空间中两直线的位置关系上课讲义

空间中两直线的位置关系判断下列命题对错：1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上的所有点都在这个平面内。（）2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点。（）3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点必在同一个平面内。（）4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（）5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可以确定一个平面。（）平面有关知识（复习）

mPm图1图2ll一、空间中两直线的位置关系从图中可见，直线l与m既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）不同在任何一个平面内1、异面直线判断：直线m和l是异面直线吗?αβlmml(1)(2),则与是异面直线(3)a,b不同在平面内,则a与b异面异面直线的画法:通常用一个或两个平面来衬托,异面直线不同在任何一个平面的特点1、相交2、平行ml只有一个公共点没有公共点在同一平面2、空间中两直线的三种位置关系3、异面直线mPl没有公共点不同在任一平面mlP相交直线:平行直线:共面直线异面直线:不同在任何一个平面内，没有公共点

在同一平面内，有且只有一个公共点；

在同一平面内，没有公共点；

空间中的直线与直线之间的位置关系：探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DAAB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?相交直线有几对?平行直线有几对?二、空间直线的平行关系若a∥b，b∥c,1、平行关系的传递性caabcc公理4

平行于同一直线的两直线互相平行aα则a∥c问题：若直线a、b异面，直线b、c异面，则直线a、c异面吗？若直线a、b异面，直线b、c异面，则直线a、c相交或平行或异面异面直线不具有传递性

例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB与C1D1

，AD1与BC1是什么位置关系？为什么？C1ABCDA1B1D1练习：在上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？例2：

已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。解题思想：∵EH是△ABD的中位线

∴EH∥BD且EH=BD同理，FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一个平行四边形证明：连结BD把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。ABDEFGHC例3：求证：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线已知：A∈α，aα，Bα，Aa求证：直线AB与a异面ABa反思：当一命题无法直接证明时，常考虑改变策略从反设入手，这是典型的逆向思维方式.例4：已知平面α与平面

相交于a,b在α内，且b与a交于A，c在

内，且c//a，求证：b,c是异面直线.α

aAbc小结：1、证明两条直线是异面直线的方法

反证法2、反证法的使用3、“有且只有一个”的理解：存在性与唯一性2、已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且，求证：四边形EFGH是梯形1、求证:空间四边形的两条对角线是异面直线.作业:∴四边形EFGH是梯形例5.在一块长方体形状木块的面AC上有一点P，过点P画一条直线和棱C1D1平行，说明应该怎么画.解：如图（1）在平面ABCD上过点P作直线MN∥CD，分别交AD，BC于M、N，

则由公理4得，MN∥C1D1.图（1）DCABA1B1D1C1PMN例7、如图,已知E、F是正方体的棱AD、A1D1的中点，求证:∠BEC=∠B1FC1

2、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。C1ABCDA1B1D1两直线的夹角：两直线相交所成的4个角中,其中不大于

的角叫做两直线的夹角异面直线所成角的定义ab设a、b为两异面直线，在空间任选一点O,过O点分别作直线，我们把所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.oaˊbˊ若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。异面直线a与b垂直也记作a⊥b异面直线所成角θ的取值范围：

例8在正方体ABCD—A1B1C1D1中,指出下列各对线段所成的角：练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角；

2、与直线BB1垂直的棱有多少条？1）AB与CC1；2）A1B1与AC；3）A1B与D1B1。B1CC1ABDA1D11）AB与CC1所成的角=90°2）A1B1与AC所成的角=45°3）A1B与D1B1所成的角=60°2）与棱BB1垂直的棱有：ABCDA1B1C1D1AD、A1D1、DC、D1C1、A1B1、AB、B1C1、BC、相交：异面：垂直相交垂直异面垂直B1CC1ABDA1D11）直线AD1与B1C所成的夹角90°异面直线所成的角的求法:一作(找)二证三求(1)通过直线平移，作出异面直线所成的角，把空间问题转化为平面问题。(取点,平移,作角)(2)利用平面几何知识，求出异面直线所成角的大小。(构建与所作角有关的三角形,求角的大小)(3)作结论.(异面直线所成的角不大于90°)AFEDCB

例9:如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且已知AB=CD=3，,求异面直线AB和CD所成的角.M60°思考题：1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（）。（A）异面（B）相交（C）平行（D）不平行2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数是（）对。（A）6（B）3（C）8（D）123、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（）平面。（A）一个（B）两个（C）三个（D）四个DAB4．空间两直线平行是指它们（）

A．无交点B．共面且无交点

C．和同一条直线垂直D．以上都不对5．在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则