高考数学精准复习专项大招15对数平均不等式含答案或解析

大招15对数平均不等式大招总结基本不等式链:已知a>0,b>0,21a+1b对数平均不等式:对于正数a,b,且a≠b,定义a−bln⁡a−ln⁡b为a,b的对数平均值,且若证明：证法1(比值代换)令t=a⇔t证法2(主元法)不妨设a>记f(a)=ln⁡a−ln⁡b−ab证法3(构造函数法)先证:ab要证ab<a−bln⁡a−ln⁡b,只需证ln⁡a−ln⁡b=a−bab⇔ln⁡再证:a要证a−bln⁡a−ln⁡b<a+b2,只需证a−ba+b<∴常见等价变形:ln⁡用对数平均数求证极值点偏移问题的步骤:(1)根据fx(2)等量关系中如果含有参数,可考虑消参;如果含有指数式,可考虑两边取对数;(3)通过恒等变形转化出对数平均数,代人对数平均不等式求解.典型例题【题型1】证明极值点偏移问题例1.)已知函数f(x)=xe−x解证明:即x1e−x1=x2e−x例2.已知函数f(x)=xln⁡x的图像与直线解证明:由x1ln⁡x1=x2ln⁡x2=例3.设函数f(x)=ln⁡x−解证明:由题意得ln⁡x1−ax12+(2−a)x1例4.设函数f(x)=ex−ax解；证明:f'x1x2<0.证明:f(x)=0即ex=a(x−1)a①+②得x1+x2=2ln⁡a【题型2】b>例5.设函数f(x)=ln⁡(1+x),g(x)=xf'(解：因为g(x)=x1+x,所以g(1)+g(2)+⋯+g(n)=12+23+⋯+nn+1=n−12+13+⋯+1n+1【说明】本题是高考试题的压轴题,难度较大,我们这里应用对数平均数不等式链来证明,思路简捷,别具新意,易于学生理解、掌握,也可以利用之前讲的数列不等式.当b>a>0时,b−aln⁡b−ln⁡a例6.已知函数f(x)=解证明:易求a=1,待证不等式等价于23+25+27+⋯+22n−1<ln⁡(2n+1),根据2【题型3】a2例7.设数列an的通项an=1n(n解证明:根据b>a>0时,a2+b22>b−【题型4】a+例8.设数列an的通项an=1+解证明:根据时,a+b2>b−aln⁡b−ln⁡a【题型5】b−例9.已知函数f(x)=ax+证明:1+解证明:当b>a>0时,b令a=n,所以ln⁡2−ln⁡1<1ln⁡(n+1)−ln⁡nln⁡(n即ln⁡(n+1)<1+1故1+1【题型6】b−例10.已知f(求证:24×12解证明:根据时,.即.令,则,变形可得:将以上各不等式左右两边相加得:对一切正整数均成立.自我检测1.已知函数有两个零点,则下列说法错误的是A. B. C. D.有极小值点,且解析：函数导函数:,有极值点,而极值正确;有两个零点:,即:(2)(1)-(2)得:,根据对数平均值不等式:,而正确,错误,而(1)+得,即成立.2.设函数的两个零点是,求证:证明:3.已知函数和,若存在两个实数且,满足,求证:证明:由得,则,得;.4.已知函数(1)若时,,求的最小值;(2)设数列的通项,证明:.解析：(1)易得,令,则,若,则当时,是增函数,不符合题意;若,则当时,是增函数,不符合题意;若,则当时,是减函数,符合题意;综上,的最小值是.(2)当时,,即,令,则,所以,,将以上各不等式左右两边分别相加得：即,故成套的课件成套