第四章 专题七 圆周运动临界问题的模型建构

202X专题七圆周运动临界问题的模型建构第四章曲线运动汇报人姓名汇报日期题型1水平面内圆周运动的临界问题题型2竖直面内圆周运动的临界问题题型3斜面上圆周运动的临界问题练习帮练透好题精准分层添加标题01单击此处添加文本添加标题02单击此处添加文本Contents目录核心考点五年考情命题分析预测水平面内圆周运动的临界问题2023：福建T15；2022：山东T8；

2019：海南T6圆周运动的临界问题是本章的难点，也是高考考查的热点.水平面内的圆周运动的临界问题一般与摩擦力有关，竖直面内的圆周运动的临界问题一般与弹力有关，关键均在于找到临界点，列出动力学方程.预计2025年高考可能会出现与生产生活联系的圆周运动临界问题，以选择题或计算题形式出现.竖直面内圆周运动的临界问题2022：全国甲T14；2021：浙江6月T20；2020：浙江1月T20斜面上圆周运动的临界问题题型1水平面内圆周运动的临界问题

1.运动特点(1)运动轨迹是水平面内的圆.(2)合力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内

做匀速圆周运动.2.临界问题分析(1)与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力.(2)与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好

拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等.1.[与圆锥体结合的临界]一根轻质细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在

一光滑圆锥体顶上，如图所示.设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细

线的拉力为T，则下列T随ω2变化的图像可能正确的是(

C

)ABCCD[解析]对小球受力分析如图，当角速度较小时，小球在光滑锥面上做匀速圆周运

动，根据牛顿第二定律和平衡条件可得

Tsinθ－Ncosθ＝mLsinθ·ω2，

Tcosθ＋N

sinθ＝mg，联立解得T＝mgcosθ＋mLsin2

θ·ω2；当角速度较大时，小球离开光滑

锥面做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可得Tsinα＝mLsinα·ω2，则T＝mLω2.综

上所述，只有C可能正确.2.[与绳子结合的临界/多选]如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质

细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO'以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆

周运动，a绳与水平面成θ角，b绳水平且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确

的是(

AC

)A.a绳一定受拉力作用B.a绳所受拉力随角速度的增大而增大D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化AC

3.[与圆盘结合的临界/多选]如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)

放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘间的最

大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴

缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(

AC

)A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等AC

命题拓展[条件拓展]如果两木块a、b之间用一轻绳连接，且绳子能承受的最大拉力为T＝

kmg，试分析绳子是否会发生断裂.[答案]绳子不会发生断裂

题型2竖直面内圆周运动的临界问题

项目绳模型杆模型常见类型

最高点没有支撑

最高点有支撑过最高点的临界条件由mg＝[1]

得v临＝

[2]

⁠由小球恰能做完整的圆周运动得v临＝

[3]

⁠

0

项目绳模型杆模型讨论分析＞

0

项目绳模型杆模型讨论分析(3)不能过最高点时，小球在

到达最高点前已经脱离了圆

轨道

0

4.[轻绳模型]如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球(可看成质点)，

让小球在竖直平面内做圆周运动.改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的

轻绳弹力大小F，得到F－v2图像如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点的坐标

为(0，－b).不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(

B

)A.该小球的质量为bgC.图线与横轴的交点处小球所受的合力为零D.当v2＝a时，小球的向心加速度为gB

命题拓展[轻绳→轻杆模型]若将轻绳换成轻杆，其F－v2图像如图所示.已知杆长为R，不计空

气阻力，则(

D

)DC.当v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上D.当v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等

5.[最高点“杆”的作用力方向可变/多选]如图所示，竖直面内有一个半径为R的光

滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在管道内做圆周运动，管道很细，则关于

小球在最高点时的速度v，下列叙述正确的是(

CD

)B.当v由零逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大CD

6.[竖直面内圆周运动的实际应用]如图所示是某游乐场中水上过山车的原理示意

图.半径为R＝8m的圆轨道竖直固定在离水面高h＝3.2m的水平平台上，圆轨道与

水平平台相切于A点，A、B分别为圆轨道的最低点和最高点.过山车(实际是一艘带

轮子的气垫小船，可视作质点)高速行驶，先后会通过多个圆轨道，然后从A点离开

圆轨道进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊

险，受到很多年轻人的喜爱.已知水面宽度为s＝12m，不计空气阻力，重力加速度

g取10m/s2.(结果可保留根号)(2)为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？[答案]

15m/s

(1)若过山车恰好能通过圆轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？

(3)某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，随后进

入水平轨道AC并落入水中，求过山车落入水中时的速度大小.

题型3斜面上圆周运动的临界问题

1.与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最

低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题.物体在斜面上做圆周运动时，设斜面

的倾角为θ，重力垂直于斜面的分力与斜面对物体的支持力相平衡，解决此类问题

时，可以按以下操作(如图)，把问题简化.2.物体在斜面上做圆周运动，根据受力情况的不同，可分为以下三类：(1)物体在静摩擦力作用下做圆周运动.(2)物体在绳的拉力作用下做圆周运动.(3)物体在杆的作用下做圆周运动.

C.1rad/sD.0.5rad/s[解析]当小物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角

速度最大，由牛顿第二定律得μmgcos30°－mgsin30°＝mω2r，解得ω＝1rad/s，故

C正确.C命题拓展[设问拓展]结合上述题干信息，判断下列说法的正误.(1)小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用.

(✕)(2)小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大，小物体在最高点处

受到的摩擦力一定越大.

(✕)(3)小物体受到的摩擦力可能背离圆心.

(

√

)✕✕√8.[倾斜临界＋轻杆模型]如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L

＝0.8m的轻杆，轻杆一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2kg的小球，小球

沿斜面做圆周运动.取g＝10m/s2.若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最

小速度为(

A

)A.4m/s

A

1.[水平面内的临界问题/海南高考]如图，一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上，

硬币与竖直转轴OO'的距离为r，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦

力等于滑动摩擦力)，重力加速度大小为g.若硬币与圆盘一起绕OO'轴匀速转动，则

圆盘转动的最大角速度为(

B

)

B12342.[水平面内的临界问题/浙江高考]一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行

驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N，当汽车经过半径为80m的弯道

时，下列判断正确的是(

D

)A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B.汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4×104NC.汽车转弯的速度为20m/s时汽车会发生侧滑D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2D1234

12343.[水平面内的临界问题/2023福建]一种离心测速器的简化工作原理如图所示.细杆的

一端固定在竖直转轴OO'上的O点，并可随轴一起转动.杆上套有一轻质弹簧，弹簧

一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连.当测速器稳定工作时，圆环将相对

细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度.已知细杆长度l＝0.2

m，杆与竖直转轴的夹角α始终为60°，弹簧原长x0＝0.1m，弹簧劲度系数k＝100

N/m，圆环质量m＝1kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10m/s2，

摩

擦力可忽略不计.1234(1)若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；[答案]

0.05m

[解析]圆环处于静止状态时，设弹簧压缩量为x1，由平衡条件可得mgcosα＝kx1

1234(2)求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；

其中r1＝x0sinα

1234(3)求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小.[答案]

10rad/s

在竖直方向有kx2cosα＋mg＝N2sinα其中r2＝lsinα代入数据解得ω2＝10rad/s.12344.[竖直面内的临界问题/2024广东深圳阶段练习]张同学设计了一个过山车轨道模

型，如图所示，由倾角为α＝37°的直轨道AB、半径为R的圆弧轨道BC、水平轨道

CD、竖直圆轨道以及足够长的水平轨道DF组成.C点左侧轨道和竖直圆轨道是光滑

的，水平轨道CD和DF是粗糙的.现将一小物块由轨道上A点无初速度释放，已知小

物块的质量为m，与水平轨道CD和DF间的动摩擦因数均为μ＝0.2，AB＝6R，CD＝

2R，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，忽略轨道交错的影响.求：1234(1)物块第一次运动到B点时的速度大小；

[解析]在AB段，根据牛顿第二定律得mgsinα＝ma

1234(2)物块第一次运动到C点时对轨道的压力大小；[答案]

8.6mg

1234

(3)欲使物块在竖直圆轨道上运动时，不脱离轨道，圆轨道的半径R'应满足什

么条件.[答案]

R'≤1.36R或R'≥3.4R1234

12341.[多选]如图所示，用一端固定在O点且长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平

面内做圆周运动，则下列说法正确的是(

CD

)A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力CD123456789

1234567892.[2023山东临沂检测]无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于

两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型

后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管.已知管状

模型内壁半径为R，则下列说法正确的是(

C

)A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上B.模型各个方向上受到的铁水的作用力相同C.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力C123456789

1234567893.[2024湖北宜城一中质检/多选]一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆

周运动，如图甲所示.小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为FN，小球的速

度大小为v，其FN－v2图像如图乙所示.已知重力加速度为g，规定竖直向下为正方

向，不计一切阻力.则下列说法正确的是(

ABD

)ABD123456789

1234567894.[创新图像形式/2024湖南长沙雅礼中学校考/多选]如图所示，水平圆盘上放置一

个质量为m的小物块，物块通过长为L的轻绳连接到竖直转轴上的定点O，此时轻绳

恰好伸直，与转轴成37°角.现使整个装置绕转轴缓慢加速转动(轻绳不会绕到转轴

上)，角速度ω从零开始缓慢增加，直到物块刚好要脱离圆盘.已知物块与圆盘间动

摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，sin37°＝

0.6，cos37°＝0.8.则轻绳的弹力大小FT和物块受到的摩擦力大小Ff随ω2变化的图

像正确的是(

AD

)AD123456789

1234567895.[多选]如图所示，物体P用两根长度相等且不可伸长的细线系于竖直杆上，并随

杆转动.若转动角速度为ω，则(

ABC

)A.ω只有超过某一值时，细线AP才有拉力B.细线BP的拉力随ω的增大而增大C.细线BP所受拉力一定大于细线AP所受拉力D.当ω增大到一定程度时，细线AP所受拉力大于BP所受拉力ABC123456789

123456789

6.[2022山东]无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为3m的半圆弧BC与

长8m的直线路径AB相切于B点，与半径为4m的半圆弧CD相切于C点.小车以最大速

度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过BC

和CD.

为保证安全，小车速率最大为4m/s.在ABC段的加速度最大为2m/s2，CD段的

加速度最大为1m/s2.小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直

线运动的最长距离l为(

B

)B123456789

1234567897.[多选]如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用轻绳相连的质量

均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA＝r、RB＝2r，

与圆盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速缓慢增

大到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是(

ABC

)A.此时绳子所受拉力为T＝3μmgC.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆盘外D.此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动A