方差最大值0.5其中：3.4.2估计单总体比例时样本容量的确定107估计总体比例时样本容量的确定(例题分析)【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求边际误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？解:已知

=90%，

=0.05，z/2=1.96，E=5%

应抽取的样本容量为

应抽取139个产品作为样本3.4.3估计双总体均值差时样本容量的确定108估计双总体均值差时样本容量的确定设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为其中：3.4.3估计双总体均值差时样本容量的确定109估计双总体均值差时样本容量的确定(例题分析)【例】一所中学的教务处想要估计试验班和普通班考试成绩平均分数差值的置信区间。要求置信水平为95%，预先估计两个班考试分数的方差分别为：试验班

12=90，普通班

22=120。如果要求估计的误差范围(边际误差)不超过5分，在两个班应分别抽取多少名学生进行调查？English3.4.3估计双总体均值差时样本容量的确定110估计双总体均值差时样本容量的确定(例题分析)解:已知

12=90，22=120，E=5,1-

=95%，z/2=1.96即应抽取33人作为样本3.4.4估计双总体比例差时样本容量的确定111估计双总体比例差时样本容量的确定设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2根据比例之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为其中：3.4.4估计双总体比例差时样本容量的确定112估计双总体比例差时样本容量的确定(例题分析)【例】一家瓶装饮料制造商想要估计顾客对一种新型饮料认知的广告效果。他在广告前和广告后分别从市场营销区各抽选一个消费者随机样本，并询问这些消费者是否听说过这种新型饮料。这位制造商想以10%的误差范围和95%的置信水平估计广告前后知道该新型饮料消费者的比例之差，他抽取的两个样本分别应包括多少人？(假定两个样本容量相等)绿色健康饮品3.4.4估计双总体比例差时样本容量的确定113估计双总体比例差时样本容量的确定(例题分析)解:E=10%,1-

=95%，z/2=1.96，由于没有

的信息，用0.5代替即应抽取193位消费者作为样本3.4.4估计双总体比例差时样本容量的确定114估计双总体比例差时样本容量的确定(例题分析)【例3.13】2015年全国1%人口抽样调查于2015年11月1日0时，抽样样本量约为1600万。样本设计要求全国出生率、死亡率的相对误差分别控制在0.6%、0.8%左右,试利用本章所学知识论证1600万抽样量的合理性。已知预估全国出生率为12.07‰，死亡率为7.11‰，人口总数为13.83亿，置信水平为99%3.4.4估计双总体比例差时样本容量的确定115估计双总体比例差时样本容量的确定(例题分析)解:由于全国人口总数很大，人口抽样调查可以看作无限总体抽样条件

出生率：3.4.4估计双总体比例差时样本容量的确定116估计双总体比例差时样本容量的确定(例题分析)

死亡率：

由以上结果可知，至少需要抽取2205人，才能同时满足出生率和死亡率的抽样误差要求。 1600万远大于2205，因从样本容量的角度来看是合理的。第5节Bootstrap区间估计3.5.1基本思想3.5.2经验Boottrap法3.5.3Bootstrap百分位法1173.5.1基本思想对于一个未知分布总体均值的推断，我们必须倚赖中心极限定理和正态分布的假设。如果未知分布非常不规则或样本数不足，那么，中心极限定理指出的均值近似为正态分布便难以成立，而基于t分布计算出来的均值置信区间也不够准确。因此，在未知分布非常不规则或样本数不足的情况下，需要使用Bootstrap区间估计的方法。1183.5.1基本思想Bootstrap的核心思想是:通过使用数据本身而估计从该数据中计算出来的统计数据的变化。即仅仅利用已有的样本数据，不对总体的分布做任何假设，来计算样本统计量在估计总体统计量时的