2024秋高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大小值第1课时函数的单调性课时作业含解析新人教A版必修1

PAGEPAGE1第1课时函数的单调性A级基础巩固一、选择题1．下列命题正确的是(D)A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数C．若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1∪I2上也肯定为减函数D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)<f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1<x2[解析]A错误，x1，x2只是区间(a，b)上的两个值，不具有随意性；B错误，无穷并不代表全部、随意；C错误，例如函数y＝eq\f(1,x－1)在(－∞，1)和(1，＋∞)上分别递减，但不能说y＝eq\f(1,x－1)在(－∞，1)∪(1，＋∞)上递减；D正确，符合单调性定义．2．如图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(C)A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1,4]上单调递增C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D．函数在区间[－5,5]上不单调[解析]若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．3．函数y＝－x2的单调减区间为(C)A．(－∞，0] B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)[解析]依据二次函数y＝－x2的图象可知函数y＝－x2的单调递减区间为(0，＋∞)．故选C．4．(2024·河北沧州市高一期中测试)在区间(－∞，0)上为增函数的是(C)A．y＝－2x＋2 B．y＝eq\f(1,x)C．y＝－|x|＋1 D．y＝－x2－2x[解析]函数y＝－2x＋2是减函数，y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)上是减函数，y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1]上是增函数，在(－1,0)上是减函数，只有函数y＝－|x|＋1在(－∞，0)上是增函数，故选C．5．定义在R上的函数，对随意的x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则(A)A．f(3)<f(2)<f(1) B．f(1)<f(2)<f(3)C．f(2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(2)[解析]对随意x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)<f(2)<f(1)．故选A．6．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(C)A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[解析]因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3，故选C．二、填空题7．函数f(x)＝eq\f(1,x＋1)在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是__[－1，＋∞)__.[解析]∵函数f(x)＝eq\f(1,x＋1)的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又∵函数f(x)＝eq\f(1,x＋1)在(a，＋∞)上单调递减，∴(a，＋∞)⊆(－1，＋∞)，∴a≥－1.8．函数f(x)＝－2x2＋4x－3的单调递增区间为__(－∞，1]__.[解析]f(x)＝－2x2＋4x－3的图象是开口向下，对称轴为x＝1的抛物线，∴其单调递增区间为(－∞，1]．三、解答题9．求证函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)在(2，＋∞)上是增函数．[证明]任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(4,x1)－x2－eq\f(4,x2)＝(x1－x2)＋eq\f(4x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\f(x1x2－4,x1x2).因为2<x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)在(2，＋∞)上是增函数．B级素养提升一、选择题1．已知f(x)为R上的减函数，则满意f(2x)>f(1)的实数x的取值范围是(D)A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(eq\f(1,2)，＋∞) D．(－∞，eq\f(1,2))[解析]∵f(x)在R上为减函数且f(2x)>f(1)．∴2x<1，∴x<eq\f(1,2).2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(D)A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定[解析]∵x1，x2不在同一单调区间内，∴大小关系无法确定．3．已知函数y＝ax和y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是(A)A．减函数且f(0)＜0 B．增函数且f(0)＜0C．减函数且f(0)＞0 D．增函数且f(0)＞0[解析]∵y＝ax和y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)都是减函数，∴a＜0，b＜0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a＜0，故选A．4．下列有关函数单调性的说法，不正确的是(C)A．若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)＋g(x)为增函数B．若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为减函数C．若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为增函数D．若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为减函数[解析]若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)的增减性不确定．例如f(x)＝x＋2为R上的增函数，当g(x)＝－eq\f(1,2)x时，则f(x)＋g(x)＝eq\f(1,2)x＋2为增函数；当g(x)＝－3x，则f(x)＋g(x)＝－2x＋2在R上为减函数，∴选C．二、填空题5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为__[0，eq\f(3,2)]__.[解析]y＝－(x－3)|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋3xx＞0,x2－3xx≤0)).作出其图象如图，视察图象知递增区间为[0，eq\f(3,2)]．6．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是__(－∞，40]∪[64，＋∞)__.[解析]对称轴为x＝eq\f(k,8)，则eq\f(k,8)≤5或eq\f(k,8)≥8，得k≤40或k≥64.三、解答题7．用函数单调性的定义推断函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)(a<eq\f(1,2))在(－2，＋∞)上的单调性．[解析]证明：f(x)在(－2，＋∞)上是减函数．∵函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)＝eq\f(ax＋2－2a＋1,x＋2)＝a＋eq\f(1－2a,x＋2)，任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2.则f(x1)－f(x2)＝(a＋eq\f(1－2a,x1＋2))－(a＋eq\f(1－2a,x2＋2))＝eq\f(1－2a,x1＋2)－eq\f(1－2a,x2＋2)＝eq\f(1－2ax2－x1,x1＋2x2＋2).∵－2<x1<x2，∴x2－x1>0，(x1＋2)(x2＋2)>0，∵a<eq\f(1,2)，∴1－2a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－2，＋∞)上是减函数．8．已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围．[解析]由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<1－a<1,－1<2a－1<1))，解得0<a<1.①又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，∴1－a>2a－1，即a<eq\f(2,3).②由①②可知，0<a<eq\f(2,3).即所求a的取值范围是(0，eq\f(2,3))．9．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对随意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且